Besov space

In mathematics , the Besov space (named after Oleg Vladimirovich Besov ) $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ — полное квазинормированное пространство, которое является банаховым при 1 ⩽ p , q ⩽ ∞ . Эти пространства, а также определенные аналогичным образом пространства Трибеля-Лизоркина служат для обобщения более элементарных функциональных пространств, таких как пространства Соболева , и эффективны при измерении свойств регулярности функций.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений. Один из них приведен ниже.

Позволять

$\Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)$

и определим модуль непрерывности по формуле

$\omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}$

Пусть n — неотрицательное целое число и определите: s = n + α , где 0 < α ≤ 1 . Пространство Бесова $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ содержит все функции f такие, что

$f\in W^{n,p}(\mathbf {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty .$

Норма

The Besov space $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ оборудован по норме

$\left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}$

The Besov spaces $B_{2,2}^{s}(\mathbf {R} )$ совпадают с более классическими пространствами Соболева $H^{s}(\mathbf {R} )$.

Если $p=q$ и $s$ не является целым числом, то $B_{p,p}^{s}(\mathbf {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )$, где ${\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )$ обозначает пространство Соболева–Слободецкого .

Ссылки

• Трибель, Ганс (1992). Теория функциональных пространств II . дои : 10.1007/978-3-0346-0419-2 . ISBN  978-3-0346-0418-5 .
• Бесов, О. В. (1959). «О некоторых семействах функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения». Докл. Акад. Наук СССР . 126 : 1163–1165. МР   0107165 .
• ДеВор Р. и Лоренц Г. «Конструктивная аппроксимация», 1993.
• ДеВор Р., Кириазис Г. и Ван П. «Многомасштабные характеристики пространств Бесова в ограниченных областях», Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998).
• Леони, Джованни (2017). Первый курс в пространствах Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181 . Американское математическое общество. стр. 734. ISBN   978-1-4704-2921-8