Sobolev mapping

В математике отображение Соболева — это отображение многообразий , обладающее гладкостью в некотором смысле . Отображения Соболева естественным образом возникают в задачах с ограничениями на многообразие вариационного исчисления и уравнений в частных производных , включая теорию гармонических отображений .

Определение [ править ]

Даны римановы многообразия $M$ и $N$ , который согласно теореме гладкого вложения Нэша без ограничения общности предполагается изометрически вложенным в $\mathbb {R} ^{\nu }$ как ^[1]^[2]

W^{s,p}(M,N):=\{u\in W^{s,p}(M,\mathbb {R} ^{\nu })\,\vert \,u(x)\in N{\text{ for almost every }}x\in M\}.

Первый заказ (

s=1

) Отображения Соболева могут быть определены и в контексте метрических пространств . ^[3]^[4]

Приближение [ править ]

Задача сильной аппроксимации состоит в том, чтобы определить, являются ли гладкими отображения из $M$ к $N$ плотны в $W^{s,p}(M,N)$ относительно нормальной топологии. Когда $sp>\dim M$ Из неравенства Морри следует, что отображения Соболева непрерывны и, следовательно, могут быть сильно аппроксимированы гладкими отображениями. Когда $sp=\dim M$ , отображения Соболева имеют исчезающую среднюю осцилляцию ^[5] и, таким образом, может быть аппроксимирован гладкими картами. ^[6]

Когда $sp<\dim M$ , вопрос плотности связан с теорией препятствий : $C^{\infty }(M,N)$ плотный в $W^{1,p}(M,N)$ тогда и только тогда, когда каждое непрерывное отображение a из a $\lfloor p\rfloor$ –мерная триангуляция $M$ в $N$ является ограничением непрерывного отображения из $M$ к $N$ . ^[7]^[2]

Задача нахождения последовательности слабой аппроксимации отображений в $W^{1,p}(M,N)$ эквивалентно сильному приближению, когда $p$ не является целым числом. ^[7] Когда $p$ является целым числом, необходимым условием является ограничение на $\lfloor p-1\rfloor$ -мерная триангуляция всякого непрерывного отображения из $\lfloor p\rfloor$ –мерная триангуляция $M$ в $N$ совпадает с ограничением непрерывного отображения из $M$ к $N$ . ^[2] Когда $p=2$ , это условие является достаточным. ^[8] Для $W^{1,3}(M,\mathbb {S} ^{2})$ с $\dim M\geq 4$ , это условие недостаточно. ^[9]

Гомотопия [ править ]

Гомотопическая задача состоит в описании и классификации компонент линейной связности пространства. $W^{s,p}(M,N)$ наделен нормальной топологией. Когда $0<s\leq 1$ и $\dim M\leq sp$ , то компоненты траекторной связности $W^{s,p}(M,N)$ по существу такие же, как компоненты связной траектории $C(M,N)$ : две карты в $W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)$ соединены дорогой в $W^{s,p}(M,N)$ тогда и только тогда, когда они соединены путем в $C(M,N)$ , любой связный компонент $W^{s,p}(M,N)$ и любой связанный по пути компонент $C(M,N)$ пересекает $W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)$ нетривиально. ^[10]^[11]^[12] Когда $\dim M>p$ , две карты в $W^{1,p}(M,N)$ соединены непрерывным путем в $W^{1,p}(M,N)$ тогда и только тогда, когда их ограничения на общий $\lfloor p-1\rfloor$ -мерные триангуляции гомотопны. ^[2]^{: эт. 1.1}

Расширение следов [ править ]

Классическая теория следов утверждает, что любое отображение Соболева $u\in W^{1,p}(M,N)$ имеет след $Tu\in W^{1-1/p,p}(\partial M,N)$ и это когда $N=\mathbb {R}$ , включен оператор трассировки. Доказательство сюръективности основано на аргументе усреднения, и этот результат нелегко распространить на отображения Соболева. Известно, что оператор трассировки активен, когда $\pi _{1}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}$ ^[13] или когда $p\geq 3$ , $\pi _{1}(N)$ конечно и $\pi _{2}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}$ . ^[14] Сюръективность оператора следа терпит неудачу, если $\pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\not \simeq \{0\}$ ^[13]^[15] или если $\pi _{\ell }(N)$ бесконечен для некоторых $\ell \in \{1,\dotsc ,\lfloor p-1\rfloor \}$ . ^[14]^[16]

