Оператор трассировки

Функция, определенная для прямоугольника (верхний рисунок, красный) и его трассировки (нижний рисунок, красный).

В математике оператор следа расширяет понятие ограничения функции на границу ее области определения до «обобщенных» функций в пространстве Соболева . Это особенно важно для изучения уравнений в частных производных с заданными граничными условиями ( граничных задач ), где слабые решения могут быть недостаточно регулярными, чтобы удовлетворять граничным условиям в классическом смысле функций.

Мотивация

В ограниченной гладкой области ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$, рассмотрим задачу решения уравнения Пуассона с неоднородными граничными условиями Дирихле:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

с заданными функциями ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$ с регулярностью, описанной в разделе приложений ниже. Слабое решение ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ этого уравнения должно удовлетворять

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ для всех ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$.

The ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$-регулярность ${\textstyle u}$ достаточно для корректности этого интегрального уравнения. Однако неясно, в каком смысле ${\textstyle u}$ может удовлетворять граничному условию ${\textstyle u=g}$ на ${\textstyle \partial \Omega }$: по определению, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ — класс эквивалентности функций, которые могут иметь произвольные значения на ${\textstyle \partial \Omega }$ поскольку это нулевое множество относительно n-мерной меры Лебега.

Если ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ там держится ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ по теореме вложения Соболева такой, что ${\textstyle u}$ может удовлетворять граничному условию в классическом смысле, т.е. ограничению ${\textstyle u}$ к ${\textstyle \partial \Omega }$ согласен с функцией ${\textstyle g}$ (точнее: существует представитель ${\textstyle u}$ в ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ с этим свойством). Для ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ с ${\textstyle n>1}$ такого вложения не существует и оператор трассировки ${\textstyle T}$ представленные здесь, должны быть использованы для придания смысла ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$. Затем ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ с ${\textstyle Tu=g}$ называется слабым решением краевой задачи, если выполнено приведенное выше интегральное уравнение. Чтобы определение оператора трассировки было разумным, должно выполняться ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ для достаточно регулярного ${\textstyle u}$.

Теорема о следах

Оператор следа можно определить для функций из пространств Соболева ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ с ${\textstyle 1\leq p<\infty }$, см. раздел ниже о возможных расширениях трассы на другие пространства. Позволять ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ для ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ — ограниченная область с липшицевой границей. Затем существует ограниченный линейный оператор следа

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$

такой, что ${\textstyle T}$ расширяет классический след, т.е.

$Tu=u|_{\partial \Omega }$ для всех ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$.

Непрерывность ${\textstyle T}$ подразумевает, что

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}$ для всех ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

с постоянной только в зависимости от ${\textstyle p}$ и ${\textstyle \Omega }$. Функция ${\textstyle Tu}$ называется следом ${\textstyle u}$ и часто обозначается просто ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$. Другие распространенные символы для ${\textstyle T}$ включать ${\textstyle tr}$ и ${\textstyle \gamma }$.

Строительство

Этот абзац следует за Эвансом, где можно найти более подробную информацию, и предполагает, что ${\textstyle \Omega }$ имеет ${\textstyle C^{1}}$-граница. Доказательство (более сильной версии) теоремы о следах для липшицевых областей можно найти у Гальярдо. На ${\textstyle C^{1}}$-домен, оператор трассировки можно определить как непрерывное линейное расширение оператора

$T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )$

в космос ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$. По плотности ​ ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ в ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ такое расширение возможно, если ${\textstyle T}$ является непрерывным относительно ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$-норм. Доказательство этого, т. е. существования ${\textstyle C>0}$ (в зависимости от ${\textstyle \Omega }$ и ${\textstyle p}$) такой, что

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}$ для всех $u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }}).$

является центральным компонентом конструкции оператора трассировки. Локальный вариант этой оценки для ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$-функции впервые доказывается для локально плоской границы с использованием теоремы о расходимости . Путем трансформации генерал ${\textstyle C^{1}}$-границу можно локально выпрямить, чтобы свести к этому случаю, когда ${\textstyle C^{1}}$-регулярность преобразования требует выполнения локальной оценки для ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$-функции.

При такой непрерывности оператора следа в ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ расширение для ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ существует посредством абстрактных аргументов и ${\textstyle Tu}$ для ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ можно охарактеризовать следующим образом. Позволять ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ быть последовательностью, аппроксимирующей ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ по плотности. Благодаря доказанной непрерывности ${\textstyle T}$ в ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ последовательность ${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$ является последовательностью Коши в ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ и ${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$ с принятым лимитом ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$.

Свойство расширения ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ держится за ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ по конструкции, но для любого ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ существует последовательность ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ которая сходится равномерно на ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ к ${\textstyle u}$, проверяя свойство расширения на большем наборе ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$.

Случай p = ∞

Если ${\textstyle \Omega }$ ограничен и имеет ${\textstyle C^{1}}$-границы, то по неравенству Морри существует непрерывное вложение ${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$, где ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$ обозначает пространство липшицевых непрерывных функций. В частности, любая функция ${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$ имеет классический след ${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$ и там держится

$\|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.$

Функции с нулевым следом

Пространства Соболева ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ для ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ определяются как замыкание множества компактных тестовых функций ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ в отношении ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$-норм. Имеет место следующая альтернативная характеристика:

$W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),$

где ${\textstyle \ker(T)}$ является ядром ​ ${\textstyle T}$, то есть ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ — подпространство функций в ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ с нулевым следом.

Изображение оператора трассировки

Для р > 1

Оператор трассировки не сюръективен на ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ если ${\textstyle p>1}$, т.е. не каждая функция в ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ это след функции в ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$. Как подробно описано ниже, изображение состоит из функций, которые удовлетворяют ${\textstyle L^{p}}$-версия непрерывности Гёльдера .

Абстрактная характеристика

Абстрактная образа характеристика ${\textstyle T}$ можно вывести следующим образом. По теоремам об изоморфизме имеет место

$T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$

где ${\textstyle X/N}$ обозначает факторпространство банахова пространства ${\textstyle X}$ по подпространству ${\textstyle N\subset X}$ и последнее тождество следует из характеристики ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ сверху. Оснащение факторпространства факторнормой, определяемой формулой

$\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}$

оператор трассировки ${\textstyle T}$ тогда является сюръективным ограниченным линейным оператором

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$.

Характеризация с использованием пространств Соболева – Слободецкого.

Более конкретное представление образа ${\textstyle T}$ может быть задано с использованием пространств Соболева-Слободецкого , которые обобщают концепцию непрерывных функций Гёльдера на ${\textstyle L^{p}}$-параметр. С ${\textstyle \partial \Omega }$ представляет собой (n-1) -мерное липшицево многообразие, вложенное в ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ явная характеристика этих пространств технически сложна. Для простоты рассмотрим сначала плоскую область ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$. Для ${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$ определить (возможно, бесконечную) норму

$\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}$

что обобщает условие Гёльдера ${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$. Затем

$W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}$

оснащенное предыдущей нормой, является банаховым пространством (общее определение ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ для нецелого числа ${\textstyle s>0}$ можно найти в статье для пространств Соболева-Слободецкого ). Для (n-1) -мерного липшицева многообразия ${\textstyle \partial \Omega }$ определять ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ путем локального выпрямления ${\textstyle \partial \Omega }$ и действуя, как в определении ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$.

Пространство ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ тогда может быть идентифицирован как образ оператора трассировки, и тогда выполняется что

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )$

— сюръективный ограниченный линейный оператор.

Для р = 1

Для ${\textstyle p=1}$ образ оператора трассировки ${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$ и там держится что

$T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )$

— сюръективный ограниченный линейный оператор.

Право-обратный: оператор расширения трассировки

Оператор трассировки не является инъективным, поскольку в ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ может иметь один и тот же след (или, что то же самое, ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$). Однако оператор трассировки имеет корректный правый обратный, который расширяет функцию, определенную на границе, на всю область. В частности, для ${\textstyle 1<p<\infty }$ существует ограниченный линейный оператор продолжения следа

$E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )$,

используя характеристику Соболева-Слободецкого образа оператора трассировки из предыдущего раздела, такую, что

$T(Ev)=v$ для всех ${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

и по непрерывности существует ${\textstyle C>0}$ с

$\|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$.

Примечательно не просто существование, а линейность и непрерывность правого обратного. Этот оператор расширения трассировки не следует путать с операторами расширения всего пространства. ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ которые играют фундаментальную роль в теории пространств Соболева.

Расширение на другие помещения

Высшие производные

Многие из предыдущих результатов можно распространить на ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ с более высокой дифференцируемостью ${\textstyle m=2,3,\ldots }$ если область достаточно регулярна. Позволять ${\textstyle N}$ обозначим внешнее единичное нормальное поле на ${\textstyle \partial \Omega }$. С ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ может кодировать свойства дифференцируемости в тангенциальном направлении только нормальная производная ${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$ представляет дополнительный интерес для теории следов ${\textstyle m=2}$. Аналогичные аргументы применимы и к производным более высокого порядка для ${\textstyle m>2}$.

Позволять ${\textstyle 1<p<\infty }$ и ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ быть ограниченной областью с ${\textstyle C^{m,1}}$-граница. Затем существует сюръективный ограниченный линейный оператор следа высшего порядка

$T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )$

с пространствами Соболева-Слободецкого ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$ для нецелого числа ${\textstyle s>0}$ определено на ${\textstyle \partial \Omega }$ путем преобразования к плоскому случаю ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ для ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$, определение которого подробно описано в статье о пространствах Соболева-Слободецкого . Оператор ${\textstyle T_{m}}$ расширяет классические нормальные следы в том смысле, что

$T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)$ для всех ${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

Более того, существует ограниченная линейная правая обратная функция ${\textstyle T_{m}}$, оператор расширения трассировки более высокого порядка

$E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )$.

Наконец, пространства ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$, завершение ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ в ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$-норму можно охарактеризовать как ядро ${\textstyle T_{m}}$, т.е.

$W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}$.

Менее регулярные пространства

Никаких следов в L ^п

Не существует разумного расширения концепции следов на ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ для ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ поскольку любой ограниченный линейный оператор, расширяющий классический след, должен быть равен нулю в пространстве основных функций ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$, которое является плотным подмножеством ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$, подразумевая, что такой оператор везде будет равен нулю.

Обобщенный нормальный след

Позволять ${\textstyle \operatorname {div} v}$ обозначают распределительную дивергенцию векторного поля ${\textstyle v}$. Для ${\textstyle 1<p<\infty }$ и ограниченная липшицева область ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ определять

$E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}$

которое является банаховым пространством с нормой

$\|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}$.

Позволять ${\textstyle N}$ обозначим внешнее единичное нормальное поле на ${\textstyle \partial \Omega }$. Затем существует ограниченный линейный оператор

$T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'$,

где ${\textstyle q=p/(p-1)}$ является показателем, сопряженным с ${\textstyle p}$ и ${\textstyle X'}$ обозначает непрерывное, дуальное пространство к банаховому пространству ${\textstyle X}$, такой, что ${\textstyle T_{N}}$ расширяет нормальный след ${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$ для ${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$ в том смысле, что

$T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}$.

Значение обычного оператора трассировки ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ для ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ определяется применением теоремы о дивергенции к векторному полю ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ где ${\textstyle E}$ — оператор расширения трассировки сверху.

Приложение. Любое слабое решение ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ к ${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$ в ограниченной липшицевой области ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ имеет нормальную производную в смысле ${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$. Это следует из того, что ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ с ${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$ и ${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$. Этот результат примечателен тем, что в липшицевых областях вообще ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$, такой, что ${\textstyle \nabla u}$ не может лежать в области определения оператора трассировки ${\textstyle T}$.

Приложение

Представленные выше теоремы позволяют более детально исследовать краевую задачу

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

в липшицевом домене ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ от мотивации. Поскольку только случай гильбертова пространства ${\textstyle p=2}$ здесь исследуется обозначение ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ используется для обозначения ${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$ и т.д. Как сказано в мотивации, слабое решение ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ этому уравнению должно удовлетворяться ${\textstyle Tu=g}$ и

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ для всех ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$,

где правую часть следует интерпретировать как ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ как произведение двойственности со значением ${\textstyle f(\varphi )}$.

Существование и единственность слабых решений.

Характеристика ассортимента ${\textstyle T}$ подразумевает, что для ${\textstyle Tu=g}$ соблюдать регулярность ${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$ необходимо. Эта регулярность также достаточна для существования слабого решения, что можно увидеть следующим образом. По теореме о продолжении следа существует ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ такой, что ${\textstyle T(Eg)=g}$. Определение ${\textstyle u_{0}}$ к ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ у нас есть это ${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$ и таким образом ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ по характеристике ${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ как пространство нулевого следа. Функция ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ тогда удовлетворяет интегральному уравнению

$\int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x$ для всех ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$.

Таким образом, задача с неоднородными граничными значениями для ${\textstyle u}$ можно свести к задаче с однородными граничными значениями для ${\textstyle u_{0}}$, метод, который можно применить к любому линейному дифференциальному уравнению. По теореме о представлении Рисса существует единственное решение ${\textstyle u_{0}}$ к этой проблеме. По единственности разложения ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$, это эквивалентно существованию единственного слабого решения ${\textstyle u}$ к неоднородной краевой задаче.

Постоянная зависимость от данных

Осталось выяснить зависимость ${\textstyle u}$ на ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$. Позволять ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$ обозначают константы, независимые от ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$. Непрерывной зависимостью ${\textstyle u_{0}}$ в правой части его интегрального уравнения имеет место

$\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)$

и, таким образом, используя это ${\textstyle \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}}$ и ${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$ в силу непрерывности оператора продолжения следа следует, что

${\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(c_{3}+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}$

и карта решения

$H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )$

следовательно, является непрерывным.

См. также

• Класс трассировки
• Ядерные операторы между банаховыми пространствами

Ссылки

• Леони, Джованни (2017). Первый курс в пространствах Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181 . Американское математическое общество. стр. 734. ISBN   978-1-4704-2921-8