Jump to content

Поле остатка

В математике поле вычетов является основной конструкцией коммутативной алгебры . Если R коммутативное кольцо и m максимальный идеал , то полем вычетов является фактор-кольцо k = R / m , которое является полем . [1] Часто R локальное кольцо , и тогда m — его единственный максимальный идеал.

В абстрактной алгебре поле расщепления многочлена строится с использованием полей вычетов. вычетов также применяются в алгебраической геометрии , где каждой точке x схемы X Поля сопоставляется ее поле вычетов k ( x ). [2] Можно сказать несколько грубо, что поле вычетов точки абстрактного алгебраического многообразия является «естественной областью определения» координат точки. [ нужны разъяснения ]

Определение [ править ]

Предположим, что R — коммутативное локальное кольцо с максимальным идеалом m . Тогда поле вычетов представляет собой факторкольцо R / m .

Теперь предположим, что схема , а x — точка X. X По определению схемы мы можем найти аффинную окрестность U = Spec( A ) точки x с A. некоторым коммутативным кольцом Рассматриваемая в окрестности U точка x соответствует простому идеалу p A (см. топологию Зарисского ). Локальное кольцо X A в точке x по определению является локализацией A p кольца A с помощью A \ p , и A p имеет максимальный идеал m = p · p . Применяя приведенную выше конструкцию, получаем поле вычетов точки x :

k ( Икс ) знак равно А п / п · А п .

Можно доказать, что это определение не зависит от выбора аффинной окрестности U . [3]

Точка называется K рациональной для некоторого поля K , если k ( x ) = K. - [4]

Пример [ править ]

Рассмотрим аффинную прямую A 1 ( k ) = Spec( k [ t ]) над полем k . Если k , алгебраически замкнуто существует ровно два типа простых идеалов, а именно:

  • ( т - а ), а k
  • (0) – нулевой идеал.

Поля остатков

  • , поле функции над k в одной переменной.

Если k не является алгебраически замкнутым, то возникает больше типов, например, если k = R , то простой идеал ( x 2 + 1) имеет поле вычетов, изоморфное C .

Свойства [ править ]

  • Для схемы локально конечного типа над полем k точка x замкнута тогда и только тогда, когда k ( x ) является конечным расширением основного поля k . Это геометрическая формулировка Nullstellensatz Гильберта . В приведенном выше примере точки первого рода замкнуты и имеют поле вычетов k , тогда как вторая точка является точкой общего положения и имеет степень трансцендентности 1 над k .
  • Морфизм Spec( K ) → X , K некоторое поле, эквивалентен заданию точки x X и расширения K / k ( x ).
  • Размерность . схемы конечного типа над полем равна степени трансцендентности поля вычетов точки общего положения

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN  9780471433347 .
  2. ^ Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. Том. 1358 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/b62130 . ISBN  3-540-63293-Х .
  3. ^ Интуитивно понятно, что поле вычетов точки является локальным инвариантом. Аксиомы схем составлены таким образом, чтобы обеспечить совместимость между различными аффинными открытыми окрестностями точки, из которой следует данное утверждение.
  4. ^ Гёрц, Ульрих и Ведхорн, Торстен. Алгебраическая геометрия: Часть 1: Схемы (2010) Vieweg + Teubner Verlag.

Дальнейшее чтение [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ddca56ab1e94c6aabae3b881d8a08ebe__1716005520
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/dd/be/ddca56ab1e94c6aabae3b881d8a08ebe.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Residue field - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)