Jump to content

Sobolev space

(Перенаправлено из пространств Соболева )

В математике пространство Соболева — это векторное пространство функций, снабженное нормой , представляющей собой комбинацию L п -нормы функции вместе с ее производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабом смысле , чтобы сделать пространство полным , т.е. банаховым пространством . Интуитивно понятно, что пространство Соболева — это пространство функций, имеющих достаточно много производных для некоторой области применения, таких как уравнения в частных производных , и снабженное нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.

Пространства Соболева названы в честь российского математика Сергея Соболева . Их важность обусловлена ​​тем, что слабые решения некоторых важных уравнений в частных производных существуют в соответствующих пространствах Соболева даже тогда, когда нет сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными, понимаемыми в классическом смысле.

Мотивация [ править ]

В этом разделе и на протяжении всей статьи является открытым подмножеством

Существует множество критериев гладкости математических функций . Самым основным критерием может быть критерий непрерывности . Более сильное понятие гладкости — это понятие дифференцируемости (поскольку дифференцируемые функции также непрерывны), а еще более сильное понятие гладкости — это то, что производная также непрерывна (говорят, что эти функции относятся к классу — см. Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, в частности для дифференциальных уравнений . Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство (или и т. д.) было не совсем подходящим местом для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств для поиска решений уравнений в частных производных.

Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются через интегральные нормы. Типичным примером является измерение энергии распределения температуры или скорости с помощью -норм. Поэтому важно разработать инструмент для дифференцирования пространственных функций Лебега.

Формула интегрирования по частям дает, что для каждого , где натуральное число , и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем

где является мультииндексом порядка и мы используем обозначения:

Левая часть этого уравнения все еще имеет смысл, если мы только предположим быть локально интегрируемой . Если существует локально интегрируемая функция , такой, что

тогда мы позвоним слабый -я частная производная от . Если существует слабый -я частная производная от определен однозначно , то он почти всюду и, следовательно, однозначно определен как элемент пространства Лебега . С другой стороны, если , то классическая и слабая производная совпадают. Таким образом, если слабый -я частная производная от , мы можем обозначить его через .

Например, функция

не является непрерывным в нуле и не дифференцируемым в точках −1, 0 или 1. Однако функция

удовлетворяет определению как слабая производная которое тогда квалифицируется как находящееся в пространстве Соболева (для любого разрешенного , см. определение ниже).

Пространства Соболева объединить понятия слабой дифференцируемости и нормы Лебега .

Sobolev spaces with integer k [ edit ]

Одномерный случай [ править ]

В одномерном случае пространство Соболева для определяется как подмножество функций в такой, что и его слабые производные до порядка иметь конечное L п норма . Как упоминалось выше, необходимо проявлять некоторую осторожность при определении производных в собственном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что -я производная дифференцируема почти всюду и почти всюду равна интегралу Лебега от своей производной (это исключает несущественные примеры, такие как функция Кантора ).

Согласно этому определению пространства Соболева допускают норму естественную

Это можно распространить на случай , с нормой, которая затем определяется с использованием существенного супремума по формуле

Оборудован по норме. становится банаховым пространством . Оказывается, достаточно взять только первую и последнюю последовательность, т. е. норму, определяемую формулой

эквивалентна указанной выше норме (т.е. индуцированные топологии норм одинаковы).

Случай p = 2 [ править ]

Пространства Соболева с р = 2 особенно важны из-за их связи с рядами Фурье и потому, что они образуют гильбертово пространство . Для обозначения этого случая возникли специальные обозначения, поскольку пространство является гильбертовым:

Пространство естественным образом определяется через ряд Фурье , коэффициенты которого затухают достаточно быстро, а именно:

где представляет собой ряд Фурье и обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму

Оба представления легко следуют из теоремы Парсеваля и того факта, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на .

Более того, пространство допускает внутренний продукт , такой как пространство Фактически, Внутренний продукт определяется с точки зрения внутренний продукт:

Пространство с этим внутренним произведением становится гильбертовым пространством.

