Грассманиан

Чтобы узнать о других значениях, см. Грассманиан (значения) .

В математике грассманиан ​ $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ (названо в честь Германа Грассмана ) — дифференцируемое многообразие , параметризующее множество всех $k$- размерные линейные подпространства $n$-мерное векторное пространство $V$ над полем $K$. Например, Грассманиан $\mathbf {Gr} _{1}(V)$ - это пространство линий, проходящих через начало координат в $V$, так что это то же самое, что и проективное пространство $\mathbf {P} (V)$ на одно измерение ниже, чем $V$. Когда $V$ — вещественное или комплексное векторное пространство, грассманианы — компактные гладкие многообразия размерности $k(n-k)$. В общем случае они имеют структуру неособого проективного алгебраического многообразия .

Самая ранняя работа по нетривиальному грассманиану принадлежит Юлиусу Плюкеру , который изучал множество проективных прямых в реальном проективном 3-мерном пространстве, что эквивалентно $\mathbf {Gr} _{2}(\mathbf {R} ^{4})$, параметризируя их так называемыми координатами Плюкера . (См . § Координаты Плюкера и соотношения Плюкера ниже.) Позже Герман Грассманн представил эту концепцию в целом.

Обозначения грассманианов различаются у разных авторов и включают $\mathbf {Gr} _{k}(V)$, $\mathbf {Gr} (k,V)$, $\mathbf {Gr} _{k}(n)$, $\mathbf {Gr} (k,n)$ для обозначения грассманиана $k$-мерные подпространства $n$-мерное векторное пространство $V$.

Мотивация

Придав набору подпространств векторного пространства топологическую структуру, можно говорить о непрерывном выборе подпространств или открытых и закрытых наборов подпространств. Придавая им дальнейшую структуру дифференциального многообразия , можно говорить о плавном выборе подпространства.

Естественным примером являются касательные расслоения гладких многообразий, вложенных в евклидово пространство . Предположим, у нас есть многообразие $M$ размера $k$ встроенный в $\mathbf {R} ^{n}$. В каждой точке $x\in M$, касательное пространство к $M$ можно рассматривать как подпространство касательного пространства $\mathbf {R} ^{n}$, что тоже просто $\mathbf {R} ^{n}$. Карта , присвоенная $x$ его касательное пространство определяет отображение из M в $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})$. (Для этого нам нужно перенести касательное пространство в каждом $x\in M$ так, чтобы он проходил через начало координат, а не через $x$и, следовательно, определяет $k$-мерное векторное подпространство. Эта идея очень похожа на отображение Гаусса для поверхностей в трехмерном пространстве.)

С некоторыми усилиями это можно распространить на все векторные расслоения на многообразии. $M$, так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из $M$ к подходящему обобщенному грассманиану - хотя, различные теоремы чтобы показать это, необходимо доказать вложения . Затем мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих отображений. В частности, мы находим, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопические отображения в грассманиан, изоморфны . Здесь определение гомотопии опирается на понятие непрерывности и, следовательно, на топологию.

Низкие размеры

Для k = 1 грассманиан Gr (1, n ) представляет собой пространство прямых, проходящих через начало координат в n -пространстве, поэтому он совпадает с проективным пространством. $\mathbf {P} ^{n-1}$n . - 1 измерений

Для k = 2 грассманиан — это пространство всех двумерных плоскостей, содержащих начало координат. В евклидовом трехмерном пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью характеризуется единственной линией, проходящей через начало координат и перпендикулярной этой плоскости (и наоборот); следовательно, пространства Gr (2, 3) , Gr (1, 3) и P ² ( проективная плоскость ) могут быть отождествлены друг с другом.

Простейший грассманиан, не являющийся проективным пространством, — это Gr (2, 4) .

