Поле остатка
В математике поле вычетов является основной конструкцией коммутативной алгебры . Если R — коммутативное кольцо и m — максимальный идеал , то полем вычетов является фактор-кольцо k = R / m , которое является полем . [1] Часто R — локальное кольцо , и тогда m — его единственный максимальный идеал.
В абстрактной алгебре поле расщепления многочлена строится с использованием полей вычетов. вычетов также применяются в алгебраической геометрии , где каждой точке x схемы X Поля сопоставляется ее поле вычетов k ( x ). [2] Можно сказать несколько грубо, что поле вычетов точки абстрактного алгебраического многообразия является «естественной областью определения» координат точки. [ нужны разъяснения ]
Определение [ править ]
Предположим, что R — коммутативное локальное кольцо с максимальным идеалом m . Тогда поле вычетов представляет собой факторкольцо R / m .
Теперь предположим, что — схема , а x — точка X. X По определению схемы мы можем найти аффинную окрестность U = Spec( A ) точки x с A. некоторым коммутативным кольцом Рассматриваемая в окрестности U точка x соответствует простому идеалу p ⊆ A (см. топологию Зарисского ). Локальное кольцо X A в точке x по определению является локализацией A p кольца A с помощью A \ p , и A p имеет максимальный идеал m = p · p . Применяя приведенную выше конструкцию, получаем поле вычетов точки x :
- k ( Икс ) знак равно А п / п · А п .
Можно доказать, что это определение не зависит от выбора аффинной окрестности U . [3]
Точка называется K рациональной для некоторого поля K , если k ( x ) = K. - [4]
Пример [ править ]
Рассмотрим аффинную прямую A 1 ( k ) = Spec( k [ t ]) над полем k . Если k , алгебраически замкнуто существует ровно два типа простых идеалов, а именно:
- ( т - а ), а ∈ k
- (0) – нулевой идеал.
Поля остатков
- , поле функции над k в одной переменной.
![{\displaystyle k[t]_{(ta)}/(ta)k[t]_{(ta)}\cong k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77528d0510c9b72bdec0ee8597a1df6959000f4)
![{\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d16e1fb2b97597a39a68b4a2e2de12bb638cb2)
Если k не является алгебраически замкнутым, то возникает больше типов, например, если k = R , то простой идеал ( x 2 + 1) имеет поле вычетов, изоморфное C .
Свойства [ править ]
- Для схемы локально конечного типа над полем k точка x замкнута тогда и только тогда, когда k ( x ) является конечным расширением основного поля k . Это геометрическая формулировка Nullstellensatz Гильберта . В приведенном выше примере точки первого рода замкнуты и имеют поле вычетов k , тогда как вторая точка является точкой общего положения и имеет степень трансцендентности 1 над k .
- Морфизм Spec( K ) → X , K некоторое поле, эквивалентен заданию точки x ∈ X и расширения K / k ( x ).
- Размерность . схемы конечного типа над полем равна степени трансцендентности поля вычетов точки общего положения
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 9780471433347 .
- ^ Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. Том. 1358 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/b62130 . ISBN 3-540-63293-Х .
- ^ Интуитивно понятно, что поле вычетов точки является локальным инвариантом. Аксиомы схем составлены таким образом, чтобы обеспечить совместимость между различными аффинными открытыми окрестностями точки, из которой следует данное утверждение.
- ^ Гёрц, Ульрих и Ведхорн, Торстен. Алгебраическая геометрия: Часть 1: Схемы (2010) Vieweg + Teubner Verlag.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , МР 0463157 , раздел II.2