Арифметическая дзета-функция

В математике арифметическая дзета-функция — это дзета-функция, связанная со схемой конечного типа над целыми числами . Арифметическая дзета-функция обобщает дзета-функцию Римана и дзета-функцию Дедекинда на более высокие измерения. Арифметическая дзета-функция — один из наиболее фундаментальных объектов теории чисел .

Определение

Арифметическая дзета-функция ζ _X ( s ) определяется произведением Эйлера, аналогичным дзета-функции Римана :

${\zeta _{X}(s)}=\prod _{x}{\frac {1}{1-N(x)^{-s}}},$

где произведение берется по всем замкнутым точкам x схемы X . Эквивалентно, произведение производится по всем точкам, поле вычетов которых конечно. Мощность этого поля обозначается N ( x ) .

Примеры и свойства

Многообразия над конечным полем

Если X — спектр конечного поля с q элементами, то

$\zeta _{X}(s)={\frac {1}{1-q^{-s}}}.$

Для многообразия X известно над конечным полем по формуле следов Гротендика , что

$\zeta _{X}(s)=Z(X,q^{-s})$

где $Z(X,t)$ — рациональная функция (т. е. частное многочленов).

Для двух многообразий X и Y над конечным полем дзета-функция $X\times Y$ дается

$Z(X,t)\star Z(Y,t)=Z(X\times Y,t),$

где $\star$ обозначает умножение в кольце $W(\mathbf {Z} )$ целых векторов Витта чисел.

Кольцо целых чисел

Если X — спектр кольца целых чисел, то ζ _X ( s ) — дзета-функция Римана. В более общем смысле, если X — это спектр кольца целых чисел поля алгебраических чисел, то ζ _X ( s ) — это дзета-функция Дедекинда .

Дзета-функции непересекающихся объединений

Дзета-функция аффинных и проективных пространств над схемой X имеет вид

${\begin{aligned}\zeta _{\mathbf {A} ^{n}(X)}(s)&=\zeta _{X}(s-n)\\\zeta _{\mathbf {P} ^{n}(X)}(s)&=\prod _{i=0}^{n}\zeta _{X}(s-i)\end{aligned}}$

Последнее уравнение можно вывести из первого, используя то, что для любого X , который является дизъюнктным объединением замкнутой и открытой подсхемы U и V соответственно,

$\zeta _{X}(s)=\zeta _{U}(s)\zeta _{V}(s).$

В более общем смысле аналогичная формула справедлива для бесконечных непересекающихся объединений. В частности, это показывает, что дзета-функция X является произведением функций приведения X по модулю простых чисел p :

$\zeta _{X}(s)=\prod _{p}\zeta _{X_{p}}(s).$

Такое выражение, охватывающее каждое простое число, иногда называют произведением Эйлера , а каждый фактор — фактором Эйлера. Во многих представляющих интерес случаях общий слой X _Q является гладким . Тогда только конечное число X _p является сингулярным ( плохая редукция ). Известно , что почти для всех простых чисел, а именно, когда имеет хорошую редукцию, фактор Эйлера согласуется с соответствующим фактором дзета -функции Хассе – Вейля X X _Q . Таким образом, эти две функции тесно связаны.

Основные предположения

Существует ряд гипотез относительно поведения дзета-функции регулярной неприводимой равномерной схемы X ( конечного типа над целыми числами). Многие (но не все) из этих гипотез обобщают одномерный случай хорошо известных теорем о дзета-функции Эйлера-Римана-Дедекинда.

Схема не обязательно должна быть над Z , в этом случае это схема конечного типа над некоторым Fp _. плоской Ниже это называется случаем характеристики p . В последнем случае многие из этих гипотез (за наиболее заметным исключением гипотезы Бёрча и Суиннертона-Дайера, т.е. исследования особых величин) известны. Очень мало известно о схемах, плоских над Z и имеющих размерность два и выше.

Мероморфное продолжение и функциональное уравнение

Хассе и Вейль предположили, что ζ _X ( s ) имеет мероморфное продолжение удовлетворяет функциональному уравнению относительно s → n − s , где n — абсолютная размерность X. на комплексную плоскость и

Это доказано для n = 1 и некоторых особых случаев, когда n > 1, для плоских схем над Z и для всех n в положительной характеристике. Следствием гипотезы Вейля (точнее, ее части гипотезы Римана) является то, что дзета-функция имеет мероморфное продолжение до $\mathrm {Re} (s)>n-{\tfrac {1}{2}}$.

Обобщенная гипотеза Римана

Согласно обобщенной гипотезе Римана нули ζ _X ( s ) предполагается, что лежат внутри критической полосы 0 ⩽ Re( s ) ⩽ n и лежат на вертикальных прямых Re( s ) = 1/2, 3/2, .. , а полюсы ζ _X ( s ) внутри критической полосы 0 ⩽ Re( s ) ⩽ n лежат на вертикальных прямых Re( s ) = 0, 1, 2, ... .

Это было доказано ( Эмиль Артен , Гельмут Хассе , Андре Вейль , Александр Гротендик , Пьер Делинь ) в положительной характеристике для всех n . плоской над Z. Оно не доказано ни для одной схемы , Гипотеза Римана является частным случаем гипотезы 2.

Полюсные заказы

Предполагается, что при условии аналитического продолжения порядок нуля или полюса и вычета ζ _X ( s ) в целых точках внутри критической полосы выражается посредством важных арифметических инвариантов X . Аргумент Серра, основанный на вышеупомянутых элементарных свойствах и нормализации Нётер, дзета-функция X имеет полюс при s = n , порядок которого равен числу неприводимых компонентов X показывает, что с максимальной размерностью. Во-вторых, Тейт предположил

$\mathrm {ord} _{s=n-1}\zeta _{X}(s)=rk{\mathcal {O}}_{X}^{\times }(X)-rk\mathrm {Pic} (X)$

т. е. порядок полюсов выражается через ранг групп обратимых регулярных функций и группы Пикара . Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера является частным случаем этой гипотезы. Фактически эта гипотеза Тейта эквивалентна обобщению Берча и Суиннертона-Дайера.

В более общем плане Суле предположил , что

$\mathrm {ord} _{s=n-m}\zeta _{X}(s)=-\sum _{i}(-1)^{i}rkK_{i}(X)^{(m)}$

Правая часть обозначает собственные пространства Адамса K - теории X алгебраической . Эти ранги конечны согласно гипотезе Басса .

Эти гипотезы известны при n = 1 , т. е. в случае числовых колец и кривых над конечными полями. Что касается n > 1 , то частные случаи гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера доказаны, но даже в положительной характеристике гипотеза остается открытой.

Методы и теории

Арифметическая дзета-функция регулярной связной равномерной арифметической схемы кронекеровой размерности n может быть факторизована в произведение соответствующим образом определенных L -факторов и вспомогательного фактора. Следовательно, результаты о L -функциях влекут за собой соответствующие результаты для арифметических дзета-функций. до сих пор очень мало Однако доказанных результатов о L -факторах арифметических схем в нулевой характеристике и размерностях 2 и выше . Иван Фесенко инициировал теория, изучающая арифметические дзета-функции напрямую, без работы с их L -факторами. Это многомерное обобщение тезиса Тейта , т.е. оно использует высшие группы аделей , высший дзета-интеграл и объекты, которые происходят из теории поля более высокого класса . В этой теории мероморфное продолжение и функциональное уравнение собственных регулярных моделей эллиптических кривых над глобальными полями связаны со свойством средней периодичности граничной функции. В его совместной работе с М. Судзуки и Дж. Рикоттой предложено новое соответствие в теории чисел между арифметическими дзета-функциями и среднепериодическими функциями в пространстве гладких функций на действительной линии не более чем экспоненциального роста. Эта переписка связана с перепиской Ленглендса . Два других приложения теории Фесенко касаются полюсов дзета-функции собственных моделей эллиптических кривых над глобальными полями и специального значения в центральной точке.

Ссылки

Источники

• Франсуа Брюа (1963). Лекции по некоторым аспектам p-адического анализа . Институт фундаментальных исследований Тата.
• Серр, Жан-Пьер (1969–1970). «Локальные факторы дзета-функций алгебраических многообразий (определения и гипотезы)». Семинария Деланж-Пизо-Пуату . 19 .