Подъем [ править ]

Учитывая карту покрытия $\pi :{\tilde {N}}\to N$ , задача подъема спрашивает, существует ли какая-либо карта $u\in W^{s,p}(M,N)$ можно записать как $u=\pi \circ {\tilde {u}}$ для некоторых ${\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,{\tilde {N}})$ , как и в случае непрерывного или плавного $u$ и ${\tilde {u}}$ когда $M$ является односвязным в классической теории лифтинга . Если домен $M$ просто связна, любая карта $u\in W^{s,p}(M,N)$ можно записать как $u=\pi \circ {\tilde {u}}$ для некоторых ${\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,N)$ когда $sp\geq \dim M$ , ^[17]^[18] когда $s\geq 1$ и $2\leq sp<\dim M$ ^[19]^[18] и когда $N$ компактен, $0<s<1$ и $2\leq sp<\dim M$ . ^[20] Существует топологическое препятствие для подъема, когда $sp<2$ и аналитическое препятствие, когда $1\leq sp<\dim M$ . ^[17]^[18]

Ссылки [ править ]

^ Миронеску, Петру (2007). «Отображения Соболева на многообразиях: степень, аппроксимация, подъем» (PDF) . Современная математика . 446 : 413–436. дои : 10.1090/conm/446/08642 . ISBN 9780821841907 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ханг, Фэнбо; Линь, Фанхуа (2003). «Топология отображений Соболева, II» . Акта Математика . 191 (1): 55–107. дои : 10.1007/BF02392696 . S2CID 121520479 .
^ Хирон, Давид (август 2007 г.). «Об определениях пространств Соболева и Б.В. в сингулярные пространства и проблеме следов». Коммуникации в современной математике . 09 (4): 473–513. дои : 10.1142/S0219199707002502 .
^ Хайлаш, Петр (2009). «Соболевские отображения между многообразиями и метрическими пространствами». Пространства Соболева в математике I . Международная математическая серия. 8 : 185–222. дои : 10.1007/978-0-387-85648-3_7 . ISBN 978-0-387-85647-6 .
^ Брезис, Х.; Ниренберг, Л. (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO; часть I: Компактные многообразия без границ». Селекта Математика . 1 (2): 197–263. дои : 10.1007/BF01671566 . S2CID 195270732 .
^ Шон, Ричард; Уленбек, Карен (1 января 1982 г.). «Теория регулярности гармонических отображений» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2). дои : 10.4310/jdg/1214436923 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бетуэль, Фабрис (1991). «Задача аппроксимации отображений Соболева между двумя многообразиями» . Акта Математика . 167 : 153–206. дои : 10.1007/BF02392449 . S2CID 122996551 .
^ Пакзад, г-н; Ривьер, Т. (февраль 2003 г.). «Слабая плотность гладких отображений энергии Дирихле между многообразиями». Геометрический и функциональный анализ . 13 (1): 223–257. дои : 10.1007/s000390300006 . S2CID 121794503 .
^ Бетуэль, Фабрис (февраль 2020 г.). «Контрпример к слабой плотности гладких отображений между многообразиями в пространствах Соболева». Математические изобретения . 219 (2): 507–651. arXiv : 1401.1649 . Бибкод : 2020InMat.219..507B . дои : 10.1007/s00222-019-00911-3 . S2CID 119627475 .
^ Брезис, Хаим; Ли, Яньян (сентябрь 2000 г.). «Топология и пространства Соболева». Доклады Академии наук. Серия I. Математика . 331 (5): 365–370. Бибкод : 2000CRASM.331..365B . дои : 10.1016/S0764-4442(00)01656-6 .
^ Брезис, Хаим; Ли, Яньян (июль 2001 г.). «Топология и пространства Соболева» . Журнал функционального анализа . 183 (2): 321–369. дои : 10.1006/jfan.2000.3736 .
^ Буске, Пьер (февраль 2008 г.). «Дробные пространства Соболева и топология». Нелинейный анализ: теория, методы и приложения . 68 (4): 804–827. дои : 10.1016/j.na.2006.11.038 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хардт, Роберт; Линь, Фан-Хуа (сентябрь 1987 г.). «Отображения, минимизирующие L ^п норма градиента». Сообщения по чистой и прикладной математике . 40 (5): 555–588. doi : 10.1002/cpa.3160400503 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Миронеску, Петру; Ван Шафтинген, Жан (9 июля 2021 г.). «Теория следов соболевских отображений в многообразие». Анналы факультета естественных наук Тулузы: Математика . 30 (2): 281–299. arXiv : 2001.02226 . дои : 10.5802/afst.1675 . S2CID 210023485 .
^ Бетуэль, Фабрис; Деменгель, Франсуаза (октябрь 1995 г.). «Расширения соболевских отображений между многообразиями». Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . 3 (4): 475–491. дои : 10.1007/BF01187897 . S2CID 121749565 .
^ Бетуэль, Фабрис (март 2014 г.). «Новое препятствие к проблеме расширения отображений Соболева между многообразиями». Журнал теории и приложений с фиксированной точкой . 15 (1): 155–183. arXiv : 1402.4614 . дои : 10.1007/s11784-014-0185-0 . S2CID 119614310 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бурген, Жан ; Брезис, Хаим ; Миронеску, Петру (декабрь 2000 г.). «Подъем в пространствах Соболева» . Журнал математического анализа . 80 (1): 37–86. дои : 10.1007/BF02791533 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бетуэль, Фабрис; Хирон, Дэвид (2007). «Некоторые вопросы, связанные с проблемой подъема в пространствах Соболева». Современная математика . 446 : 125–152. дои : 10.1090/conm/446/08628 . ISBN 9780821841907 .
^ Бетуэль, Фабрис; Чжэн, Сяоминь (сентябрь 1988 г.). «Плотность гладких функций между двумя многообразиями в пространствах Соболева» . Журнал функционального анализа . 80 (1): 60–75. дои : 10.1016/0022-1236(88)90065-1 .
^ Миронеску, Петру; Ван Шафтинген, Жан (7 сентября 2021 г.). «Лифтинг в компактных накрытиях дробных отображений Соболева». Анализ и PDE . 14 (6): 1851–1871. arXiv : 1907.01373 . дои : 10.2140/apde.2021.14.1851 . S2CID 195776361 .

Дальнейшее чтение [ править ]

https://mathoverflow.net/questions/108808/differential-of-a-sobolev-map-between-manifolds

[1] Миронеску, Петру (2007). «Отображения Соболева на многообразиях: степень, аппроксимация, подъем» (PDF) . Современная математика . 446 : 413–436. дои : 10.1090/conm/446/08642 . ISBN 9780821841907 .

[Hang_Lin_2003-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ханг, Фэнбо; Линь, Фанхуа (2003). «Топология отображений Соболева, II» . Акта Математика . 191 (1): 55–107. дои : 10.1007/BF02392696 . S2CID 121520479 .

[3] Хирон, Давид (август 2007 г.). «Об определениях пространств Соболева и Б.В. в сингулярные пространства и проблеме следов». Коммуникации в современной математике . 09 (4): 473–513. дои : 10.1142/S0219199707002502 .

[4] Хайлаш, Петр (2009). «Соболевские отображения между многообразиями и метрическими пространствами». Пространства Соболева в математике I . Международная математическая серия. 8 : 185–222. дои : 10.1007/978-0-387-85648-3_7 . ISBN 978-0-387-85647-6 .

[5] Брезис, Х.; Ниренберг, Л. (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO; часть I: Компактные многообразия без границ». Селекта Математика . 1 (2): 197–263. дои : 10.1007/BF01671566 . S2CID 195270732 .

[6] Шон, Ричард; Уленбек, Карен (1 января 1982 г.). «Теория регулярности гармонических отображений» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2). дои : 10.4310/jdg/1214436923 .

