Плотно определенный оператор

В математике , в частности, в теории операторов , плотно определенный оператор или частично определенный оператор представляет собой тип частично определенной функции . В топологическом смысле это линейный оператор , определенный «почти всюду». Плотно определенные операторы часто возникают в функциональном анализе как операции, которые хотелось бы применить к более широкому классу объектов, чем те, для которых они априори «имеют смысл».

Определение

оператор Плотно определенный линейный $T$ из одного топологического векторного пространства , $X,$ к другому, $Y,$ — линейный оператор, определенный в плотном линейном подпространстве $\operatorname {dom} (T)$ из $X$ и принимает значения в $Y,$ написано $T:\operatorname {dom} (T)\subseteq X\to Y.$ Иногда это сокращается как $T:X\to Y$ когда из контекста становится ясно, что $X$ может не быть теоретико- областью множественной $T.$

Примеры

Рассмотрим пространство $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ всех действительных , непрерывных функций определенных на единичном интервале; позволять $C^{1}([0,1];\mathbb {R} )$ обозначим подпространство, состоящее из всех непрерывно дифференцируемых функций . Оборудовать $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ с высшей нормой $\|\,\cdot \,\|_{\infty }$ ; это делает $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ в настоящее банахово пространство . Оператор дифференцирования $D$ данный $(\mathrm {D} u)(x)=u'(x)$ является плотно определенным оператором из $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ самому себе, определенному на плотном подпространстве $C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).$ Оператор $\mathrm {D}$ является примером неограниченного линейного оператора , поскольку $u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ has }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_{\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.$ Эта неограниченность вызывает проблемы, если кто-то хочет каким-то образом непрерывно расширить оператор дифференцирования. $D$ всему $C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).$

С другой стороны, интеграл Пэли -Винера является примером непрерывного расширения плотно определенного оператора. В любом абстрактном винеровском пространстве $i:H\to E$ с присоединенным $j:=i^{*}:E^{*}\to H,$ существует естественный непрерывный линейный оператор (фактически он является включением и является изометрией ) из $j\left(E^{*}\right)$ к $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),$ согласно которому $j(f)\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H$ переходит в класс эквивалентности $[f]$ из $f$ в $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).$ Можно показать, что $j\left(E^{*}\right)$ плотный в $H.$ Поскольку указанное выше включение непрерывно, существует единственное непрерывное линейное расширение $I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ включения $j\left(E^{*}\right)\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )$ всему $H.$ Это расширение представляет собой карту Пэли – Винера.

См. также

Теорема Блюмберга . Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R.
Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
Линейное расширение (линейная алгебра) — математическая функция в линейной алгебре.
Частичная функция - функция, фактическая область определения которой может быть меньше ее видимой области определения.

Ссылки

Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0 . МР 2028503 .

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics