Для Энфло

Для Энфло
Энфло в 1972 году
Рожденный	( 1944-05-20 ) 20 мая 1944 г. Стокгольм , Швеция
Альма-матер	Стокгольмский университет
Известный	Задача аппроксимации база содрогания Пятая проблема Гильберта (бесконечномерная) равномерно выпуклые перенормы суперрефлексивных пространств банаховых вложение метрических пространств ( искажение куба неограниченное ) «Концентрация» полиномов низкой степени Проблема инвариантного подпространства
Награды	» Мазура « Живой гусь для решения задачи 153 « Шотландской книги ».
Научная карьера
Поля	Функциональный анализ Теория операторов Аналитическая теория чисел
Учреждения	Калифорнийский университет, Беркли Стэнфордский университет Политехническая школа , Париж Королевский технологический институт , Стокгольм Кентский государственный университет
Докторантура	Ханс Родстрем
Докторанты	Анджела Спалсбери Брюс Резник

Пер Х. Энфло ( Шведский: [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; родился 20 мая 1944 года) — шведский математик, работавший в основном в области функционального анализа , области, в которой он решал проблемы , считавшиеся фундаментальными. Три из этих проблем оставались открытыми более сорока лет:

• и Задача базиса задача аппроксимации и позже
• проблема инвариантных подпространств банаховых пространств .

Решая эти проблемы, Энфло разработала новые методы, которые затем в течение многих лет использовались другими исследователями функционального анализа и теории операторов . Некоторые исследования Энфло сыграли важную роль и в других математических областях, таких как теория чисел , и в информатике , особенно в компьютерной алгебре и алгоритмах аппроксимации .

Энфло работает в Кентском государственном университете , где имеет звание профессора университета. Ранее Enflo занимала должности в Миллера Институте фундаментальных научных исследований при Калифорнийском университете в Беркли , Стэнфордском университете , Политехнической школе ( Париж ) и Королевском технологическом институте в Стокгольме .

Энфло также является концертирующим пианистом .

Энфло в функциональный анализ и

В математике действующих функциональный анализ занимается изучением векторных пространств и операторов, на них. Оно имеет свои исторические корни в изучении функциональных пространств , в частности преобразований функций , таких как преобразование Фурье , а также в изучении дифференциальных и интегральных уравнений. В функциональном анализе важный класс векторных пространств состоит из полных нормированных векторных пространств над действительными или комплексными числами, которые называются банаховыми пространствами . Важным примером банахового пространства является гильбертово пространство , где норма возникает из скалярного произведения . Гильбертовые пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , случайные процессы и анализ временных рядов . Помимо изучения пространств функций, функциональный анализ также изучает непрерывные линейные операторы в пространствах функций.

проблема Гильберта

Смотрите также: пятая проблема Гильберта

В Стокгольмском университете Ханс Родстрем предложил Энфло рассмотреть пятую проблему Гильберта в духе функционального анализа. За два года, 1969–1970, Enflo опубликовала пять статей по пятой проблеме Гильберта; эти статьи собраны в Enflo (1970) вместе с кратким резюме. Некоторые результаты этих работ описаны в Энфло (1976) и в последней главе Беньямини и Линденштрауса .

Приложения в информатике

См. также: Алгоритм аппроксимации.

Методы Enflo нашли применение в информатике . Теоретики алгоритмов выводят алгоритмы аппроксимации , которые встраивают конечные метрические пространства в маломерные евклидовы пространства с малым «искажением» (в Громова терминологии Липшица для категории ; см. расстояние Банаха – Мазура ). задачи малой размерности имеют меньшую вычислительную сложность Конечно, . Что еще более важно, если задачи хорошо встраиваются либо в евклидову плоскость , либо в трехмерное евклидово пространство , тогда геометрические алгоритмы становятся исключительно быстрыми.

Однако такие методы встраивания имеют ограничения, как показывает теорема Энфло (1969):

Для каждого $m\geq 2$, куб Хэмминга $C_{m}$ нельзя встроить с «искажением» $D$"(или меньше) в $2^{m}$-мерное евклидово пространство, если $D<{\sqrt {m}}$. Следовательно, оптимальным вложением является естественное вложение, реализующее $\{0,1\}^{m}$ как подпространство $m$-мерное евклидово пространство.

Эта теорема, «найденная Энфло [1969], вероятно, является первым результатом, показывающим неограниченное искажение вложений в евклидовы пространства . Энфло рассматривал проблему равномерной вложимости банаховых пространств , и искажение было вспомогательным приемом в его доказательстве».

Геометрия банаховых пространств

Смотрите также: Равномерно выпуклое пространство

является Равномерно выпуклое пространство банаховым пространством , так что для любого $\epsilon >0$ есть некоторые $\delta >0$ так что для любых двух векторов с $\|x\|\leq 1$ и $\|y\|\leq 1,$

$\|x+y\|>2-\delta$

подразумевает, что

$\|x-y\|<\epsilon .$

Интуитивно понятно, что центр отрезка внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если сегмент не короткий.

В 1972 году Энфло доказал, что «всякое суперрефлексивное банахово пространство допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму».

Задача о базисе и гусь Мазура

См. Также: Базис Шаудера и проблема аппроксимации.

В одной статье, опубликованной в 1973 году, Пер Энфло решил три проблемы, которые десятилетиями ставили в тупик функциональных аналитиков: базисную проблему Стефана Банаха , « гусиную проблему » Станислава Мазура и проблему аппроксимации Александра Гротендика . Гротендик показал, что его проблема аппроксимации является центральной проблемой теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов .

Базисная задача Банаха

Основная статья: основа содрогания

См. также: Стефан Банах , Банахово пространство и Сепарабельное пространство.

Проблема базиса была поставлена ​​Стефаном Банахом в его книге «Теория линейных операторов» . ли каждое сепарабельное банахово пространство Банах задался вопросом, имеет базис Шаудера .

Базис Шаудера или счетный базис аналогичен обычному (гамелевскому) базису векторного пространства ; разница в том, что для баз Гамеля мы используем линейные комбинации , которые являются конечными суммами, а для базисов Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховы пространства .

Базы Шаудера были описаны Юлиушем Шаудером в 1927 году. Пусть V обозначает банахово пространство над полем F . — Базис Шаудера это последовательность ( bn ₎ элементов из V такая, что для каждого элемента v ∈ V существует уникальная последовательность (αn ₎ элементов из F , так что

$v=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha _{n}b_{n}\,$

где сходимость понимается по норме топологии . Аналогично можно определить базисы Шаудера и в общем топологическом векторном пространстве .

В 1937 году польский математик Станислав Мазур пообещал «живого гуся» в качестве награды за решение задачи 153 из « Шотландской книги» . В 1972 году Мазур подарил гуся Перу Энфло.

153 в Шотландской книге:

В 1972 году Станислав Мазур наградил Энфло обещанным живым гусем за решение задачи из шотландской книги .

См. также: «Шотландское кафе» , «Шотландская книга» и «Станислав Мазур».

Банах и другие польские математики работали над математическими задачами в « Шотландском кафе» . Когда задача была особенно интересной и когда ее решение казалось трудным, ее записывали в книгу задач, которая вскоре стала известна как « Шотландская книга» . Для задач, которые казались особенно важными или трудными, или и то, и другое, автор задачи часто обещал присудить премию за ее решение.

6 ноября 1936 года Станислав Мазур поставил задачу о представлении непрерывных функций. Формально записав задачу 153 в «Шотландскую книгу» , Мазур пообещал в качестве награды «живого гуся», особенно высокую цену во время Великой депрессии и накануне Второй мировой войны .

Довольно скоро после этого стало понятно, что проблема Мазура тесно связана с проблемой Банаха о существовании базисов Шаудера в сепарабельных банаховых пространствах. Большинство других задач в Шотландской книге решались регулярно. Однако по проблеме Мазура и нескольким другим задачам, ставшим известными открытыми задачами для математиков всего мира, прогресс был незначительным.

Гротендиком

Основные статьи: Свойство аппроксимации и проблема аппроксимации

Смотрите также: Компактный оператор и Александр Гротендик.

Работа Гротендика по теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов ввела свойство аппроксимации . свойством аппроксимации Говорят, что банахово пространство обладает , если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга . Обратное всегда верно.

В большой монографии Гротендик доказал, что если бы каждое банахово пространство обладало свойством аппроксимации, то каждое банахово пространство имело бы базис Шаудера. Таким образом, Гротендик сосредоточил внимание функциональных аналитиков на решении вопроса, обладает ли каждое банахово пространство свойством аппроксимации.

Решение Enflo

В 1972 году Пер Энфло построил сепарабельное банахово пространство, лишенное свойства аппроксимации и базиса Шаудера. В 1972 году Мазур вручил Энфло живого гуся на церемонии в Центре Стефана Банаха в Варшаве ; Церемония «гусиного награждения» транслировалась на всю Польшу .

Проблема инвариантного

Основная статья: Проблема инвариантного подпространства

Смотрите также: Инвариантное подпространство

В функциональном анализе одной из наиболее заметных проблем была проблема инвариантного подпространства , которая требовала оценки истинности следующего предложения:

Учитывая комплексное банахово пространство H размерности , т . > 1 и ограниченный линейный оператор T : H → H , то H имеет нетривиальное замкнутое T -инвариантное подпространство е. существует замкнутое линейное подпространство W в H , отличное от {0 } и H такие, что ( W ) ⊆ W. T

Для банаховых пространств первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Энфло. (Для гильбертовых пространств проблема инвариантных подпространств остается открытой .)

Enflo предложила решение проблемы инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав его схему в 1976 году. Enflo представила полную статью в 1981 году, но сложность и объем статьи отложили ее публикацию до 1987 года. Длинная «рукопись Энфло имела всемирное распространение среди математиков». и некоторые из его идей были описаны в публикациях, помимо Enflo (1976). Работы Энфло вдохновили на создание аналогичной конструкции оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло.

В 1990-х годах Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантных подпространств в гильбертовых пространствах.

Мультипликативные неравенства для однородных многочленов

См. также: однородный полином

Существенной идеей конструкции Энфло была « концентрация полиномов низких степеней »: для всех положительных целых чисел $m$ и $n$, существует $C(m,n)>0$ такая, что для всех однородных многочленов $P$ и $Q$ степеней $m$ и $n$ (в $k$ переменные), тогда

$|PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,$

где $|P|$ обозначает сумму абсолютных значений коэффициентов $P$. Энфло доказал, что $C(m,n)$ не зависит от количества переменных $k$. Первоначальное доказательство Энфло было упрощено Монтгомери .

Этот результат был обобщен на другие нормы векторного пространства однородных полиномов . Из этих норм наиболее часто используемой была норма Бомбьери .

Бомбьери норма

Основная статья: Норма Бомбьери

Норма Бомбьери определяется через следующее скалярное произведение :Для всех $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}$ у нас есть

$\langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0$ если $\alpha \neq \beta$

Для каждого $\alpha \in \mathbb {N} ^{N}$ мы определяем $||X^{\alpha }||^{2}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}},$

где мы используем следующие обозначения:если $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}$, мы пишем $|\alpha |=\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}$ и $\alpha !=\Pi _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)$ и $X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.$

Самым замечательным свойством этой нормы является неравенство Бомбьери:

Позволять $P,Q$ — два однородных многочлена соответственно степени $d^{\circ }(P)$ и $d^{\circ }(Q)$ с $N$ переменных, то имеет место неравенство

${\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}||P||^{2}\,||Q||^{2}\leq ||P\cdot Q||^{2}\leq ||P||^{2}\,||Q||^{2}.$

В приведенном выше утверждении неравенство Бомбьери является левым неравенством; правое неравенство означает, что Бомбьери является нормой алгебры норма многочленов при умножении.

Неравенство Бомбьери подразумевает, что произведение двух многочленов не может быть сколь угодно малым, и эта нижняя оценка является фундаментальной в таких приложениях, как факторизация полинома (или в конструкции Энфло оператора без инвариантного подпространства).

Приложения

См. Также: Полиномиальная факторизация

Идея Энфло о «концентрации полиномов низких степеней» привела к важным публикациям по теории чисел. алгебраическая и диофантова геометрия , и полиномиальная факторизация .

биология: динамика

Смотрите также: Математическая биология и демографическая динамика.

В области прикладной математики Пер Энфло опубликовал несколько статей по математической биологии , особенно по динамике населения .

Эволюция человека

Энфло также опубликовал публикации в области популяционной генетики и палеоантропологии .

Сегодня все люди принадлежат к одной популяции Homo sapiens sapiens , которая разделена видовым барьером. Однако, согласно модели «Из Африки», это не первый вид гоминид: первый вид рода Homo , Homo habilis , развился в Восточной Африке не менее 2 млн лет назад, и представители этого вида заселили разные части Африки в относительно короткое время. Homo erectus развился более 1,8 млн лет назад и к 1,5 млн лет назад распространился по всему Старому Свету .

Антропологи разделились во мнениях относительно того, развивалась ли нынешняя человеческая популяция как одна взаимосвязанная популяция (как постулируется гипотезой многорегиональной эволюции ) или развивалась только в Восточной Африке, видоизменилась , а затем мигрировала из Африки и заменила человеческие популяции в Евразии (так называемая «многорегиональная эволюция»). Модель «Из Африки» или модель «Полная замена»).

Неандертальцы и современные люди сосуществовали в Европе на протяжении нескольких тысяч лет, но продолжительность этого периода неизвестна. Современные люди, возможно, впервые мигрировали в Европу 40–43 000 лет назад. Неандертальцы, возможно, жили совсем недавно, 24 000 лет назад, в убежищах на южном побережье Пиренейского полуострова, таких как пещера Горхэма . Было высказано предположение о взаимной стратификации останков неандертальца и современного человека. но оспаривается.

с Хоуксом и Вулпоффом Enflo опубликовала объяснение ископаемых свидетельств ДНК неандертальцев и Вместе современных людей . В этой статье делается попытка разрешить спор об эволюции современного человека между теориями, предполагающими либо многорегиональное , либо единое африканское происхождение. В частности,Вымирание неандертальцев могло произойти из-за волны проникновения современных людей в Европу – технически говоря, из-за «непрерывного притока ДНК современного человека в генофонд неандертальцев».

Enflo также писала о динамике популяций дрейссены в озере Эри .

Концертирующий пианист Пер Энфло дебютировал в Концертном зале Стокгольма в 1963 году.

Фортепиано

Пер Энфло также является концертирующим пианистом .

как Одаренный ребенок в музыке, так и в математике, Энфло выиграл Шведский конкурс юных пианистов в 1956 году в возрасте 11 лет, а также выиграл тот же конкурс в 1961 году. В 12 лет Энфло выступила в качестве солистки Королевского оперного оркестра Швеции. Он дебютировал в Стокгольмском концертном зале в 1963 году. Среди учителей Энфло были Бруно Зайдльхофер , Геза Анда и Готфрид Бун (который сам был учеником Артура Шнабеля).

В 1999 году Enflo приняла участие в первом ежегодном Ван Клиберна Фонда Международном конкурсе пианистов для выдающихся любителей. Архивировано 19 апреля 2009 г. в Wayback Machine .

Enflo регулярно выступает в Кенте и в серии Моцарта в Колумбусе, штат Огайо (с оркестром Triune Festival). Его сольные фортепианные концерты транслировались в сети Classics Network радиостанции WOSU , спонсором которой является Университет штата Огайо .

Ссылки

Примечания

• « Объявлены лауреаты премии «Выдающийся ученый 2005 года» Кентского государственного университета », eInside , 11 апреля 2005 г. Проверено 4 февраля 2007 г.

Библиография

• Энфло, Пер. (1970) Исследования пятой проблемы Гильберта для нелокально компактных групп (Стокгольмский университет). Диссертация Энфло содержит перепечатки ровно пяти статей:
  • Энфло, Пер (1969a). «Топологические группы, в которых умножение с одной стороны дифференцируемо или линейно» . Математика. Скан . 24 : 195–197. doi : 10.7146/math.scand.a-10930 .
  • Пер Энфло (1969). «О несуществовании равномерных гомеоморфизмов между _{пространствами Lp} » . Арк. Мат . 8 (2): 103–5. Бибкод : 1970АрМ.....8..103Е . дои : 10.1007/BF02589549 .
  • Энфло, Пер (1969b). «О проблеме Смирнова» . Арк. Мат . 8 (2): 107–109. Бибкод : 1970АрМ.....8..107Э . дои : 10.1007/bf02589550 .
  • Энфло, Пер (1970a). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах I ». Израильский математический журнал . 8 (3): 230–252. дои : 10.1007/BF02771560 . S2CID   189773170 .
  • Энфло, Пер (1970b). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах II ». Израильский математический журнал . 8 (3): 253–272. дои : 10.1007/BF02771561 . S2CID   121193430 .
    • Энфло, Пер. 1976. Равномерные гомеоморфизмы банаховых пространств . Семинар Мори-Шварца (1975–1976), Пространства, $L^{p}$, радонифицирующие приложения и геометрия банаховых пространств , Эксп. № 18, 7 с. Центр математики, Политехническая школа, Палезо. МИСТЕР 0477709 (57 #17222) [Основные статьи по пятой проблеме Гильберта и независимым результатам Мартина Рибе, еще одного ученика Ганса Родстрема]
• Энфло, Пер (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал . 13 (3–4): 281–288. дои : 10.1007/BF02762802 . МР   0336297 . S2CID   120895135 .
• Энфло, Пер (1973). «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах» . Акта Математика . 130 : 309–317. дои : 10.1007/BF02392270 . МР   0402468 .
• Энфло, Пер (1976). «О проблеме инвариантных подпространств в банаховых пространствах» (PDF) . Семинар Морей-Шварц (1975-1976) Espaces L ^п , радонифицирующие приложения и геометрия банаховых пространств, Эксп. Нет. 14–15 . Центр математики, Политехническая школа, Палезо. стр. 1–7. МР   0473871 .
• Энфло, Пер (1987). «О проблеме инвариантных подпространств банаховых пространств» . Акта Математика . 158 (3): 213–313. дои : 10.1007/BF02392260 . ISSN   0001-5962 . МР   0892591 .
• Бозами, Бернар; Бомбьери, Энрико ; Энфло, Пер; Монтгомери, Хью Л. (1990). «Произведения полиномов от многих переменных». Журнал теории чисел . 36 (2): 219–245. дои : 10.1016/0022-314X(90)90075-3 . hdl : 2027.42/28840 . МР   1072467 .
• Бозами, Бернар; Энфло, Пер; Ван, Пол (октябрь 1994 г.). «Количественные оценки полиномов от одной или нескольких переменных: от анализа и теории чисел к символическим и массово параллельным вычислениям». Журнал «Математика» . 67 (4): 243–257. JSTOR   2690843 . (доступно читателям со степенью бакалавра математики)
• П. Энфло, Джон Д. Хоукс , М. Вулпофф . «Простая причина, почему происхождение неандертальцев может соответствовать современной информации о ДНК». Американский журнал «Физическая антропология» , 2001 г.
• Энфло, Пер; Ломоносов, Виктор (2001). «Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства». Справочник по геометрии банаховых пространств . Том. I. Амстердам: Северная Голландия. стр. 533–559.
• Бартл, Р.Г. (1977). «Обзор книги Пера Энфло «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах» Acta Mathematica 130 (1973), 309–317» . Математические обзоры . 130 : 309–317. дои : 10.1007/BF02392270 . МР   0402468 .
• Бозами, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховые пространства и их геометрию (второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN  0-444-86416-4 . МР   0889253 .
• Бозами, Бернар (1988). Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства . Северная Голландия. ISBN  0-444-70521-Х . МР   0967989 .
• Энрико Бомбьери и Уолтер Гублер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Кембриджский ISBN UP  0-521-84615-3 .
