Разветвленное покрытие

В математике разветвленное покрытие — это карта, которая является почти покрывающей , за исключением небольшого множества.

В топологии

В топологии карта является разветвленным покрытием , если она является покрывающей всюду, за исключением нигде не плотного множества, известного как множество ветвей. Примеры включают отображение группы кругов в один круг, где отображение является гомеоморфизмом на каждом круге.

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии термин « разветвленное накрытие» используется для описания морфизмов. $f$ из алгебраического многообразия $V$ к другому $W$, причем два измерения одинаковы, и типичное волокно $f$ иметь размерность 0.

В этом случае будет открытый набор. $W'$ из $W$ (для топологии Зарисского ), плотную в $W$, такой, что ограничение $f$ к $W'$ (от $V'=f^{-1}(W')$ к $W'$, то есть) неразветвлен . В зависимости от контекста мы можем воспринимать это как локальный гомеоморфизм для сильной топологии над комплексными числами или как этальный морфизм в целом (при некоторых несколько более сильных гипотезах о плоскостности и отделимости ). В общем случае такой морфизм напоминает накрывающее пространство в топологическом смысле. Например, если $V$ и $W$ обе являются компактными римановыми поверхностями , нам потребуется только, чтобы $f$ голоморфен и не постоянен, и тогда существует конечное множество точек $P$ из $W$, вне которого мы находим честное прикрытие

$V'\to W'$.

Локус разветвления

Множество исключительных точек на $W$ называется локусом ветвления (т.е. это дополнение максимально возможного открытого множества $W'$). В целом монодромия возникает в соответствии с фундаментальной группой $W'$ действующий на листы покрытия (эта топологическая картина может быть уточнена и в случае общего основного поля).

Расширения Куммера

Разветвленные накрытия легко строятся как расширения Куммера , т. е. как алгебраическое расширение функционального поля . Гиперэллиптические кривые являются типичными примерами.

Неразветвленное покрытие

Тогда неразветвленное покрытие представляет собой появление пустого локуса ветвления.

Примеры

Эллиптическая кривая

Морфизмы кривых дают множество примеров разветвленных накрытий. Например, пусть C — эллиптическая кривая уравнения

$y^{2}-x(x-1)(x-2)=0.$

Проекция C на ось x представляет собой разветвленную крышку с локусом ветвления, заданным формулой

$x(x-1)(x-2)=0.$

Это потому, что для этих трех значений x волокно является двойной точкой. $y^{2}=0,$ в то время как для любого другого значения x слой состоит из двух различных точек (над алгебраически замкнутым полем ).

Эта проекция индуцирует алгебраическое расширение второй степени функциональных полей :Кроме того, если мы возьмем поля частных коммутативных колец, мы получим морфизм

$\mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$

Следовательно, эта проекция является разветвленным накрытием степени 2. Это можно гомогенизировать, чтобы построить разветвленное накрытие степени 2 соответствующей проективной эллиптической кривой проективной прямой.

Плоская алгебраическая кривая

Предыдущий пример можно обобщить на любую алгебраическую плоскую кривую следующим образом.Пусть C — плоская кривая, определяемая уравнением f ( x , y ) = 0 , где f — разделимый и неприводимый многочлен от двух неопределенных. Если n — степень f в y , то слой состоит из n различных точек, за исключением конечного числа значений x . Таким образом, этот проектор является разветвленным накрытием степени n .

Исключительные значения x являются корнями коэффициента при $y^{n}$ в f корни дискриминанта f и по y .

Над корнем r дискриминанта существует по крайней мере разветвленная точка, которая является либо критической , либо особой точкой . Если r также является корнем коэффициента $y^{n}$ в f , то эта разветвленная точка находится « на бесконечности ».

По корню s коэффициента $y^{n}$ в f кривая C имеет бесконечную ветвь, а слой в точке s имеет менее n точек. Однако если расширить проекцию до проективных пополнений C и и оси x если s не является корнем дискриминанта, проекция станет покрытием окрестности s .

В том, что эта проекция является разветвленным накрытием степени n, можно убедиться также, рассматривая функциональные поля . Фактически эта проекция соответствует расширению поля степени n

$\mathbb {C} (x)\to \mathbb {C} (x)[y]/f(x,y).$

Различные разветвления

Можно также обобщить разветвленные накрытия прямой с различной степенью ветвления. Рассмотрим многочлен вида

$f(x,y)=g(x)$

поскольку мы выбираем разные точки $x=\alpha$, слои, заданные исчезающим множеством $f(\alpha ,y)-g(\alpha )$ отличаться. В любой точке, где кратность одного из линейных членов факторизации $f(\alpha ,y)-g(\alpha )$ увеличивается на единицу, происходит разветвление.

схем

Эллиптические кривые

Морфизмы кривых дают множество примеров разветвленных накрытий схем. Например, морфизм аффинной эллиптической кривой в прямую

${\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x,y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2)}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])$

представляет собой разветвленную крышку с локусом ветвления, заданным формулой

$X={\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [x]}/{(x(x-1)(x-2))}\right)$

Это связано с тем, что в любой момент $X$ в $\mathbb {A} ^{1}$ волокно - это схема

${\text{Spec}}\left({\mathbb {C} [y]}/{(y^{2})}\right)$

Кроме того, если мы возьмем поля частных коммутативных колец, мы получим гомоморфизм полей

$\mathbb {C} (x)\to {\mathbb {C} (x)[y]}/{(y^{2}-x(x-1)(x-2))},$

которое является алгебраическим расширением второй степени;следовательно, мы получили разветвленное накрытие эллиптической кривой степени 2 до аффинной прямой. Это можно гомогенизировать, чтобы построить морфизм проективной эллиптической кривой в $\mathbb {P} ^{1}$.

Гиперэллиптическая кривая

Гиперэллиптическая кривая обеспечивает обобщение указанной выше степени. $2$ покрытие аффинной прямой, рассматривая аффинную схему, определенную над $\mathbb {C}$ полиномом вида

$y^{2}-\prod (x-a_{i})$ где $a_{i}\neq a_{j}$ для $i\neq j$

аффинной

Мы можем обобщить предыдущий пример, взяв морфизм

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(y)-g(x))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x])$

где $g(x)$ не имеет повторяющихся корней. Тогда локус ветвления определяется выражением

$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(f(x))}}\right)$

где волокна имеют вид

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [y]}{(f(y))}}\right)$

Тогда мы получаем индуцированный морфизм полей дробей

$\mathbb {C} (x)\to {\frac {\mathbb {C} (x)[y]}{(f(y)-g(x))}}$

Существует $\mathbb {C} (x)$-модульный изоморфизм цели с

$\mathbb {C} (x)\oplus \mathbb {C} (x)\cdot y\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} (x)\cdot y^{{\text{deg}}(f(y))}$

Следовательно, накрытие имеет степень ${\text{deg}}(f)$.

кривые

Суперэллиптические кривые являются обобщением гиперэллиптических кривых и специализацией предыдущего семейства примеров, поскольку они задаются аффинными схемами. $X/\mathbb {C}$ из полиномов вида

$y^{k}-f(x)$ где $k>2$ и $f(x)$ не имеет повторяющихся корней.

покрытия

Другой полезный класс примеров связан с разветвленными покрытиями проективного пространства. Учитывая однородный полином $f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ мы можем построить разветвленное накрытие $\mathbb {P} ^{n}$ с локусом ветвления

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{f(x)}}\right)$

рассматривая морфизм проективных схем

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}][y]}{y^{{\text{deg}}(f)}-f(x)}}\right)\to \mathbb {P} ^{n}$

Опять же, это будет покрытие степени ${\text{deg}}(f)$.

Приложения

Разветвленные покрытия $C\to X$ иметь группу симметрии преобразований $G$. Поскольку группа симметрии имеет стабилизаторы в точках локуса ветвления, разветвленные покрытия можно использовать для построения примеров орбифолдов или стеков Делиня – Мамфорда .

См. также

• Показать морфизм
• Орбифолд
• Стек (математика)

Ссылки

• Димка, Александру (1992), Особенности и топология гиперповерхностей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97709-6
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157 , OCLC   13348052
• Оссерман, Брайан, Разветвленные покрытия сферы Римана (PDF)