Неприводимый компонент

В алгебраической геометрии или неприводимое алгебраическое множество неприводимое многообразие — это алгебраическое множество , которое нельзя записать как объединение двух собственных алгебраических подмножеств. Неприводимая компонента алгебраического множества — это алгебраическое подмножество, неприводимое и максимальное (по включению множества ) по этому свойству. Например, множество решений уравнения xy = 0 не является неприводимым, а его неприводимыми компонентами являются две строки уравнений x = 0 и y = 0 .

Фундаментальная теорема классической алгебраической геометрии состоит в том, что каждое алгебраическое множество можно единственным образом записать как конечное объединение неприводимых компонентов.

Эти концепции можно переформулировать в чисто топологических терминах, используя топологию Зариского , для которой замкнутые множества являются алгебраическими подмножествами: топологическое пространство является неприводимым, если оно не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств, а неприводимая компонента является максимальным подпространством. (необходимо замкнутой), неприводимой для индуцированной топологии . Хотя эти концепции можно рассматривать для каждого топологического пространства, это редко делается за пределами алгебраической геометрии, поскольку наиболее распространенными топологическими пространствами являются пространства Хаусдорфа , а в хаусдорфовом пространстве неприводимые компоненты являются одиночными элементами .

В топологии

Топологическое пространство X приводимо , если его можно записать в виде объединения $X=X_{1}\cup X_{2}$ из двух замкнутых собственных подмножеств $X_{1}$, $X_{2}$ из $X.$Топологическое пространство называется неприводимым (или гиперсвязным ), если оно неприводимо. Эквивалентно, X неприводимо, если все непустые открытые подмножества X плотны непустое или если любые два непустых открытых множества имеют пересечение .

Подмножество F топологического пространства X называется неприводимым или приводимым, если F, рассматриваемое как топологическое пространство через топологию подпространства, обладает соответствующим свойством в указанном выше смысле. То есть, $F$ приводима, если ее можно записать в виде объединения $F=(G_{1}\cap F)\cup (G_{2}\cap F),$ где $G_{1},G_{2}$ являются закрытыми подмножествами $X$, ни один из которых не содержит $F.$

Неприводимая компонента топологического пространства — это максимальное неприводимое подмножество. Если подмножество неприводимо, его замыкание также неприводимо, поэтому неприводимые компоненты замкнуты.

Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно единственной) неприводимой компоненте X . Каждая точка $x\in X$ содержится в некоторой неприводимой компоненте X .

Пустое топологическое пространство

Пустое топологическое пространство безоговорочно удовлетворяет приведенному выше определению неприводимого (поскольку оно не имеет собственных подмножеств). Однако некоторые авторы, особенно те, кто интересуется приложениями к алгебраической топологии , явно исключают пустое множество из числа неприводимых. Эта статья не будет следовать этому соглашению.

В алгебраической геометрии

Каждое аффинное или проективное алгебраическое множество определяется как множество нулей идеала в кольце полиномов . Неприводимое алгебраическое множество , более известное как алгебраическое многообразие , — это алгебраическое множество, которое нельзя разложить как объединение двух меньших алгебраических множеств. Теорема Ласкера-Нётер подразумевает, что каждое алгебраическое множество представляет собой объединение конечного числа однозначно определенных алгебраических множеств, называемых его неприводимыми компонентами . Эти понятия неприводимости и неприводимых компонент являются в точности определенными выше при рассмотрении топологии Зарисского , поскольку алгебраические множества являются в точности замкнутыми множествами этой топологии.

Спектр кольца — это топологическое пространство, точки которого — простые идеалы , а замкнутые множества — множества всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал. Для этой топологии замкнутое множество является неприводимым, если оно представляет собой множество всех простых идеалов, содержащих некоторый простой идеал, а неприводимые компоненты соответствуют минимальным простым идеалам . число неприводимых компонент конечно В случае нетерова кольца .

Схема многообразие получается склейкой спектров колец так же, как получается склейкой карт . Таким образом, определение неприводимости и неприводимых компонент непосредственно распространяется и на схемы.

Примеры

В хаусдорфовом пространстве неприводимые подмножества и неприводимые компоненты являются одиночками . В частности, это касается действительных чисел . Фактически, если X — это набор действительных чисел, который не является одноэлементным, существуют три действительных числа такие, что x ∈ X , y ∈ X и x < a < y . Множество X не может быть неприводимым, поскольку $X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).$

Понятие неприводимой компоненты является фундаментальным в алгебраической геометрии и редко рассматривается за пределами этой области математики: рассмотрим алгебраическое подмножество плоскости.

Икс знак равно {( Икс , у ) | ху = 0} .

Для топологии Зариского ее закрытыми подмножествами являются само пустое множество, одиночные элементы и две линии, определяемые x = 0 и y = 0 . Таким образом, множество X приводимо, причем эти две прямые являются неприводимыми компонентами.

Спектром , для которого множество простых идеалов замкнуто тогда и коммутативного кольца называется множество простых идеалов кольца, наделенное топологией Зарисского только тогда, когда оно является множеством всех простых идеалов, содержащих фиксированный идеал . В этом случае неприводимое подмножество — это множество всех простых идеалов, содержащих фиксированный простой идеал.

Примечания

Эта статья включает в себя материалы из сайта «Reducible» с сайта PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons «Attribution/Share-Alike» . Эта статья включает в себя материал из компонента Irreducible на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .