Лемма Нётер о нормализации

В математике лемма о нормализации Нётер является результатом коммутативной алгебры , введенной Эмми Нётер в 1926 году. ^[1] Он утверждает, что для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существуют элементы y ₁ , y ₂ , ..., y _d в A, которые алгебраически независимы над k и такие, что A является конечно порожденным модулем. над кольцом полиномов S = k [ y ₁ , y ₂ , ..., y _d ]. число d равно размерности Крулля кольца A Целое ; если A — область целостности , d — это также степень трансцендентности поля частных A k над и .

Теорема имеет геометрическую интерпретацию. Предположим, что A — координатное кольцо аффинного многообразия X , и рассмотрим S как координатное кольцо аффинного d -мерного пространства. $\mathbb {A} _{k}^{d}$ . Тогда карта включения $S\hookrightarrow A$ индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий $X\to \mathbb {A} _{k}^{d}$ : то есть любое аффинное многообразие является разветвленным покрытием аффинного пространства.Когда k бесконечно, такую разветвленную накрывающую карту можно построить, взяв общую проекцию из аффинного пространства, содержащего X, в d -мерное подпространство.

В более общем смысле на языке схем теорему можно эквивалентно сформулировать так: каждая аффинная k- схема ( конечного типа ) X конечна . над аффинным n -мерным пространством Теорему можно уточнить, включив в нее R ( идеалов т замкнутых . е. подмножеств X цепочку ), которые конечны над аффинными координатными подпространствами соответствующих размерностей. ^[2]

Лемму Нётер о нормализации можно использовать как важный шаг в доказательстве , Гильберта Nullstellensatz одного из наиболее фундаментальных результатов классической алгебраической геометрии . Теорема о нормализации также является важным инструментом в установлении понятия размерности Крулля для k -алгебр.

Доказательство

Следующее доказательство принадлежит Нагате , следуя . красной книге Мамфорда Более геометрическое доказательство дано на странице 127 красной книги.

Кольцо A в лемме порождается как k -алгебра некоторыми элементами $y_{1},...,y_{m}$ . Проведем индукцию по m . Случай $m=0$ является $k=A$ и доказывать нечего. Предполагать $m=1$ . Затем $A\cong k[y]/I$ как k -алгебры, где $I\subset k[y]$ это некий идеал. С $k[y]$ это PID (это евклидов домен), $I=(f)$ . Если $f=0$ мы закончили, так что предположим $f\neq 0$ . Пусть e будет степенью f . Тогда A порождается как k -векторное пространство с помощью $1,y,y^{2},\dots ,y^{e-1}$ . Таким образом, A конечен над k . Предположим сейчас $m\geq 2$ . Достаточно показать, что существует k -подалгебра S в A , порождённая $m-1$ элементы, такие что A конечен над S. Действительно, по предположению индукции мы можем найти алгебраически независимые элементы $x_{1},...,x_{d}$ S S что такой , конечен над $k[x_{1},...,x_{d}]$ .

Поскольку в противном случае доказывать было бы нечего, мы также можем предположить, что существует ненулевой полином f от m переменных над k такой, что

f(y_{1},\ldots ,y_{m})=0

.

Учитывая целое число r, которое будет определено позже, установите

z_{i}=y_{i}-y_{1}^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m.

Тогда предыдущее гласит:

f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r},z_{3}+y_{1}^{r^{2}},\ldots ,z_{m}+y_{1}^{r^{m-1}})=0

.

Теперь, если $ay_{1}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+y_{1}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}$ представляет собой моном, входящий в левую часть приведенного выше уравнения, с коэффициентом $a\in k$ , высший срок в $y_{1}$ после расширения продукт выглядит так

ay_{1}^{\alpha _{1}+r\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}.

Всякий раз, когда указанный выше показатель согласуется с наивысшим $y_{1}$ показатель степени, произведенный каким-либо другим мономом, возможно, что старший член в $y_{1}$ из $f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r},z_{3}+y_{1}^{r^{2}},...,z_{m}+y_{1}^{r^{m-1}})$ не будет иметь указанную выше форму, поскольку на него может повлиять отмена. Однако, если r больше любого показателя степени, входящего в f , то каждый $\alpha _{1}+r\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}$ кодирует уникальное число по основанию r , поэтому этого не происходит. Для такого r пусть $c\in k$ — коэффициент единственного монома функции f мультистепени $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})$ для которого количество $\alpha _{1}+r\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}$ является максимальным. Умножение последнего тождества на $1/c$ дает интегральное уравнение зависимости $y_{1}$ над $S=k[z_{2},...,z_{m}]$ , то есть, $y_{1}$ является целым по S . С $y_{i}=z_{i}+y_{1}^{r^{i-1}}$ также целы над этим кольцом, A цело над S . Отсюда следует, что A конечен над S, и поскольку S порождается m-1 элементами, по индуктивному предположению мы закончили.

Если A — область целостности, то d — степень трансцендентности ее поля частных. Действительно, А и $S=k[y_{1},...,y_{d}]$ имеют одинаковую степень трансцендентности (т. е. степень поля частных), поскольку поле частных A является алгебраическим над полем S (поскольку A является целым над S ), а S имеет степень трансцендентности d . Таким образом, осталось доказать, что размерность Крулля кольца многочленов S равна d . (Это также является следствием теории размерности .) Проведем индукцию по d в случае $d=0$ быть тривиальным. С $0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})$ — цепочка простых идеалов, размерность не меньше d . Чтобы получить обратную оценку, пусть $0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}$ быть цепью первичных идеалов. Позволять $0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}$ . Применим нётерную нормировку и получим $T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]$ (в процессе нормализации мы можем выбрать первую переменную) такую, что S является целым числом по T . По индуктивному предположению, $T/(u)$ имеет размерность d - 1. По несравнимости , ${\mathfrak {p}}_{i}\cap T$ представляет собой цепочку длиной $m$ и затем, в $T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)$ , она становится цепочкой длиной $m-1$ . С $\operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)$ , у нас есть $m-1\leq d-1$ . Следовательно, $\dim S\leq d$ .

В книге Эйзенбуда появляется следующее уточнение, основанное на идее Нагаты: ^[2]

Теорема . Пусть A — конечно порожденная алгебра над полем k и $I_{1}\subset \dots \subset I_{m}$ быть цепью идеалов такой, что $\operatorname {dim} (A/I_{i})=d_{i}>d_{i+1}.$ Тогда существуют алгебраически независимые элементы y ₁ , ..., y _d в A такие, что

A — конечно порожденный модуль над подкольцом полиномов S = k [ y ₁ , ..., y _d ].
$I_{i}\cap S=(y_{d_{i}+1},\dots ,y_{d})$ .
Если $I_{i}$ 's однородны, то yi _. ' можно считать однородными

Более того, если k — бесконечное поле, то любой достаточно общий выбор y _{имеет вышеприведенное свойство 1 ( «} достаточно общий» уточняется в доказательстве).

Геометрически говоря, последняя часть теоремы гласит, что для $X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}$ любая общая линейная проекция $\mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}$ индуцирует конечный морфизм $X\to \mathbf {A} ^{d}$ (ср. леде); кроме Эйзенбуда, см. также [1] .

Следствие — . Пусть A область целостности, которая является конечно порожденной алгеброй над полем. Если ${\mathfrak {p}}$ является простым идеалом A , то

\dim A=\operatorname {height} {\mathfrak {p}}+\dim A/{\mathfrak {p}}

.

В частности, размерность Крулля локализации A в любом максимальном идеале равна dim A .

Следствие — Пусть $A\subset B$ — области целостности, являющиеся конечно порожденными алгебрами над полем. Затем

\dim B=\dim A+\operatorname {tr.deg} _{Q(A)}Q(B)

(частный случай формулы высоты Нагаты ).

Иллюстративное применение: родовая свобода.

Типичным нетривиальным применением леммы о нормализации является теорема о свободе общего положения : Пусть $A,B$ быть кольцами такими, что $A$ — нётерова область целостности, и предположим, что существует кольцевой гомоморфизм $A\to B$ который демонстрирует $B$ как конечно порожденная алгебра над $A$ . Тогда есть некоторые $0\neq g\in A$ такой, что $B[g^{-1}]$ это бесплатно $A[g^{-1}]$ -модуль.

Чтобы доказать это, позвольте $F$ быть дроби полем $A$ . Мы рассуждаем индукцией по размерности Крулля. $F\otimes _{A}B$ . Базовый случай – это когда размерность Крулла равна $-\infty$ ; то есть, $F\otimes _{A}B=0$ ; то есть, когда есть какой-то $0\neq g\in A$ такой, что $gB=0$ , так что $B[g^{-1}]$ бесплатен как $A[g^{-1}]$ -модуль. Для индуктивного шага заметим, что $F\otimes _{A}B$ является конечно порожденным $F$ -алгебра. Следовательно, по лемме Нётер о нормализации $F\otimes _{A}B$ содержит алгебраически независимые элементы $x_{1},\dots ,x_{d}$ такой, что $F\otimes _{A}B$ конечен над кольцом полиномов $F[x_{1},\dots ,x_{d}]$ . Умножение каждого $x_{i}$ элементами $A$ , мы можем предположить $x_{i}$ находятся в $B$ . Теперь мы рассматриваем:

A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.

Сейчас $B$ не может быть конечным в течение $A'$ , но оно станет конечным после инвертирования одного элемента следующим образом. Если $b$ является элементом $B$ , то как элемент $F\otimes _{A}B$ , оно является целым по $F[x_{1},\dots ,x_{d}]$ ; то есть, $b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0$ для некоторых $a_{i}$ в $F[x_{1},\dots ,x_{d}]$ . Таким образом, некоторые $0\neq g\in A$ убивает все знаменатели коэффициентов $a_{i}$ и так $b$ является целым по $A'[g^{-1}]$ . Выбрав некоторое конечное число генераторов $B$ как $A'$ -алгебры и применяя это наблюдение к каждому генератору, мы находим некоторые $0\neq g\in A$ такой, что $B[g^{-1}]$ является целым (следовательно, конечным) по $A'[g^{-1}]$ . Заменять $B,A$ к $B[g^{-1}],A[g^{-1}]$ и тогда мы можем предположить $B$ конечно над $A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]$ .В заключение рассмотрим конечную фильтрацию $B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}$ к $A'$ -подмодули такие, что $B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}$ за главные идеалы ${\mathfrak {p}}_{i}$ (такая фильтрация существует по теории ассоциированных простых чисел ). Для каждого i , если ${\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ , по индуктивному предположению, мы можем выбрать некоторые $g_{i}\neq 0$ в $A$ такой, что $A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]$ бесплатен как $A[g_{i}^{-1}]$ -модуль, в то время как $A'$ является кольцом полиномов и, следовательно, свободно. Следовательно, с $g=g_{0}\cdots g_{r}$ , $B[g^{-1}]$ это бесплатный модуль поверх $A[g^{-1}]$ . $\square$