Норма Бомбьери

В математике норма Бомбьери , названная в честь Энрико Бомбьери , — это норма для однородных многочленов с коэффициентом $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ (есть также версия для неоднородных одномерных полиномов). Эта норма обладает множеством замечательных свойств, наиболее важные из которых перечислены в этой статье.

Скалярное произведение Бомбьери для однородных полиномов

Начнем с геометрии, скалярное произведение Бомбьери для однородных полиномов с N переменными можно определить следующим образом, используя многоиндексную нотацию : $$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}$$по определению различные мономы ортогональны, так что $$\langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0$$ если $\alpha \neq \beta ,$

пока $$\forall \alpha \in \mathbb {N} ^{N}$$ по определению $$\|X^{\alpha }\|^{2}={\frac {\alpha !}{|\alpha |!}}.$$

В приведенном выше определении и в остальной части этой статьи применяются следующие обозначения:

если $$\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N},$$ писать $$|\alpha |=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}$$ и $$\alpha !=\prod _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)$$ и $$X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.$$

Неравенство Бомбьери

Фундаментальным свойством этой нормы является неравенство Бомбьери:

позволять $P,Q$ — два однородных многочлена соответственно степени $d^{\circ }(P)$ и $d^{\circ }(Q)$ с $N$ переменных, то имеет место неравенство

${\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}\|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}\leq \|P\cdot Q\|^{2}\leq \|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}.$

Здесь неравенство Бомбьери — это левая часть приведенного выше утверждения, а правая часть означает, что норма Бомбьери является нормой алгебры . Без этого ограничения давать левую часть бессмысленно, потому что в этом случае мы можем добиться того же результата с любой нормой, умножив норму на правильно выбранный коэффициент.

Из этого мультипликативного неравенства следует, что произведение двух многочленов ограничено снизу величиной, зависящей от множимых многочленов. Таким образом, это произведение не может быть сколь угодно малым. Это мультипликативное неравенство полезно в метрической алгебраической геометрии и теории чисел .

Инвариантность по изометрии

Другое важное свойство состоит в том, что норма Бомбьери инвариантна по композиции с изометрия :

позволять $P,Q$ — два однородных многочлена степени $d$ с $N$ переменные и пусть $h$ быть изометриейиз $\mathbb {R} ^{N}$ (или $\mathbb {C} ^{N}$). Тогда у нас есть $\langle P\circ h|Q\circ h\rangle =\langle P|Q\rangle$. Когда $P=Q$ это подразумевает $\|P\circ h\|=\|P\|$.

Этот результат следует из хорошей интегральной формулировки скалярного произведения:

$\langle P|Q\rangle ={d+N-1 \choose N-1}\int _{S^{N}}P(Z){\overline {Q(Z)}}\,d\sigma (Z)$

где $S^{N}$ представляет собой единичную сферу $\mathbb {C} ^{N}$ с его канонической мерой $d\sigma (Z)$.

Другие неравенства

Позволять $P$ — однородный многочлен степени $d$ с $N$ переменные и пусть $Z\in \mathbb {C} ^{N}$. У нас есть:

• $|P(Z)|\leq \|P\|\,\|Z\|_{E}^{d}$
• $\|\nabla P(Z)\|_{E}\leq d\|P\|\,\|Z\|_{E}^{d}$

где $\|\cdot \|_{E}$ обозначает евклидову норму.

норма Бомбьери полезна при полиномиальной факторизации, где она имеет некоторые преимущества перед мерой Малера По словам Кнута, (упражнения 20–21, страницы 457–458 и 682–684).

См. также

• Многообразие Грассмана
• Харди космос
• Однородный полином
• Вложение Плюкера

Ссылки

• Бозами, Бернар; Бомбьери, Энрико ; Энфло, Пер ; Монтгомери, Хью Л. (1990). «Произведения полиномов от многих переменных» (PDF) . Журнал теории чисел . 36 (2): 219–245. дои : 10.1016/0022-314X(90)90075-3 . hdl : 2027.42/28840 . МР   1072467 .
• Бозами, Бернар; Энфло, Пер ; Ван, Пол (октябрь 1994 г.). «Количественные оценки полиномов от одной или нескольких переменных: от анализа и теории чисел к символьным и массово-параллельным вычислениям» (PDF) . Журнал «Математика» . 67 (4): 243–257. дои : 10.2307/2690843 . JSTOR   2690843 . МР   1300564 .
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Кембриджский UP ISBN  0-521-84615-3 . МР   2216774 .
• Кнут, Дональд Э. (1997). « 4.6.2 Факторизация полиномов ». Получисловые алгоритмы . Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (Третье изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 439–461, 678–691. ISBN  0-201-89684-2 . МР   0633878 .