Общая точка
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( июль 2011 г. ) |
В алгебраической геометрии общая точка P алгебраического многообразия X — это точка общего положения , в которой все общие свойства истинны, причем общее свойство — это свойство, которое истинно почти для каждой точки.
В классической алгебраической геометрии общей точкой аффинного или проективного алгебраического многообразия размерности d называется такая точка, поле, порожденное ее координатами, имеет степень трансцендентности d над полем, порожденным коэффициентами уравнений многообразия.
В теории схем спектр имеет единственную точку области целостности общего положения, которая является нулевым идеалом. Поскольку замыканием этой точки для топологии Зарисского является весь спектр, определение было расширено до общей топологии , где общей точкой топологического пространства X является точка, замыканием которой X. является
Определение и мотивация
[ редактировать ]Типичная точка топологического пространства X — это точка P которой замыканием является все X , то есть точка, плотная в X. , [1]
Терминология возникает из случая топологии Зарисского на множестве подмногообразий алгебраического множества : алгебраическое множество неприводимо (т. е. оно не является объединением двух собственных алгебраических подмножеств) тогда и только тогда, когда топологическое пространство подмногообразий имеет общую точку.
Примеры
[ редактировать ]- Единственное пространство Хаусдорфа , имеющее общую точку, — это одноэлементное множество .
- Любая интегральная схема имеет (единственную) общую точку; в случае аффинной интегральной схемы (т. е. простого спектра области целостности ) точка общего положения — это точка, связанная с простым идеалом (0).
История
[ редактировать ]В основополагающем подходе Андре Вейля , развитом в его «Основах алгебраической геометрии» , общие точки играли важную роль, но обрабатывались по-другому. Для алгебраического многообразия V над полем K , общие точки представляли V собой целый класс точек V, принимающих значения в универсальной области Ω, алгебраически замкнутом поле, содержащем K но также и бесконечный запас новых неопределенных. необходимости непосредственно иметь дело с V ( т . Этот подход работал без топологией 1930-е годы).
Это произошло за счет огромной коллекции одинаково общих точек. Оскар Зариски , коллега Вейля в Сан-Паулу сразу после Второй мировой войны , всегда настаивал на том, что общие точки должны быть уникальными. (Это можно выразить словами топологов: идея Вейля не дает колмогоровского пространства , а Зариский мыслит в терминах фактора Колмогорова .)
В результате быстрых фундаментальных изменений 1950-х годов подход Вейля устарел. Однако в теории схем с 1957 года родовые точки вернулись: на этот раз в стиле Зарисского . Например для R кольцо дискретного нормирования , Spec ( R ) состоит из двух точек: общей точки (исходящей из простого идеала {0}) и замкнутой точки или специальной точки, исходящей из единственного максимального идеала . Для морфизмов в Spec ( R ) слой над специальной точкой является специальным слоем , что является важным понятием, например, в редукции по модулю p , теории монодромии и других теориях вырождения. Общий слой также является слоем над общей точкой. Геометрия вырождения в основном связана с переходом от общих волокон к специальным, или, другими словами, о том, как специализация параметров влияет на ситуацию. (Для кольца дискретного нормирования рассматриваемое топологическое пространство представляет собой Серпинского пространство топологов . Другие локальные кольца имеют уникальные общие и специальные точки, но более сложный спектр, поскольку они представляют общие измерения. Случай дискретного нормирования во многом похож на комплексный unit disk для этих целей.)
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Мамфорд, Дэвид (2005) [1999]. «II Пресхемы». Красная книга сортов и схем . Спрингер. п. 67. дои : 10.1007/978-3-540-46021-3_2 . ISBN 978-3-540-46021-3 .
- Викерс, Стивен (1989). Топология через логику . Кембриджские трактаты по теоретической информатике. Том. 5. с. 65. ИСБН 0-521-36062-5 .
- Вейль, Андре (1946). Основы алгебраической геометрии . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. XXIX. ISBN 978-1-4704-3176-1 . OCLC 1030398184 .