Другие примеры [ править ]

В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например, — пространство функций абсолютно непрерывных на (0, 1) (точнее, классов эквивалентности функций, почти всюду равных таковым), а — пространство ограниченных липшицевых функций на I для каждого I. интервала Однако эти свойства теряются или становятся не такими простыми для функций с более чем одной переменной.

Все помещения являются (нормированными) алгебрами , т. е. произведение двух элементов снова является функцией этого пространства Соболева, чего не происходит для (Например, функции, ведущие себя как | x | −1/3 в начале находятся в но произведение двух таких функций не входит в число ).

Многомерный случай [ править ]

Переход к многомерности приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование, чтобы быть интегралом не обобщает, и самое простое решение — рассматривать производные в смысле теории распределения .

Далее следует формальное определение. Позволять Пространство Соболева определяется как набор всех функций на такой, что для любого мультииндекса с смешанная частная производная

существует в слабом смысле и находится в т.е.

То есть пространство Соболева определяется как

Натуральное число называется порядком пространства Соболева

Существует несколько вариантов нормы для Следующие две являются общими и эквивалентны в смысле эквивалентности норм :

и

По отношению к любой из этих норм является банаховым пространством. Для также является сепарабельным пространством . Принято обозначать к ибо это гильбертово пространство с нормой . [1]

Приближение гладкими функциями [ править ]

Работать с пространствами Соболева, опираясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно знать, что по теореме Мейерса–Серрина функция аппроксимируется гладкими функциями . Этот факт часто позволяет перевести свойства гладких функций на функции Соболева. Если конечно и открыто, то существует для любого аппроксимирующая последовательность функций такой, что:

Если имеет липшицеву границу , можно даже предположить, что являются ограничением гладких функций с компактным носителем на всех [2]

Примеры [ править ]

В более высоких измерениях уже не верно, что, например, содержит только непрерывные функции. Например, где единичный шар в трех измерениях. Для , пространство будет содержать только непрерывные функции, но для которых это уже правда, зависит как от и по размерности. Например, как легко проверить, используя сферические полярные координаты для функции определенное на n -мерном шаре, имеем:

Интуитивно понятно, что увеличение f при 0 «значит меньше», когда n велико, поскольку единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри» в более высоких измерениях.

функций Соболева характеризация Абсолютно непрерывная на прямых линиях (ACL )

Позволять Если функция находится в затем, возможно, после модификации функции на множестве нулевой меры, ограничение почти на каждую линию, параллельную координатным направлениям в непрерывен абсолютно ; более того, классическая производная по линиям, параллельным направлениям координат, находится в И наоборот, если ограничение почти каждая линия, параллельная координатным направлениям, абсолютно непрерывна, то точечный градиент существует почти везде , и находится в предоставил В частности, в этом случае слабые частные производные и поточечные частные производные почти везде согласен. Характеристика ACL пространств Соболева была установлена ​​Отто М. Никодимом ( 1933 ); см. ( Мазья 2011 , §1.1.3).

Более сильный результат имеет место, когда Функция в после модификации на множестве нулевой меры является непрерывным по Гельдеру показателя степени по неравенству Морри . В частности, если и имеет липшицеву границу, то функция липшицева .

Функции, исчезающие на границе [ править ]

Пространство Соболева также обозначается Это гильбертово пространство с важным подпространством определяется как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в в Определенная выше норма Соболева здесь сводится к

Когда имеет регулярную границу, можно описать как пространство функций в исчезающие на границе в смысле следов ( см. ниже ). Когда если является ограниченным интервалом, то состоит из непрерывных функций на формы

где обобщенная производная находится в и имеет 0 целых, так что

Когда ограничено, неравенство Пуанкаре утверждает, что существует постоянная такой, что:

Когда ограничено, инъекция из к компактен . Этот факт играет роль при изучении задачи Дирихле , а также в том, что существует базис ортонормированный состоящий из собственных векторов оператора Лапласа граничным условием Дирихле ).

