Банахова решетка

В математических дисциплинах функционального анализа и теории порядка банахова решетка $(X,‖\cdot‖)$ представляет собой полное нормированное векторное пространство с решеточным порядком , $\leq$ , такой, что для всех $x, y \in X$ импликация

{|x|\leq |y|}\Rightarrow {\|x\|\leq \|y\|}

где абсолютное значение

|\cdot|

определяется как

|x|=x\vee -x:=\sup\{x,-x\}{\text{.}}

Примеры и конструкции [ править ]

Банаховы решетки чрезвычайно распространены в функциональном анализе, и «каждый известный пример [в 1948 году] банахова пространства [был] также векторной решеткой ». ^[1] В частности:

$ℝ$ вместе со своим абсолютным значением как нормы является банаховой решеткой.
Пусть $X$ — топологическое пространство, $Y —$ банахова решетка и $𝒞(X, Y)$ пространство непрерывных ограниченных функций из $X$ в $Y$ с нормой $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}{\text{.}}$ Тогда $𝒞(X, Y)$ является банаховой решеткой с поточечным частичным порядком: ${f\leq g}\Leftrightarrow (\forall x\in X)(f(x)\leq g(x)){\text{.}}$

Теперь известны примеры нерешеточных банаховых пространств; Пространство Джеймса – одно из таких. ^[2]

Свойства [ править ]

Непрерывное двойственное пространство банаховой решетки равно ее двойственному порядку . ^[3]

Любая банахова решетка допускает непрерывное приближение к единице . ^[4]

Абстрактные (L)-пространства [ править ]

Банахова решетка, удовлетворяющая дополнительному условию

{f,g\geq 0}\Rightarrow \|f+g\|=\|f\|+\|g\|

называется абстрактным (L)-пространством. Такие пространства в предположении сепарабельности изоморфны замкнутым подрешеткам

L 1 ([0,1])

. ^[5] Классическая средняя эргодическая теорема и рекуррентность Пуанкаре обобщаются на абстрактные (L)-пространства. ^[6]

См. также [ править ]

Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.
Нормированная векторная решетка
Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.
Решетка (порядок) - набор, пары которого имеют минимумы и максимумы.

Сноски [ править ]

^ Биркгоф 1948 , с. 246.
↑ Кания, Томаш (12 апреля 2017 г.). Ответ на вопрос «Банахово пространство, не являющееся банаховой решеткой» (по состоянию на 13 августа 2022 г.). Математический StackExchange . StackOverflow .
^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 234–242.
^ Биркгоф 1948 , с. 251.
^ Биркгоф 1948 , стр. 250, 254.
^ Биркгоф 1948 , стр. 269–271.

Библиография [ править ]

Абрамович Юрий А.; Алипрантис, компакт-диск (2002). Приглашение к теории операторов . Аспирантура по математике. Том. 50. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2146-6 .
Биркгоф, Гаррет (1948). Теория решетки . Публикации коллоквиума AMS 25 (пересмотренная редакция). Нью-Йорк: AMS. hdl : 2027/iau.31858027322886 – через HathiTrust.
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[FOOTNOTEBirkhoff1948246-1] Биркгоф 1948 , с. 246.

[2] Кания, Томаш (12 апреля 2017 г.). Ответ на вопрос «Банахово пространство, не являющееся банаховой решеткой» (по состоянию на 13 августа 2022 г.). Математический StackExchange . StackOverflow .

[FOOTNOTESchaeferWolff1999234–242-3] Шефер и Вольф 1999 , стр. 234–242.

[FOOTNOTEBirkhoff1948251-4] Биркгоф 1948 , с. 251.

[FOOTNOTEBirkhoff1948250,_254-5] Биркгоф 1948 , стр. 250, 254.

[FOOTNOTEBirkhoff1948269–271-6] Биркгоф 1948 , стр. 269–271.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Упорядоченные топологические векторные пространства
Основные понятия	Упорядоченное векторное пространство Частично упорядоченное пространство Пространство Рисса Заказать топологию Заказать единицу Положительный линейный оператор Топологическая векторная решетка Векторная решетка
Типы заказов/мест	AL-пространство AM-пространство Архимед Банахова решетка Решетка Фреше Локально выпуклая векторная решетка Нормированная решетка Заказ связан двойной Заказать двойной Заказ завершен Регулярно заказываем
Типы элементов/подмножеств	Группа Конус-насыщенный Решетка непересекающаяся Двойной/полярный конус Нормальный конус Заказ завершен Суммируемый заказ Заказать единицу Квазивнутренняя точка Твердый набор Слабая единица заказа
Топологии/Конвергенция	Схождение порядка Заказать топологию
Операторы	Позитивный Состояние
Основные результаты	Фрейденталь спектральный

v т и Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice