база содрогания

В математике базис Шаудера или счетный базис аналогичен обычному ( гамелевскому ) базису векторного пространства ; разница в том, что в базисах Гамеля используются линейные комбинации , которые являются конечными суммами, а для базисов Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховы пространства .

Базы Шаудера были описаны Юлиушем Шаудером в 1927 году. хотя о таких базах говорилось ранее. Например, базис Хаара был дан в 1909 году, а Георг Фабер обсудил в 1910 году базис для непрерывных функций на интервале , иногда называемый системой Фабера-Шаудера .

Определения

Пусть V обозначает топологическое векторное пространство над полем   F . — Базис Шаудера это последовательность { b _n } элементов V такая, что для каждого элемента v ∈ V существует единственная последовательность {α _n } скаляров в F , так что

$$v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}$$

Сходимость бесконечной суммы неявно является сходимостью объемлющей топологии, т. е .

$$\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}$$

но может быть сведено только к слабой сходимости в нормированном векторном пространстве (например, банаховом пространстве ). В отличие от базиса Гамеля , элементы базиса должны быть упорядочены, поскольку ряд не может сходиться безусловно .

Обратите внимание, что некоторые авторы определяют базы Шаудера как счетные (как указано выше), в то время как другие используют этот термин для обозначения несчетных базисов. В любом случае сами суммы всегда счетны. Несчетный базис Шаудера представляет собой линейно упорядоченный набор , а не последовательность, и каждая сумма наследует порядок своих членов от этого линейного порядка. Они могут возникнуть и возникают на практике. Например, сепарабельное гильбертово пространство может иметь только счетный базис Шаудера, а несепарабельное гильбертово пространство может иметь несчетный базис.

Хотя приведенное выше определение технически не требует нормированного пространства, норма необходима, чтобы сказать почти все полезное о базисах Шаудера. Приведенные ниже результаты предполагают существование нормы.

Базис Шаудера { b _n } _{n ≥ 0} называется нормализованным если все базисные векторы имеют норму 1 в банаховом пространстве V. ,

Последовательность { x _n } _{n ≥ 0} в V называется базовой последовательностью, если она является базисом Шаудера своей замкнутой линейной оболочки .

Две базы Шаудера, { b _n } в V и { c _n } в W , называются эквивалентными , если существуют две константы c > 0 и C такие, что для любого натурального числа N ≥ 0 и всех последовательностей {α _n } скаляры,

$c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.$

Семейство векторов в V называется полным, если его линейная оболочка ( множество конечных линейных комбинаций) плотна в V . Если V — гильбертово пространство , ортогональный базис — это полное подмножество B в V такое, что элементы в B ненулевые и попарно ортогональные. Далее, когда каждый элемент в имеет норму 1, тогда B является ортонормированным базисом V B .

Свойства

Пусть { bn _над базис Шаудера банахова пространства V или F = R — C. } Тонким следствием теоремы об открытом отображении является то, что линейные отображения { P _n }, определенные формулой

$v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}$

равномерно ограничены некоторой константой C . Когда C = 1 , базис называется монотонным . Отображения { Pn _} являются базисными проекциями .

Пусть { b* _n } обозначает координатные функционалы , где b* _n присваивает каждому вектору v в V координату α _n v в приведенном выше разложении. Каждый b* _n является ограниченным линейным функционалом на V . Действительно, для каждого вектора v из V ,

$|b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.$

Эти функционалы { b* _n } называются биортогональными функционалами, ассоциированными с базисом { b _n }. Когда базис { b _n } нормализован, координатные функционалы { b* _n } имеют норму ≤ 2 C в непрерывном двойственном V ′ к V .

Банахово пространство с базисом Шаудера обязательно сепарабельно , но обратное неверно. Поскольку каждый вектор v банаховом пространстве V с базисом Шаудера является пределом Pn _в ( v ), причем Pn _{имеет конечный ранг} и равномерно ограничен, такое пространство V удовлетворяет свойству ограниченной аппроксимации .

Теорема, приписываемая Мазуру утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство V содержит базисную последовательность, т. е . существует бесконечномерное подпространство V , имеющее базис Шаудера. Проблема базиса - это вопрос, заданный Банахом, имеет ли каждое сепарабельное банахово пространство базис Шаудера. На этот вопрос отрицательно ответил Пер Энфло , который построил сепарабельное банахово пространство, не обладающее свойством аппроксимации, то есть пространство без базиса Шаудера.

Примеры

Стандартные базисы единичных векторов c ₀ и ℓ ^п при 1 ⩽ p < ∞ являются монотонными базисами Шаудера. В этом базисе единичного вектора { b _n } вектор b _n в V = c ₀ или в V = ℓ ^п представляет собой скалярную последовательность [ b _{n , j} ] _j, где все координаты b _{n, j} равны 0, кроме n-й координаты:

$b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},$

где δ _{n, j} — дельта Кронекера . Пространство ℓ ^∞ не сепарабельна и, следовательно, не имеет базиса Шаудера.

Любой ортонормированный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве является базисом Шаудера. Каждый счетный ортонормированный базис эквивалентен базису стандартного единичного вектора в ℓ ² .

Система Хаара является примером основы для L ^п ([0, 1]) , когда 1 ≤ p < ∞. Когда 1 < p < ∞ , другим примером является тригонометрическая система, определенная ниже. Банахово пространство C ([0, 1]) непрерывных функций на интервале [0, 1] с супремум-нормой допускает базис Шаудера. Система Фабера-Шаудера является наиболее часто используемым базисом Шаудера для C ([0, 1]).

Несколько оснований классических пространств были открыты до появления книги Банаха ( Банах (1932) ), но некоторые другие случаи долгое время оставались открытыми. Например, вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра A ( D ) базис Шаудера, оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев в 1974 году не показал, что ) существует базис, построенный по системе Франклина в A ( D . Можно также доказать, что периодическая система Франклина является базисом банахова пространства Ar _, изоморфного A ( D ). Это пространство Ar _{состоит из всех комплексных непрерывных функций на} единичной окружности T которых , сопряженная функция также непрерывна. Система Франклина — еще один базис Шаудера для C ([0, 1]), и это базис Шаудера в L ^п ([0, 1]), когда 1 ≤ p < ∞ . Системы, производные от системы Франклина, дают базисы в пространстве C. ¹ ([0, 1] ² ) дифференцируемых функций на единичном квадрате. Существование базиса Шаудера в C ¹ ([0, 1] ² ) был вопрос из книги Банаха.

с

Пусть { x _n } в вещественном случае является последовательностью функций

$\{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}$

или, в сложном случае,

$\left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.$

Последовательность { xn _} называется тригонометрической системой . Это базис Шаудера пространства L ^п ([0, 2 π ]) для любого p такого, что 1 < p < ∞ . При p = 2 это содержание теоремы Рисса–Фишера , а при p ≠ 2 — следствие ограниченности на пространстве L ^п ([0, 2 π ]) преобразования Гильберта на окружности . Из этой ограниченности следует, что проекции P _N, определенные формулой

$\left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}$

равномерно ограничены на L ^п ([0, 2 π ]), когда 1 < p < ∞ . Это семейство отображений { PN _и } равностепенно непрерывно стремится к единице на плотном подмножестве, состоящем из тригонометрических полиномов . Отсюда следует, что P _N f стремится к f в L ^п -норма для любой f ∈ L ^п ([0, 2 π ]) . Другими словами, { x _n } является базисом Шаудера L ^п ([0, 2π ] ).

Однако набор { x _n } не является базисом Шаудера для L ¹ ([0, 2π ] ). Это означает, что существуют функции из L ¹ ряд Фурье которого не сходится в L ¹ норме или, что то же самое, что проекции P _N не ограничены равномерно в L ¹ -норм. Кроме того, набор { x _n } не является базисом Шаудера для C ([0, 2 π ]).

Базы для пространств операторов

Пространство K (ℓ ² ) компактных операторов в гильбертовом пространстве ℓ ² имеет базис Шаудера. Для каждого x , y в ℓ ² , пусть x ⊗ y обозначает ранга один оператор v ∈ ℓ ² → < v , Икс > у . Если { e _n } _{n ≥ 1} — стандартный ортонормированный базис ℓ ² , основа для K (ℓ ² ) задается последовательностью

${\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}$

Для каждого n последовательность, состоящая из n ² семейства { } _j этом базисе — это подходящий порядок ej⊗ek _для 1 ≤ первые векторы в , k ≤ n .

Предыдущий результат можно обобщить: банахово пространство X с базисом обладает свойством аппроксимации , поэтому пространство K ( X ) компактных операторов на X изометрически изоморфно. к инъективному тензорному произведению

$X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).$

Если X — банахово пространство с базисом Шаудера { en _} такое , _{n ≥ 1} что биортогональные функционалы являются базисом двойственного, то есть банахово пространство с сжимающимся базисом , то пространство K ( X ) допускает базис, образованный операторами первого ранга e * _j ⊗ e _k : v → e * _j ( v ) e _k , с тем же порядком, что и раньше. Это относится, в частности, к каждому рефлексивному банаховому пространству X с базисом Шаудера.

С другой стороны, пространство B (ℓ ² ) не имеет базиса, так как несепарабельна. Более того, B (ℓ ² ) не обладает свойством аппроксимации.

Безоговорочность

Базис Шаудера { b _n } является безусловным , если всякий раз, когда ряд $\sum \alpha _{n}b_{n}$ сходится, сходится безоговорочно . Для базиса Шаудера { b _n } это эквивалентно существованию константы C такой, что

${\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}$

для всех натуральных чисел n , всех скалярных коэффициентов {α _k } и всех знаков ε _k = ±1 .Безусловность — важное свойство, поскольку позволяет забыть о порядке суммирования. Базис Шаудера является симметричным , если он безусловен и равномерно эквивалентен всем своим перестановкам : существует константа C такая, что для каждого натурального числа n , каждой перестановки π набора {0, 1, ..., n } все скалярные коэффициенты {α _k } и все знаки {ε _k },

${\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.$

Стандартные базисы пространств последовательностей c ₀ и ℓ ^п при 1 ⩽ p < ∞, а также любой ортонормированный базис в гильбертовом пространстве безусловны. Эти основания также симметричны.

Тригонометрическая система не является безусловным базисом в L. ^п , за исключением p = 2.

Система Хаара является безусловным базисом в L ^п для любого 1 < p < ∞. Пространство Л ¹ ([0, 1]) не имеет безусловного базиса.

Естественный вопрос: каждое ли бесконечномерное банахово пространство имеет бесконечномерное подпространство с безусловным базисом. Эта проблема была решена отрицательно Тимоти Гауэрсом и Бернардом Мори в 1992 году.

и

Базис { e _n } _{n ≥0} банахова пространства X ограниченно полон, если для любой последовательности { a _n } _{n ≥0} скаляров такой, что частичные суммы

$V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}$

ограничены в X последовательность { V _n } сходится в X. , Базис единичного вектора для ℓ ^п , 1 ⩽ p < ∞ , ограниченно полно. Однако базис единичного вектора не является ограниченно полным в c ₀ . Действительно, если a _n = 1 для каждого n , то

$\|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1$

для любого n , но последовательность { Vn _} не сходится в c0 _, поскольку || В _{н +1} − В _н || = 1 для каждого n .

Пространство X с ограниченно полным базисом { e _n } _{n ≥0} изоморфно X дуальному пространству, а именно, пространство изоморфно двойственному замкнутой линейной оболочке в двойственном X ′ биортогональных функционалов, ассоциированных с базисом { е _н }.

Базис { e _n } _{n ≥0} X , сжимается чисел если для каждого ограниченного линейного функционала f на X последовательность неотрицательных

$\varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}$

стремится к 0, когда → ∞ , где F _n — линейная оболочка базисных векторов em _n для m ≥ n . Базис единичного вектора для ℓ ^п , 1 < p < ∞ или при c ₀ сжимается. Он не сжимается в ℓ ¹ : если f — ограниченный линейный функционал на ℓ ¹ данный

$f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},$

тогда φ _n ≥ ж ( е _п ) знак равно 1 для каждого n .

Базис [ e _n ] _{n ≥ 0} X [ сжимается тогда и только тогда, когда биортогональные функционалы e * n _] n _{≥ 0} образуют базис двойственного X ′ .

Роберт К. Джеймс охарактеризовал рефлексивность в банаховых пространствах с базисом: пространство X с базисом Шаудера рефлексивно тогда и только тогда, когда базис одновременно сжимается и ограниченно полон. Джеймс также доказал, что пространство с безусловным базисом нерефлексивно тогда и только тогда, когда оно содержит подпространство, изоморфное c ₀ или ℓ. ¹ .

Связанные понятия

Базис Гамеля — это подмножество B векторного пространства V такое, что каждый элемент v ∈ V однозначно может быть записан как

$v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b$

с α _b ∈ F с дополнительным условием, что множество

$\{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}$

конечно. Это свойство делает базис Гамеля громоздким для бесконечномерных банаховых пространств; как базис Гамеля для бесконечномерного банахового пространства должен быть несчетным . (Каждое конечномерное подпространство бесконечномерного банахова пространства X имеет пустую внутреннюю часть и нигде не плотно в X. Тогда из теоремы о категории Бэра следует , что счетное объединение баз этих конечномерных подпространств не может служить базисом . )

См. также

• основа Маркушевича
• Обобщенный ряд Фурье
• Ортогональные полиномы
• Вейвлет для волос
• Банахово пространство

Примечания

Эта статья включает в себя материал из Countable base на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Ссылки

• Шаудер, Юлиуш (1927), «К теории непрерывных отображений в функциональных пространствах», Mathematical Journal (на немецком языке), 26 : 47–65, doi : 10.1007/BF01475440 , hdl : 10338.dmlcz/104881 .
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 г.
• Фабиан, Мэриан; Хабала, Питер; Гаек, Петр; Монтесинос, Висенте; Зизлер, Вацлав (2011), Теория банахового пространства: основа линейного и нелинейного анализа , Книги CMS по математике, Springer, ISBN  978-1-4419-7514-0
• Джеймс, Роберт С. (1950). «Базисы и рефлексивность банаховых пространств». Анналы математики . 52 (3): 518–527. дои : 10.2307/1969430 . МИСТЕР 39915
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей , Результаты математики и ее границ, том. 92, Берлин: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-08072-4
• Райан, Раймонд А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Монографии Спрингера по математике, Лондон: Springer-Verlag, стр. xiv + 225, ISBN  1-85233-437-1
• Шефер, Хельмут Х. (1971), Топологические векторные пространства , Тексты для аспирантов по математике , вып. 3, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xi+294, ISBN.  0-387-98726-6 .
• Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 25, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. xiv+382, ISBN  0-521-35618-0 .
• Голубов, Б.И. (2001) [1994], «Система Фабера–Шаудера» , Энциклопедия математики , EMS Press

.

• Хайль, Кристофер Э. (1997). «Букварь по базовой теории» (PDF) . .
• Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclepediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655

Дальнейшее чтение

• Куфнер, Алоис (2013), Функциональные пространства , Серия Де Грюйтера в нелинейном анализе и приложениях, том. 14, Прага: Издательство «Академия» Чехословацкой академии наук, де Грюйтер.