Псевдомонотонный оператор

В математике псевдомонотонный оператор перевода рефлексивного банахова пространства в его непрерывное двойственное пространство — это оператор, который в некотором смысле ведет себя почти так же хорошо , как монотонный оператор . Многие задачи вариационного исчисления можно выразить с помощью псевдомонотонных операторов, а псевдомонотонность, в свою очередь, предполагает существование решений этих задач.

Определение

Пусть ( X , || ||) — рефлексивное банахово пространство. Карта T : X → X ^∗ из X в его непрерывное дуальное пространство X ^∗ называется псевдомонотонным , если T — ограниченный оператор (не обязательно непрерывный) и если всякий раз, когда

$u_{j}\rightharpoonup u{\mbox{ in }}X{\mbox{ as }}j\to \infty$

(т.е. u _j слабо сходится к u ) и

$\limsup _{j\to \infty }\langle T(u_{j}),u_{j}-u\rangle \leq 0,$

отсюда следует, что для v ∈ X всех

$\liminf _{j\to \infty }\langle T(u_{j}),u_{j}-v\rangle \geq \langle T(u),u-v\rangle .$

Свойства псевдомонотонных операторов

Используя доказательство, очень похожее на доказательство теоремы Браудера–Минти , можно показать следующее:

Пусть ( X , || ||) — вещественное рефлексивное банахово пространство и предположим, что T : X → X ^∗ является ограниченным , принудительным и псевдомонотонным. Тогда для каждого непрерывного линейного функционала g ∈ X ^∗ , существует решение u ∈ X уравнения T ( u ) = g .

Ссылки

• Ренарди, Майкл и Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 367. ИСБН  0-387-00444-0 . (Определение 9.56, теорема 9.57)