Грассманиан

Чтобы наделить $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ со структурой дифференцируемого многообразия, выберите базис для $V$. Это эквивалентно выявлению $V$ с $K^{n}$, со стандартным базисом, обозначенным $(e_{1},\dots ,e_{n})$, рассматриваемые как векторы-столбцы. Тогда для любого $k$-мерное подпространство $w\subset V$рассматривается как элемент $\mathbf {Gr} _{k}(V)$, мы можем выбрать базис, состоящий из $k$ линейно независимые векторы-столбцы $(W_{1},\dots ,W_{k})$. Однородные координаты элемента $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ состоят из элементов $n\times k$ максимального ранга прямоугольная матрица $W$ чей $i$-й вектор-столбец $W_{i}$, $i=1,\dots ,k$. Поскольку выбор базиса произволен, две такие прямоугольные матрицы максимального ранга $W$ и ${\tilde {W}}$ представляют один и тот же элемент $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ тогда и только тогда, когда

${\tilde {W}}=Wg$

для какого-то элемента $g\in GL(k,K)$ общей линейной обратимых группы $k\times k$ матрицы с записями в $K$. Это определяет отношение эквивалентности между $n\times k$ матрицы $W$ ранга $k$, для которого классы эквивалентности обозначаются $[W]$.

Теперь мы определяем координатный атлас. Для любого $n\times k$ однородная координатная матрица $W$, мы можем применять элементарные операции со столбцами (которые сводятся к умножению $W$ последовательностью элементов $g\in GL(k,K)$), чтобы получить уменьшенную форму эшелона столбцов . Если первый $k$ ряды $W$ линейно независимы, результат будет иметь вид

${\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\a_{n-k,1}&\cdots &\cdots &a_{n-k,k}\end{bmatrix}}$

и $(n-k)\times k$ аффинная координатная матрица $A$ с записями $(a_{ij})$ определяет $w$. В общем, первый $k$ строки не обязательно должны быть независимыми, но поскольку $W$ имеет максимальный ранг $k$, существует упорядоченный набор целых чисел $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ такой, что $k\times k$ подматрица $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ чьи строки являются $(i_{1},\ldots ,i_{k})$-й ряд $W$ является неособым . Мы можем применить операции со столбцами, чтобы свести эту подматрицу к единичной матрице , а оставшиеся записи однозначно определяют $w$. Следовательно, мы имеем следующее определение:

Для каждого упорядоченного набора целых чисел $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$, позволять $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ быть набором элементов $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ для которого при любом выборе однородной координатной матрицы $W$, $k\times k$ подматрица $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ чей $j$-я строка - это $i_{j}$-й ряд $W$ является неособым. Аффинные координатные функции на $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ затем определяются как записи $(n-k)\times k$ матрица $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ чьи строки являются строками матрицы $WW_{i_{1},\dots ,i_{k}}^{-1}$ дополняющий $(i_{1},\dots ,i_{k})$, написанное в том же порядке. Выбор однородных $n\times k$ координатная матрица $W$ в $[W]$ представляющий элемент $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ не влияет на значения матрицы аффинных координат $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ представляющий w в координатной окрестности $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$. Более того, координатные матрицы $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ могут принимать произвольные значения и определяют диффеоморфизм из $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ в пространство $K$-ценный $(n-k)\times k$ матрицы.Обозначим через

${\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1}$

однородная координатная матрица, имеющая единичную матрицу в качестве $k\times k$ подматрица со строками $(i_{1},\dots ,i_{k})$ и аффинная координатная матрица $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ в последовательных дополнительных рядах. На перекрытии $U_{i_{1},\dots ,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}$ между любыми двумя такими координатными окрестностями значения матрицы аффинных координат $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ и $A^{j_{1},\dots ,j_{k}}$ связаны переходными соотношениями

${\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}={\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}W_{j_{1},\dots ,j_{k}},$

где оба $W_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ и $W_{j_{1},\dots ,j_{k}}$ являются обратимыми. Это эквивалентно может быть записано как

${\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}={\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}({\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1},$

где ${\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}$это обратимый $k\times k$ матрица, чья $l$й ряд - это $j_{l}$й ряд ${\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}$. Таким образом, функции перехода рациональны в матричных элементах $A^{i_{1},\dots ,i_{k}}$, и $\{U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}}\}$ дает атлас для $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ как дифференцируемое многообразие, а также как алгебраическое многообразие.

как набор

Альтернативный способ определить действительный или комплексный грассманиан как многообразие — рассматривать его как набор операторов ортогонального проектирования ( Милнор и Сташефф (1974), проблема 5-C). Для этого выберите положительно определенное вещественное или эрмитово внутреннее произведение. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на $V$, в зависимости от того, $V$ является реальным или сложным. А $k$-мерное подпространство $w$ определяет уникальный оператор ортогонального проектирования $P_{w}:V\rightarrow V$ чей образ ​ $w\subset V$ путем разделения $V$ в ортогональную прямую сумму

$V=w\oplus w^{\perp }$

из $w$ и его ортогональное дополнение $w^{\perp }$ и определение

$P_{w}(v)={\begin{cases}v\quad {\text{ if }}v\in w\\0\quad {\text{ if }}v\in w^{\perp }.\end{cases}}$

Обратно, каждый оператор проектирования $P$ ранга $k$ определяет подпространство $w_{P}:=\mathrm {Im} (P)$ как его образ. Поскольку ранг оператора ортогонального проектирования равен его следу , мы можем отождествить многообразие Грассмана $\mathbf {Gr} (k,V)$ с набором рангов $k$ операторы ортогонального проектирования $P$:

$\mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger },\,\mathrm {tr} (P)=k\right\}.$

В частности, взяв $V=\mathbf {R} ^{n}$ или $V=\mathbf {C} ^{n}$ это дает совершенно явные уравнения для вложения грассманианов $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N})$, $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})$ в пространстве реального или сложного $n\times n$ матрицы $\mathbf {R} ^{n\times n}$, $\mathbf {C} ^{n\times n}$, соответственно.

Поскольку это определяет грассманиан как замкнутое подмножество сферы $\{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger })=k\}$ это один из способов увидеть, что грассманиан является компактным хаусдорфовым пространством. Эта конструкция также превращает грассманиан $\mathbf {Gr} (k,V)$ в метрическое пространство с метрикой

$d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert ,$

для любой пары $w,w'\subset V$ из $k$-мерные подпространства, где ‖ ⋅ ‖ обозначает операторную норму . Точный используемый внутренний продукт не имеет значения, поскольку другой внутренний продукт даст эквивалентную норму на $V$и, следовательно, эквивалентная метрика.

Для случая действительных или комплексных грассманианов эквивалентным способом выразить приведенную выше конструкцию через матрицы является следующий способ.

Грассманианцы $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})$, $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})$ как аффинные алгебраические многообразия

Позволять $M(n,\mathbf {R} )$ обозначают пространство реального $n\times n$ матрицы и подмножество $P(k,n,\mathbf {R} )\subset M(n,\mathbf {R} )$ матриц $P\in M(n,\mathbf {R} )$ которые удовлетворяют трем условиям:

• $P$ является оператором проекции : $P^{2}=P$.
• $P$ симметричен ​ : $P^{T}=P$.
• $P$ имеет след $\operatorname {tr} (P)=k$.

Существует биективное соответствие между $P(k,n,\mathbf {R} )$ и грассманиан $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})$ из $k$-мерные подпространства $\mathbf {R} ^{n}$ передано путем отправки $P\in P(k,n,\mathbf {R} )$ к $k$-мерное подпространство $\mathbf {R} ^{n}$ натянутый на его столбцы и, наоборот, отправляющий любой элемент $w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})$ в матрицу проекции

$P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T},$

где $(w_{1},\cdots ,w_{k})$ любой ортонормированный базис для $w\subset \mathbf {R} ^{n}$, рассматривается как реальный $n$ компоненты векторов-столбцов.

Аналогичная конструкция применима и к комплексному грассманиану $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})$, однозначно идентифицируя его с подмножеством $P(k,n,\mathbf {C} )\subset M(n,\mathbf {C} )$ сложных $n\times n$ матрицы $P\in M(n,\mathbf {C} )$ удовлетворяющий

• $P$ является оператором проекции : $P^{2}=P$.
• $P$ является самосопряженным (эрмитовым): $P^{\dagger }=P$.
• $P$ имеет след ${\rm {{tr}(P)=k}}$,

где самосопряженность относится к эрмитовому скалярному произведению $\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ в которых стандартные базисные векторы $(e_{1},\cdots ,e_{n})$ ортономичны. Формула для матрицы ортогональной проекции $P_{w}$ на комплекс $k$-мерное подпространство $w\subset \mathbf {C} ^{n}$ натянутый ортонормированными (унитарными) базисными векторами $(w_{1},\cdots ,w_{k})$ является

$P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }.$

Грассманиан

Самый быстрый способ придать грассманиану геометрическую структуру — выразить его как однородное пространство . Сначала напомним, что общая линейная группа $\mathrm {GL} (V)$ действует транзитивно на $k$-мерные подпространства $V$. Следовательно, если мы выберем подпространство $w_{0}\subset V$ размера $k$, любой элемент $w\in \mathbf {Gr} (k,V)$может быть выражено как

$w=g(w_{0})$

для некоторого элемента группы $g\in \mathrm {GL} (V)$,где $g$ определяется только с точностью до правильного умноженияпо элементам $\{h\in H\}$ стабилизатора ​ ​ $w_{0}$:

$H:=\mathrm {stab} (w_{0}):=\{h\in \mathrm {GL} (V)\,|\,h(w_{0})=w_{0}\}\subset \mathrm {GL} (V)$

под $\mathrm {GL} (V)$-действие.

Таким образом, мы можем идентифицировать $\mathbf {Gr} (k,V)$ с факторпространством

$\mathbf {Gr} (k,V)=\mathrm {GL} (V)/H$

левых классов смежных $H$.

Если базовое поле $\mathbf {R}$ или $\mathbf {C}$ и $\mathrm {GL} (V)$ рассматривается как группа Ли , эта конструкция делает грассманиан гладким многообразием относительно факторструктуры. В более общем смысле, над наземным полем $K$, группа $\mathrm {GL} (V)$ — алгебраическая группа , и эта конструкция показывает, что грассманиан — неособое алгебраическое многообразие . Из существования вложения Плюккера следует , что грассманиан полон как алгебраическое многообразие. В частности, $H$ является параболической подгруппой $\mathrm {GL} (V)$.

Над $\mathbf {R}$ или $\mathbf {C}$ также становится возможным использовать в этой конструкции более мелкие группы. Чтобы сделать это $\mathbf {R}$, исправьте евклидово внутреннее произведение $q$ на $V$. Настоящая ортогональная группа $O(V,q)$ действует транзитивно на множестве $k$-мерные подпространства $\mathbf {Gr} (k,V)$ и стабилизатор $k$-космос $w_{0}\subset V$ является

$O(w_{0},q|_{w_{0}})\times O(w_{0}^{\perp },q|_{w_{0}^{\perp }})$,

где $w_{0}^{\perp }$ является ортогональным дополнением $w_{0}$ в $V$. Это дает идентификацию как однородное пространство

$\mathbf {Gr} (k,V)=O(V,q)/\left(O(w,q|_{w})\times O(w^{\perp },q|_{w^{\perp }})\right)$.

Если мы возьмем $V=\mathbf {R} ^{n}$ и $w_{0}=\mathbf {R} ^{k}\subset \mathbf {R} ^{n}$ (первый $k$ компоненты) получаем изоморфизм

$\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(n-k)\right).$

Над C , если мы выберем эрмитово скалярное произведение $h$, унитарная группа $U(V,h)$ действует транзитивно, и мы находим аналогично

$\mathbf {Gr} (k,V)=U(V,h)/\left(U(w_{0},h|_{w_{0}})\times U(w_{0}^{\perp }|,h_{w_{0}^{\perp }})\right),$

или, для $V=\mathbf {C} ^{n}$ и $w_{0}=\mathbf {C} ^{k}\subset \mathbf {C} ^{n}$,

$\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(n-k)\right).$

В частности, это показывает, что Грассманиан компактен и имеет (действительную или комплексную) размерность k ( n − k ) .

Грассманиан как схема

В области алгебраической геометрии грассманиан можно построить как схему , выразив его в виде представимого функтора .

Представительный оператор

Позволять ${\mathcal {E}}$ быть квазикогерентным пучком на схеме $S$. Зафиксировать положительное целое число $k$. Затем каждому $S$-схема $T$ сопоставляет множество фактормодулей грассманов функтор

${\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}O_{T}$

локально свободный от ранга $k$ на $T$. Обозначим это множество через $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{T})$.

Этот функтор представим в виде выделенного $S$-схема $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$. Последнее является проективным , если ${\mathcal {E}}$ конечно порождено. Когда $S$ это спектр поля $K$, то пучок ${\mathcal {E}}$ задается векторным пространством $V$ и мы восстанавливаем обычное грассманово многообразие двойственного пространства $V$, а именно: $\mathbf {Gr} (k,V)$.Грассманова схема по построению совместима с заменами базы: для любого $S$-схема $S'$, мы имеем канонический изоморфизм

$\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{S'})$

В частности, для любой точки $s$ из $S$, канонический морфизм $\{s\}={\text{Spec}}K(s)\rightarrow S$индуцирует изоморфизм слоя $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})_{s}$ к обычному грассманиану $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}K(s))$ над полем вычетов $K(s)$.

Универсальная семья

Поскольку схема Грассмана представляет собой функтор, она имеет универсальный объект: ${\mathcal {G}}$, который является объектом $\mathbf {Gr} \left(k,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right),$ и, следовательно, фактор-модуль ${\mathcal {G}}$ из ${\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$, локально свободный от ранга $k$ над $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$. Факторгомоморфизм : индуцирует замкнутое погружение из проективного расслоения

$\mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}).$

Для любого морфизма S -схем:

$T\to \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}),$

это закрытое погружение вызывает закрытое погружение

$\mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.$

И наоборот, любое такое замкнутое погружение происходит из сюръективного гомоморфизма $O_{T}$-модули от ${\mathcal {E}}_{T}$ к локально свободному модулю ранга $k$. Следовательно, элементы $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(T)$ являются в точности проективными подрасслоениями ранга $k$ в $\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.$

При этой идентификации, когда $T=S$ это спектр поля $K$ и ${\mathcal {E}}$ задается векторным пространством $V$, множество рациональных точек $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)$ соответствуют проективным линейным подпространствам размерности $k-1$ в $\mathbf {P} (V)$, и образ $\mathbf {P} ({\mathcal {G}})(K)$ в

$\mathbf {P} (V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$

это набор

$\left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(K)\times \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)\mid x\in v\right\}.$

Вложение Плюкера

Основная статья: встраивание Плюкера

Плюкера Вложение является естественным вложением грассманиана $\mathbf {Gr} (k,V)$ в проективизацию $k$Внешняя мощность $\Lambda ^{k}V$ из $V$.

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\right).$

Предположим, что $w\subset V$ это $k$-мерное подпространство $n$-мерное векторное пространство $V$. Чтобы определить $\iota (w)$, выберите основу $(w_{1},\cdots ,w_{k})$ для $w$, и пусть $\iota (w)$ будет проективизацией клинового произведения этих базисных элементов:

$$\iota (w)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}],$$

где $[\,\cdot \,]$ обозначает класс проективной эквивалентности.

Другая основа для $w$ даст другой продукт клина, но они будут отличаться только ненулевым скалярным кратным ( определителем изменения базовой матрицы). Поскольку правая часть принимает значения в проективизированном пространстве, $\iota$ четко определен. Чтобы увидеть, что это вложение, обратите внимание, что можно восстановить $w$ от $\iota (w)$ как промежуток множества всех векторов $v\in V$ такой, что

$v\wedge \iota (w)=0$.

Координаты Плюкера

грассманиана Вложение Плюкера удовлетворяет набору простых квадратичных отношений, называемых отношениями Плюкера . Они показывают, что грассманиан $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ вкладывается как неособое проективное алгебраическое подмногообразие проективизации $\mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)$ принадлежащий $k$внешняя сила $V$ и дайте другой метод построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Плюкера, закрепите основу $(e_{1},\cdots ,e_{n})$ для $V$, и пусть $w\subset V$ быть $k$-мерное подпространство $V$ с основой $(w_{1},\cdots ,w_{k})$. Позволять $(w_{i1},\cdots ,w_{in})$ быть компонентами $w_{i}$ относительно выбранного базиса $V$, и $(W^{1},\dots ,W^{n})$ тот $k$-компонентные векторы-столбцы, образующие транспонирование соответствующей однородной координатной матрицы:

$W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}},$

Для любой упорядоченной последовательности $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ из $k$ положительные целые числа, пусть $w_{i_{1},\dots ,i_{k}}$ быть определяющим фактором $k\times k$ матрица со столбцами $[W^{i_{1}},\dots ,W^{i_{k}}]$. Элементы $\{w_{i_{1},\dots ,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ называются координатами Плюккера элемента $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ грассманиана (относительно базиса $(e_{1},\cdots ,e_{n})$ из $V$). Это линейные координаты изображения $\iota (w)$ из $w$ по карте Плюкера относительно основы внешней силы $\Lambda ^{k}V$ пространство, порожденное базисом $(e_{1},\cdots ,e_{n})$ из $V$. С момента изменения основы $w$ приводит к умножению координат Плюкера на ненулевую константу (определитель замены базисной матрицы), они определяются только с точностью до проективной эквивалентности и, следовательно, определяют точку в $\mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)$.

Для любых двух упорядоченных последовательностей $1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n$ и $1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n$ из $k-1$ и $k+1$ целые положительные числа, соответственно, следующие однородные квадратные уравнения, известные как соотношения Плюккера или соотношения Плюкера-Грасмана , действительны и определяют изображение $\iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))$ из $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ под вложением карты Плюкера:

$\sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}w_{j_{1},\dots ,{\widehat {j_{l}}},\dots j_{k+1}}=0,$

где $j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{l}}},\ldots j_{k+1}$ обозначает последовательность $j_{1},\ldots ,j_{k+1}$ с термином $j_{l}$ опущен. Они непротиворечивы, определяя неособое проективное алгебраическое многообразие , но не являются алгебраически независимыми. Они эквивалентны утверждению, что $\iota (w)$ есть проективизация вполне разложимого элемента $\Lambda ^{k}V$.

Когда $\dim(V)=4$, и $k=2$ (простейший грассманиан, не являющийся проективным пространством), приведенное выше сводится к одному уравнению. Обозначая однородные координаты изображения $\iota (\mathbf {Gr} _{2}(V)\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V)$ по карте Плюкера как $(w_{12},w_{13},w_{14},w_{23},w_{24},w_{34})$, это единственное соотношение Плюкера есть

$w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.$

В общем, для определения изображения необходимо гораздо больше уравнений. $\iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))$ грассманиана в $\mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)$ под вложением Плюкера.

Двойственность

Каждый $k$-мерное подпространство $W\subset V$ определяет $(n-k)$-мерное факторпространство $V/W$ из $V$. Это дает естественную короткую точную последовательность :

$0\rightarrow W\rightarrow V\rightarrow V/W\rightarrow 0.$

Взятие двойственного к каждому из этих трех пространств и двойственных линейных преобразований дает включение $(V/W)^{*}$ в $V^{*}$ с частным $W^{*}$

$0\rightarrow (V/W)^{*}\rightarrow V^{*}\rightarrow W^{*}\rightarrow 0.$

Использование естественного изоморфизма конечномерного векторного пространства с его двойным двойником показывает, что повторное взятие двойственного пространства восстанавливает исходную короткую точную последовательность. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между $k$-мерные подпространства $V$ и $(n-k)$-мерные подпространства $V^{*}$. В терминах грассманиана это дает канонический изоморфизм

$\mathbf {Gr} _{k}(V)\leftrightarrow \mathbf {Gr} {(n-k},V^{*})$

который связан с каждым подпространством $W\subset V$ его уничтожитель $W^{0}\subset V^{*}$.Выбирая изоморфизм $V$ с $V^{*}$ следовательно, определяет (неканонический) изоморфизм между $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ и $\mathbf {Gr} _{n-k}(V)$. Изоморфизм $V$ с $V^{*}$ эквивалентно выбору скалярного продукта, поэтому по отношению к выбранному скалярному продукту этот изоморфизм грассманианов отправляет любой $k$-мерное подпространство в свое $(n-k)$}-мерное ортогональное дополнение .

Клетки Шуберта

Детальное изучение грассманианов использует разложение на аффинные подпространства , называемые ячейками Шуберта , которые впервые были применены в перечислительной геометрии . Ячейки Шуберта для $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ определяются в терминах указанного полного флага подпространств $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ размера $\mathrm {dim} (V_{i})=i$. Для любого целочисленного раздела

$\lambda =(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k})$

веса

$|\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}$

состоящий из слабо убывающих целых неотрицательных чисел

$\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0,$

чья диаграмма Юнга укладывается в прямоугольную $(n-k)^{k}$, ячейка Шуберта $X_{\lambda }(k,n)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ состоит из тех элементов $W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ которых пересечения с подпространствами $\{V_{i}\}$ иметь следующие размеры

$X_{\lambda }(k,n)=\{W\in \mathbf {Gr} _{k}(V)\,|\,\dim(W\cap V_{n-k+j-\lambda _{j}})=j\}.$

Это аффинные пространства, а их замыкания (внутри топологии Зариского ) известны как многообразия Шуберта .

В качестве примера методики рассмотрим задачу определения эйлеровой характеристики $\chi _{k,n}$ грассманиана $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})$ k -мерных подпространств R ^н . Исправить $1$-мерное подпространство $\mathbf {R} \subset \mathbf {R} ^{n}$ и рассмотрим разделение $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})$ в эти k -мерные подпространства R ^н которые содержат R и те, которые не содержат. Первый $\mathbf {Gr} _{k-1}(\mathbf {R} ^{n-1})$ и последнее является рангом $k$ векторный расслоение над $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n-1})$. Это дает рекурсивные формулы:

$\chi _{k,n}=\chi _{k-1,n-1}+(-1)^{k}\chi _{k,n-1},\qquad \chi _{0,n}=\chi _{n,n}=1.$

Решение этих рекурсивных соотношений дает формулу: $\chi _{k,n}=0$ если $n$ четный ​ и $k$ это странно и

$\chi _{k,n}={\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \\\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor \end{pmatrix}}$

в противном случае.

комплексного

Каждая точка комплексного многообразия Грассмана $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})$ определяет $k$-самолет в $n$-космос. Расслоение этих плоскостей на грассмановы приводит к векторному расслоению $E$ обобщающее тавтологическое расслоение проективного пространства . Аналогично $(n-k)$-мерные ортогональные дополнения к этим плоскостям дают ортогональное векторное расслоение. $F$. Целочисленные когомологии грассманианов порождены кольцо классами Чженя как $E$. В частности, все целые когомологии имеют четную степень, как и в случае проективного пространства.

Эти генераторы подчиняются набору отношений, который определяет кольцо. Определяющие соотношения легко выразить для большего набора образующих, состоящего из классов Чженя $E$ и $F$. Тогда соотношения просто гласят, что прямая сумма расслоений $E$ и $F$ тривиально. Функториальность полных классов Черна позволяет записать это соотношение в виде

$c(E)c(F)=1.$

Кольцо квантовых когомологий было рассчитано Эдвардом Виттеном . Генераторы идентичны генераторам классического кольца когомологий, но верхнее соотношение изменено на

$c_{k}(E)c_{n-k}(F)=(-1)^{n-k}$

существование в соответствующей квантовой теории поля инстантона отражающее с $2n$ фермионные нулевые моды , нарушающие степень когомологий, соответствующих состоянию, на $2n$ единицы.

Сопутствующая мера

Когда $V$ это $n$-мерном евклидовом пространстве мы можем определить равномерную меру на $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ следующим образом. Позволять $\theta _{n}$ — единичная мера Хаара на ортогональной группе $O(n)$ и исправить $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$. Тогда для набора $A\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ , определять

$\gamma _{k,n}(A)=\theta _{n}\{g\in \operatorname {O} (n):gw\in A\}.$

Эта мера инвариантна относительно действия группы $O(n)$; то есть,

$\gamma _{k,n}(gA)=\gamma _{k,n}(A)$

для всех $g\in O(n)$.С $\theta _{n}(O(n))=1$, у нас есть $\gamma _{k,n}(\mathbf {Gr} _{k}(V))=1$. Более того, $\gamma _{k,n}$ является мерой Радона относительно топологии метрического пространства и равномерна в том смысле, что каждый шар одного и того же радиуса (относительно этой метрики) имеет одну и ту же меру.

Ориентированный Грассманиан

Это многообразие, состоящее из всех ориентированных $k$-мерные подпространства $\mathbf {R} ^{n}$. Это двойная обложка $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})$ и обозначается ${\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})$.

В однородном пространстве его можно выразить так:

${\widetilde {\mathbf {Gr} }}_{k}(\mathbf {R} ^{n})=\operatorname {SO} (n)/(\operatorname {SO} (k)\times \operatorname {SO} (n-k)).$

грассманианы

Учитывая действительную или комплексную невырожденную симметричную билинейную форму $Q$ на $n$-мерное пространство $V$ (т. е. скалярное произведение), полностью изотропный грассманиан $\mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)$ определяется как подмногообразие $\mathbf {Gr} _{k}^{0}(V,Q)\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)$ состоящий из всех $k$-мерные подпространства $w\subset V$ для чего

$Q(u,v)=0,\,\forall \,u,v\in w.$

Максимальные изотропные грассманианы относительно вещественного или комплексного скалярного произведения тесно связаны с Картана теорией спиноров . При вложении Картана их связные компоненты эквивариантно диффеоморфны проективизированной минимальной спинорной орбите, при представлении спина - так называемое проективное чистое спинорное многообразие, которое, подобно образу вложения отображения Плюккера , вырезается как пересечение несколько квадрик, Картановы квадрики .

Приложения

Ключевое применение грассманианов - это «универсальное» пространство вложения для расслоений со связностью на компактных многообразиях.

Другим важным применением является исчисление Шуберта , которое представляет собой перечислительную геометрию, используемую для вычисления количества точек, линий, плоскостей и т. д. в проективном пространстве, которые пересекают заданный набор точек, линий и т. д., с использованием теории пересечения многообразий Шуберта. . Подмногообразия ячеек Шуберта также можно использовать для параметризации одновременных собственных векторов полных наборов коммутирующих операторов в квантовых интегрируемых спиновых системах, таких как модель Годена , с использованием метода анзаца Бете .

Дальнейшее применение - решение иерархий классических полностью интегрируемых систем уравнений в частных производных, таких как уравнение Кадомцева – Петвиашвили и связанная с ним иерархия КП . Их можно выразить через абелевы групповые потоки на бесконечномерном грассмановом многообразии. Уравнения КП, выраженные в билинейной форме Хироты через функцию КП Тау, эквивалентны соотношениям Плюкера . Аналогичная конструкция справедлива для решений интегрируемой иерархии БКП в терминах абелевых групповых потоков на бесконечномерном максимальном изотропном грассмановом многообразии.

Конечномерные положительные многообразия Грассмана можно использовать для выражения солитонных решений уравнений КП, которые не являются сингулярными при действительных значениях параметров потока КП.

Амплитуды рассеяния субатомных частиц в максимально суперсимметричной супертеории Янга-Миллса могут быть рассчитаны в планарном пределе с помощью положительной грассмановой конструкции, называемой амплитуэдром .

Коллекторы Грассмана также нашли применение в задачах компьютерного зрения , таких как распознавание лиц и форм на основе видео. и используются в технике визуализации данных, известной как « гранд-тур» .

См. также

• Исчисление Шуберта
• Пример использования грассманианов в дифференциальной геометрии см. в карте Гаусса.
• В проективной геометрии см. вложение Плюкера и координаты Плюкера .
• Многообразия флагов — это обобщения грассманианов, элементы которых, если смотреть геометрически, представляют собой вложенные последовательности подпространств заданных размерностей.
• Многообразия Стифеля — это пучки ортонормированных реперов над грассманианами.
• Учитывая выделенный класс подпространств, можно определить грассманианы этих подпространств, такие как изотропные грассманианы или лагранжианы грассманианы .
• Изотропный грассманиан
• Лагранжев Грассманиан
• Грассманианы обеспечивают классифицирующие пространства в K-теории , в частности классифицирующее пространство для U( n ) . В гомотопической теории схем грассманиан играет аналогичную роль для алгебраической К-теории .
• Аффинный Грассманиан
• Пучок Грассмана
• Грассман граф

Ссылки

• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994). Основы алгебраической геометрии . Библиотека классической литературы Wiley (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . п. 211. ИСБН  0-471-05059-8 . МР   1288523 . Збл   0836.14001 .
• Хэтчер, Аллен (2003). Векторные расслоения и K-теория (PDF) (изд. 2.0). раздел 1.2
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований. Том. 76. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08122-0 . см. главы 5–7
• Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия: первый курс . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-97716-3 .
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  978-0-8218-2848-9
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 218 (Второе изд.). Нью-Йорк Лондон: Springer-Verlag . ISBN  978-1-4419-9981-8 . OCLC   808682771 .
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-65595-1 .
• Шафаревич, Игорь Робертович (2013). Основная алгебраическая геометрия 1 . Спрингер Наука . дои : 10.1007/978-3-642-37956-7 . ISBN  978-0-387-97716-4 .