[Bethuel_1991-7] Перейти обратно: ^а ^б Бетуэль, Фабрис (1991). «Задача аппроксимации отображений Соболева между двумя многообразиями» . Акта Математика . 167 : 153–206. дои : 10.1007/BF02392449 . S2CID 122996551 .

[8] Пакзад, г-н; Ривьер, Т. (февраль 2003 г.). «Слабая плотность гладких отображений энергии Дирихле между многообразиями». Геометрический и функциональный анализ . 13 (1): 223–257. дои : 10.1007/s000390300006 . S2CID 121794503 .

[9] Бетуэль, Фабрис (февраль 2020 г.). «Контрпример к слабой плотности гладких отображений между многообразиями в пространствах Соболева». Математические изобретения . 219 (2): 507–651. arXiv : 1401.1649 . Бибкод : 2020InMat.219..507B . дои : 10.1007/s00222-019-00911-3 . S2CID 119627475 .

[10] Брезис, Хаим; Ли, Яньян (сентябрь 2000 г.). «Топология и пространства Соболева». Доклады Академии наук. Серия I. Математика . 331 (5): 365–370. Бибкод : 2000CRASM.331..365B . дои : 10.1016/S0764-4442(00)01656-6 .

[11] Брезис, Хаим; Ли, Яньян (июль 2001 г.). «Топология и пространства Соболева» . Журнал функционального анализа . 183 (2): 321–369. дои : 10.1006/jfan.2000.3736 .

[12] Буске, Пьер (февраль 2008 г.). «Дробные пространства Соболева и топология». Нелинейный анализ: теория, методы и приложения . 68 (4): 804–827. дои : 10.1016/j.na.2006.11.038 .

[Hardt_Lin_1987-13] Перейти обратно: ^а ^б Хардт, Роберт; Линь, Фан-Хуа (сентябрь 1987 г.). «Отображения, минимизирующие L ^п норма градиента». Сообщения по чистой и прикладной математике . 40 (5): 555–588. doi : 10.1002/cpa.3160400503 .

[Mironescu_VanSchaftingen_2021-14] Перейти обратно: ^а ^б Миронеску, Петру; Ван Шафтинген, Жан (9 июля 2021 г.). «Теория следов соболевских отображений в многообразие». Анналы факультета естественных наук Тулузы: Математика . 30 (2): 281–299. arXiv : 2001.02226 . дои : 10.5802/afst.1675 . S2CID 210023485 .

[15] Бетуэль, Фабрис; Деменгель, Франсуаза (октябрь 1995 г.). «Расширения соболевских отображений между многообразиями». Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . 3 (4): 475–491. дои : 10.1007/BF01187897 . S2CID 121749565 .

[16] Бетуэль, Фабрис (март 2014 г.). «Новое препятствие к проблеме расширения отображений Соболева между многообразиями». Журнал теории и приложений с фиксированной точкой . 15 (1): 155–183. arXiv : 1402.4614 . дои : 10.1007/s11784-014-0185-0 . S2CID 119614310 .

[Bourgain_Brezis_Mironescu_2001-17] Перейти обратно: ^а ^б Бурген, Жан ; Брезис, Хаим ; Миронеску, Петру (декабрь 2000 г.). «Подъем в пространствах Соболева» . Журнал математического анализа . 80 (1): 37–86. дои : 10.1007/BF02791533 .

[Bethuel_Chiron_2007-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бетуэль, Фабрис; Хирон, Дэвид (2007). «Некоторые вопросы, связанные с проблемой подъема в пространствах Соболева». Современная математика . 446 : 125–152. дои : 10.1090/conm/446/08628 . ISBN 9780821841907 .

[19] Бетуэль, Фабрис; Чжэн, Сяоминь (сентябрь 1988 г.). «Плотность гладких функций между двумя многообразиями в пространствах Соболева» . Журнал функционального анализа . 80 (1): 60–75. дои : 10.1016/0022-1236(88)90065-1 .

[20] Миронеску, Петру; Ван Шафтинген, Жан (7 сентября 2021 г.). «Лифтинг в компактных накрытиях дробных отображений Соболева». Анализ и PDE . 14 (6): 1851–1871. arXiv : 1907.01373 . дои : 10.2140/apde.2021.14.1851 . S2CID 195776361 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]