Следы [ править ]

Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений в частных производных. Существенно учитывать граничные значения функций Соболева. Если , эти граничные значения описываются ограничением Однако неясно, как описать значения на границе для поскольку n -мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема [2] решает проблему:

Теорема о следах . Предположим, что Ω ограничена липшицевой границей . Тогда существует ограниченный линейный оператор такой, что

Ту называют следом и . Грубо говоря, эта теорема расширяет оператор ограничения на пространство Соболева для хорошо себя Ω. Заметим, что оператор следа T, вообще говоря, не сюръективен, но при 1 < p < ∞ он непрерывно отображается в пространство Соболева–Слободецкого.

Интуитивно понятно, что взятие следа стоит 1/ p производной. Функции u в W 1,п (Ω) с нулевым следом, т.е. Tu = 0, можно охарактеризовать равенством

где

Другими словами, для Ω, ограниченного липшицевой границей, функции со следом нуля в аппроксимируется гладкими функциями с компактным носителем.

Sobolev spaces with non-integer k [ edit ]

пространства Потенциальные Бесселя

Для натурального числа k и 1 < p < ∞ можно показать (с помощью множителей Фурье [3] [4] ), что пространство можно эквивалентно определить как

с нормой

Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k любым действительным числом s . Полученные пространства

называются потенциальными пространствами Бесселя [5] (назван в честь Фридриха Бесселя ). Это банаховы пространства в общем случае и гильбертовы пространства в частном случае p = 2.

Для – множество ограничений функций из к Ω, оснащенному нормой

И снова Х. с,п (Ω) — банахово пространство, а в случае p = 2 — гильбертово пространство.

Используя теоремы расширения пространств Соболева, можно показать, что и W к,п (Ом) = Н к,п (Ω) выполняется в смысле эквивалентных норм, если Ω — область с равномерным C к -граница, k — натуральное число и 1 < p < ∞ . По вложениям

потенциальные пространства Бесселя образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя представляют собой комплексные интерполяционные пространства пространств Соболева, т.е. в смысле эквивалентных норм справедливо соотношение

где:

Пространства Соболева–Слободецкого [ править ]

Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка возникает из идеи обобщить условие Гёльдера на L п -параметр. [6] Для и полунорма Слободецкого (примерно аналогичная полунорме Гёльдера) определяется формулой

Пусть s > 0 не целое число и положим . Используя ту же идею, что и для пространств Гёльдера , пространство Соболева–Слободецкого [7] определяется как

Это банахово пространство для нормы

Если достаточно регулярен в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то пространства Соболева–Слободецкого также образуют шкалу банаховых пространств, т. е. имеют место непрерывные вложения или вложения

Существуют примеры нерегулярных Ω таких, что даже не является векторным подпространством для 0 < s < 1 (см. пример 9.1 из [8] )

С абстрактной точки зрения пространства совпадают с вещественными интерполяционными пространствами Соболева, т. е. в смысле эквивалентных норм имеет место следующее:

Пространства Соболева–Слободецкого играют важную роль в изучении следов функций Соболева. Они являются частными случаями пространств Бесова . [4]

Операторы расширения [ править ]

Если — это область , граница которой ведет себя не слишком плохо (например, если ее граница представляет собой многообразие или удовлетворяет более разрешающему « условию конуса »), то существует оператор A, отображающий функции функциям такой, что:

  1. Au ( x ) = u ( x ) для почти каждого x в и
  2. непрерывен для любого 1 ≤ p ≤ ∞ и целого k .

будем называть Такой оператор A оператором расширения для

Случай p = 2 [ править ]

Операторы расширения являются наиболее естественным способом определения для нецелых чисел (мы не можем работать напрямую с поскольку преобразование Фурье является глобальной операцией). Мы определяем сказав это тогда и только тогда, когда Эквивалентно, комплексная интерполяция дает то же самое пространства до тех пор, пока имеет оператор расширения. Если не имеет оператора расширения, комплексная интерполяция — единственный способ получить пространства.

В результате интерполяционное неравенство по-прежнему сохраняется.

Расширение на ноль [ править ]

Как и выше , мы определяем быть завершением пространства бесконечно дифференцируемых финитных функций. Учитывая определение следа, данное выше, мы можем утверждать следующее.

Теорема Пусть быть равномерно C м регулярное, m s, и пусть P — линейное отображение, отправляющее u в к

где d/dn — производная, нормальная к G , а k — наибольшее целое число, меньшее s . Затем является ядром P .

Если мы можем определить его расширение нулем естественным путем, а именно

Теорема Пусть Карта является непрерывным в тогда и только тогда, когда s не имеет вида для n целое число.

Для f L п (Ω) его продолжение нулем,

является элементом Более того,

В случае пространства Соболева W 1,п (Ω) для 1 ≤ p ≤ ∞ продолжение функции u нулем не обязательно даст элемент Но если Ω ограничена липшицевой границей (например, ∂Ω есть C 1 ), то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т. е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор [2]

такой, что для каждого п.в. на Ω, Eu имеет компактный носитель внутри O и существует константа C, зависящая только от p , Ω, O и размерности n , такая, что

Мы звоним расширение к

Sobolev embeddings [ edit ]

Естественен вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточное количество слабых производных (т.е. больших k ) приводит к классической производной. Эта идея обобщена и уточнена в теореме вложения Соболева .

Писать для пространства Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности n . Здесь k может быть любым действительным числом, причем 1 ≤ p ≤ ∞. (Для p = ∞ пространство Соболева определяется как пространство Гёльдера C н , а где k = n + α и 0 < α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если и затем

и вложение непрерывно. Более того, если и тогда вложение вполне непрерывно (иногда это называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха–Кондрахова ). Функции в все производные порядка меньше m непрерывны, поэтому, в частности, это дает условия для пространств Соболева, при которых различные производные будут непрерывными. Неформально эти вложения говорят, что для преобразования L п оценка для оценки ограниченности стоит 1/ p производных на измерение.

Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, такие как ( Stein 1970 ). Sobolev embeddings on некомпактные, часто обладают родственным, но более слабым свойством кокомпактности .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Эванс 2010 , Глава 5.2.
  2. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Адамс и Фурнье, 2003 г.
  3. ^ Берг и Лёфстрём, 1976 г.
  4. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Тройной 1995 год
  5. ^ Потенциальные пространства Бесселя с переменной интегрируемостью были независимо введены Алмейдой и Самко (А. Алмейда и С. Самко, «Характеризация потенциалов Рисса и Бесселя на переменных пространствах Лебега », J. Function Spaces Appl. 4 (2006), вып. 2, 113–144) и Гурка, Харьюлехто и Неквинда (П. Гурка, П. Харьюлехто и А. Неквинда: «Потенциальные пространства Бесселя с переменным показателем», Math. Inequal. Appl. 10 (2007), № 3, 661 –676).
  6. ^ Лунарди 1995
  7. ^ В литературе дробные пространства соболевского типа также называются пространствами Ароншайна , пространствами Гальярдо или пространствами Слободецкого , по именам математиков, введших их в 1950-е годы: Н. Ароншайна («Граничные значения функций с конечным интегралом Дирихле », Techn. of Univ. of Kansas 14 (1955), 77–94), E. Gagliardo («Proprietà di alcune classi di funzioni in più variabili», Ricerche Mat. 7 (1958), 102–137) и Л. Н. Слободецкий. («Обобщенные пространства Соболева и их приложения к краевым задачам уравнений в частных производных», Ленинград. Гос. пед. ин-т уч. зап. 197 (1958), 54–112).
  8. ^ Из Неццы, Элеонора; Палатуччи, ювелир; Вальдиночи, Энрико (01 июля 2012 г.). «Автостопом по дробным пространствам Соболева» . Вестник математических наук . 136 (5): 521–573. arXiv : 1104.4345 . два : 10.1016/j.bulsci.2011.12.004 . ISSN   0007-4497 .

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f114f62c16ec6e3e09f342f7b5bbe195__1717041180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f1/95/f114f62c16ec6e3e09f342f7b5bbe195.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Sobolev space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)