• Роджер Б. Эгглтон (1984). «Обзор книги Молдина «Шотландская книга: математика из шотландского кафе ». Математические обзоры . МР   0666400 .
• Гротендик А .: Топологические тензорные произведения и ядерные пространства . Памятка. Горький. Математика. Соц. 16 (1955).
• Халмос, Пол Р. (1978). «Базы Шаудера». Американский математический ежемесячник . 85 (4): 256–257. дои : 10.2307/2321165 . JSTOR   2321165 . МР   0488901 .
• Пол Р. Халмос , «Замедлился ли прогресс в математике?» амер. Математика. Ежемесячник 97 (1990), вып. 7, 561–588. МИСТЕР 1066321
• Уильям Б. Джонсон «Дополнительно универсальные сепарабельные банаховы пространства» Роберта Г. Бартла (редактор), 1980 г. Исследования по функциональному анализу , Математическая ассоциация Америки.
• Калужа, Роман (1996). Энн Костант и Войбор Войчински (ред.). Глазами репортера: жизнь Стефана Банаха . Биркхойзер. ISBN  0-8176-3772-9 . МР   1392949 .
• Кнут, Дональд Э. (1997). «4.6.2 Факторизация полиномов». Получисловые алгоритмы . Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (Третье изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 439–461, 678–691. ISBN  0-201-89684-2 .
• Квапинь, С. «На примере Энфло банахового пространства без свойства аппроксимации». Семинар Гулаука-Шварца 1972–1973: Уравнения в частных производных и функциональный анализ, Exp. № 8, 9 с. Математический центр, Политехническая школа, Париж, 1973. MR 407569
• Линденштраусс, Иорам и Беньямини, Йоав. Публикации коллоквиума по геометрическому нелинейному функциональному анализу , 48. Американское математическое общество.
• Линденштраусс, Дж .; Цафрири, Л.: Классические банаховые пространства I, Пространства последовательностей , 1977. Springer-Verlag.
• Матушек, Иржи (2002). Лекции по дискретной геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-95373-1 . .
• Р. Дэниел Молдин, изд. (1981). Шотландская книга: математика из шотландского кафе (включая избранные статьи, представленные на конференции шотландской книги , проходившей в Университете штата Северный Техас, Дентон, Техас, май 1979 г.) . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. стр. xiii+268 стр. (2 листа). ISBN  3-7643-3045-7 . МР   0666400 .
• Недевский, П.; Троянский, С. (1973). «П. Энфло решил в отрицательном плане банахову проблему о существовании базиса для всякого сепарабельного банахового пространства». Физ.-Мат. Спиш. Булгар. Акад. Наук . 16 (49): 134–138. МР   0458132 .
• Питч, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. xxiv + 855 стр. ISBN  978-0-8176-4367-6 . МР   2300779 .
• Пизье, Жиль (1975). «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах». Израильский математический журнал . 20 (3–4): 326–350. дои : 10.1007/BF02760337 . МР   0394135 . S2CID   120947324 .
• Гейдар Раджави и Питер Розенталь (март 1982 г.). «Проблема инвариантного подпространства» . Математический интеллект . 4 (1): 33–37. дои : 10.1007/BF03022994 . S2CID   122811130 .
• Карен Сакс , Начало функционального анализа , Тексты для студентов по математике , 2002 Springer-Verlag, Нью-Йорк. (На страницах 122–123 представлена ​​биография Пера Энфло.)
• Шмидт, Вольфганг М. (1980 [1996 с небольшими исправлениями]) Диофантово приближение . Конспект лекций по математике 785. Спрингер.
• Певец Иван. Базисы в банаховых пространствах. II . Издательство Академии Социалистической Республики Румыния, Бухарест; Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1981. viii+880 стр. ISBN   3-540-10394-5 . МИСТЕР 610799
• Ядав, Б.С. (2005). «Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства». Миланский математический журнал . 73 : 289–316. дои : 10.1007/s00032-005-0048-7 . ISSN   1424-9286 . МР   2175046 . S2CID   121068326 .

Внешние источники

• Биография Пера Энфло в колледже Канисиус
• Домашняя страница Per Enflo в Кентском государственном университете
• Энфло, Пер (25 апреля 2011 г.). «Личные заметки, своими словами» . perenflo.com. Архивировано из оригинала 26 апреля 2012 года . Проверено 13 декабря 2011 г.

• Пер Энфло в проекте «Математическая генеалогия»