пространство Джеймса

В области математики, известной как функциональный анализ , пространство Джеймса является важным примером теории банаховых пространств и обычно служит полезным контрпримером к общим утверждениям, касающимся структуры общих банаховых пространств. Пространство было впервые представлено в 1950 году в короткой статье Роберта К. Джеймса .

Пространство Джеймса служит примером пространства, которое изометрически изоморфно своему двойному двойнику , но при этом не является рефлексивным . Более того, пространство Джеймса имеет основу , но не имеет безусловной основы .

Определение

Позволять ${\mathcal {P}}$ обозначают семейство всех конечных возрастающих последовательностей целых чисел нечетной длины. Для любой последовательности действительных чисел $x=(x_{n})$ и $p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{2n+1})\in {\mathcal {P}}$ мы определяем количество

$\|x\|_{p}:=\left(x_{p_{2n+1}}^{2}+\sum _{m=1}^{n}(x_{p_{2m-1}}-x_{p_{2m}})^{2}\right)^{1/2}.$

Пространство Джеймса, обозначаемое J , определяется как все элементы x из c0 _, удовлетворяющие $\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}<\infty$, наделенный нормой $\|x\|:=\sup\{\|x\|_{p}:p\in {\mathcal {P}}\}\ (x\in \mathbf {J} )$.

Характеристики

Источник:

• Пространство Джеймса является банаховым пространством.
• Канонический базис {e _n } является (условным) базисом Шаудера для J . Более того, этот базис одновременно монотонен и сокращается .
• J не имеет безусловного базиса .
• Пространство Джеймса не рефлексивно . Его образ в свой двойной двойник при каноническом вложении имеет коразмерность единицу.
• Однако пространство Джеймса изометрически изоморфно своему двойному двойнику.
• Пространство Джеймса в некоторой степени рефлексивно , то есть каждое замкнутое бесконечномерное подпространство содержит бесконечномерное рефлексивное подпространство. В частности, каждое замкнутое бесконечномерное подпространство содержит изоморфную копию ℓ ₂ .

См. также

• Банахово пространство
• Пространство Цирельсона