Непрерывное линейное расширение

В функциональном анализе часто бывает удобно определить линейное преобразование в полном нормированном векторном пространстве. $X$ сначала определив линейное преобразование $L$ на плотном подмножестве ​ $X$ а затем постоянно расширяется $L$ на все пространство согласно следующей теореме. Результирующее расширение остается линейным и ограниченным и, таким образом , непрерывным , что делает его непрерывным линейным расширением .

Эта процедура известна как непрерывное линейное расширение .

Теорема

Каждое ограниченное линейное преобразование $L$ из нормированного векторного пространства $X$ к полному нормированному векторному пространству $Y$ однозначно продолжается до ограниченного линейного преобразования ${\widehat {L}}$ с завершения момента $X$ к $Y.$ Кроме того, операторская норма $L$ является $c$ тогда и только тогда, когда норма ${\widehat {L}}$ является $c.$

Эту теорему иногда называют теоремой BLT .

Приложение

Рассмотрим, например, определение интеграла Римана . Ступенчатая функция на замкнутом интервале $[a,b]$ является функцией вида: $f\equiv r_{1}\mathbf {1} _{[a,x_{1})}+r_{2}\mathbf {1} _{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}\mathbf {1} _{[x_{n-1},b]}$где $r_{1},\ldots ,r_{n}$ действительные числа, $a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b,$ и $\mathbf {1} _{S}$ обозначает индикаторную функцию множества $S.$ Пространство всех ступенчатых функций на $[a,b],$ нормировано $L^{\infty }$ норма (см. пространство Lp ), — это нормированное векторное пространство, которое мы обозначаем через ${\mathcal {S}}.$ Определим интеграл ступенчатой ​​функции следующим образом:

$$I\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}\mathbf {1} _{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).$$

$I$ как функция является ограниченным линейным преобразованием из ${\mathcal {S}}$ в $\mathbb {R} .$

Позволять ${\mathcal {PC}}$ обозначим пространство ограниченных кусочно- непрерывных функций на $[a,b]$ непрерывные справа вместе с $L^{\infty }$ норма. Пространство ${\mathcal {S}}$ плотный в ${\mathcal {PC}},$ поэтому мы можем применить теорему BLT для расширения линейного преобразования $I$ к ограниченному линейному преобразованию ${\widehat {I}}$ от ${\mathcal {PC}}$ к $\mathbb {R} .$ Это определяет интеграл Римана всех функций из ${\mathcal {PC}}$; для каждого $f\in {\mathcal {PC}},$ $\int _{a}^{b}f(x)dx={\widehat {I}}(f).$

Хана

Приведенную выше теорему можно использовать для расширения ограниченного линейного преобразования $T:S\to Y$ к ограниченному линейному преобразованию из ${\bar {S}}=X$ к $Y,$ если $S$ плотный в $X.$ Если $S$ не плотный в $X,$ тогда теорему Хана-Банаха иногда можно использовать, чтобы показать, что расширение существует . Однако расширение может не быть уникальным.

См. также

• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• Непрерывный линейный оператор
• Плотно определенный оператор - функция, которая определена почти везде (математика).
• Теорема Хана – Банаха - Теорема о продолжении ограниченных линейных функционалов.
• Линейное расширение (линейная алгебра) — математическая функция в линейной алгебре. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Частичная функция - функция, фактическая область определения которой может быть меньше, чем ее кажущаяся область определения.
• Векторнозначные теоремы Хана – Банаха

Ссылки

• Рид, Майкл; Барри Саймон (1980). Методы современной математической физики, Vol. 1: Функциональный анализ . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN  0-12-585050-6 .