Глоссарий теории поля

Теория поля — это раздел математики , в котором поля изучаются . Это глоссарий некоторых терминов по этой теме. (См. теорию поля (физика) для получения информации о несвязанных теориях поля в физике.)

Определение поля [ править ]

Поле — это коммутативное кольцо ( F , +, *), в котором 0 ≠ 1 и каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный. Таким образом, в поле мы можем выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Ненулевые элементы поля F образуют абелеву группу при умножении; эта группа обычно обозначается F ^×;

Кольцо многочленов от переменной x с коэффициентами из F обозначается F [ x ].

Основные определения [ править ]

Характеристика: Характеристикой является поля F наименьшее целое положительное число n такое, что n · 1 = 0 ; здесь n ·1 означает n слагаемых 1 + 1 + 1 + ... + 1 . Если такого n не существует, мы говорим, что характеристика равна нулю. Каждая ненулевая характеристика является простым числом . Например, рациональные числа , действительные числа и p -адические числа имеют характеристику 0, в то время как конечное поле Zp _, где p является простым, имеет характеристику p .
Подполе: Подполе подмножество поля F — это F , замкнутое относительно полевых операций + и * поля F и которое с помощью этих операций образует само поле.
Прайм поле: Простое поле поля F является уникальным наименьшим подполем F .
Поле расширения: Если F является подполем E то E является полем расширения F , . Тогда мы также говорим, что E / F является расширением поля .
Степень расширения: Учитывая расширение E / F , поле E можно рассматривать как векторное пространство над полем F , а размерность этого векторного пространства — это степень расширения, обозначаемая [ E : F ].
Конечное расширение: Конечное расширение — это расширение поля, степень которого конечна.
Алгебраическое расширение: элемент α расширения поля E над F является корнем ненулевого многочлена из [ x ] , то α алгебраичен F. над F Если Если каждый элемент E алгебраичен над F , то E / F является алгебраическим расширением .
Генераторная установка: Учитывая расширение поля E / F и подмножество S поля E , мы пишем F ( S ) для наименьшего подполя поля E которое содержит как F , так и S. , Он состоит из всех элементов E многократно применяя операции +, −, *, / над элементами F и S. , которые можно получить , Если E = F ( S ) , мы говорим, E порождается S над F. что
Примитивный элемент: Элемент α поля расширения E над полем F называется примитивным элементом, если E = F ( α ), наименьшее поле расширения, содержащее α . Такое расширение называется простым расширением .
Разделение поля: Расширение поля, создаваемое полной факторизацией полинома.
Обычное расширение: Расширение поля, созданное путем полной факторизации набора полиномов.
Отделяемое расширение: Расширение, порожденное корнями разделимых многочленов .
Идеальное поле: Поле такое, что каждое конечное расширение сепарабельно. Все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.
Несовершенная степень: Пусть F — поле характеристики p > 0 ; тогда Ф ^п является подполем. Степень [ F : F ^п] называется несовершенной F степенью . Поле F совершенно тогда и только тогда, когда его несовершенная степень равна 1 . Например, если F — функциональное поле n переменных над конечным полем характеристики p > 0 , то его несовершенная степень равна p ^н. ^[1]
Алгебраически замкнутое поле: Поле F называется алгебраически замкнутым , если каждый многочлен из F [ x ] имеет корень из F ; эквивалентно: каждый полином из F [ x ] является произведением линейных факторов.
Алгебраическое замыкание: Алгебраическое замыкание поля F — это алгебраическое расширение F , которое является алгебраически замкнутым. Каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и оно уникально с точностью до изоморфизма, фиксирующего F .
трансцендентный: Те элементы поля расширения F , которые не являются алгебраическими над F трансцендентны , над F .
Алгебраически независимые элементы: Элементы поля расширения F над алгебраически независимы F , если они не удовлетворяют никакому ненулевому полиномиальному уравнению с коэффициентами из F .
Степень трансцендентности: Число алгебраически независимых трансцендентных элементов в расширении поля. Он используется для определения размерности алгебраического многообразия .

Гомоморфизмы [ править ]

Полевой гомоморфизм

Гомоморфизм полей между двумя полями E и F — это кольцевой гомоморфизм , т. е. функция

е : Е → F

такой, что для всех x , y в E ,

ж ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( у )

ж ( ху ) знак равно ж ( Икс ) ж ( y )

ж (1) = 1.

Для полей E и F из этих свойств следует, что f (0) = 0 , f ( x ⁻¹) знак равно ж ( Икс ) ⁻¹ для x в E ^×и f инъективно что . Поля вместе с этими гомоморфизмами образуют категорию . Два поля E и F называются изоморфными , если существует биективный гомоморфизм

ж : Е → Ж .

Тогда эти два поля идентичны для всех практических целей; однако не обязательно уникальным образом. См., например, Комплексно-сопряженное .

Типы полей [ править ]

Конечное поле: Поле с конечным числом элементов, также известное как поле Галуа .
Заказанное поле: Поле с общим порядком, совместимым с его операциями.
Рациональные числа
Реальные числа
Комплексные числа
Числовое поле: Конечное расширение поля рациональных чисел.
Алгебраические числа: Поле алгебраических чисел — наименьшее алгебраически замкнутое расширение поля рациональных чисел. Их детальные свойства изучаются в алгебраической теории чисел .
Квадратичное поле: Расширение рациональных чисел второй степени.
Циклотомное поле: Расширение рациональных чисел, порождённых корнем из единицы .
Совершенно реальное поле: Числовое поле, созданное корнем многочлена, все корни которого имеют действительные числа.
Формально реальное поле
Настоящее закрытое поле
Глобальное поле: Числовое поле или функциональное поле одной переменной над конечным полем.
Локальное поле: Пополнение некоторого глобального поля ( по простому числу целого кольца).
Заполните поле: Поле, заполненное относительно некоторой оценки.
Псевдоалгебраически замкнутое поле: Поле, в котором каждое многообразие имеет рациональную точку . ^[2]
Гензельское поле: Поле, удовлетворяющее лемме Гензеля относительно некоторой оценки. Обобщение полных полей.
Гильбертово поле: Поле, удовлетворяющее теореме о неприводимости Гильберта : формально поле, для которого проективная линия не является тонкой в смысле Серра . ^[3]^[4]
Кронекерово поле: Вполне вещественное поле алгебраических чисел или вполне мнимое квадратичное расширение вполне вещественного поля. ^[5]
CM-поле или J-поле: Поле алгебраических чисел, которое является полностью мнимым квадратичным расширением вполне вещественного поля. ^[6]
Связанное поле: Поле, над которым ни одна алгебра бикватернионов не является алгеброй с делением . ^[7]
Поле Фробениуса: Псевдоалгебраически замкнутое поле которого , абсолютная группа Галуа обладает свойством вложения. ^[8]

Расширения полей [ править ]

Пусть E / F — расширение поля.

Алгебраическое расширение

Расширение, в котором каждый элемент E алгебраичен над F .

Простое расширение

Расширение, создаваемое одним элементом, называемым примитивным элементом или порождающим элементом . ^[9] Теорема о примитивном элементе классифицирует такие расширения. ^[10]

Обычное расширение

Расширение, которое разбивает семейство полиномов: каждый корень минимального многочлена элемента E над F также находится в E .

Отделяемое расширение

Алгебраическое расширение, в котором минимальный многочлен каждого элемента E над F является сепарабельным многочленом , то есть имеет различные корни. ^[11]

Расширение Галуа

Обычное сепарабельное расширение поля.

Основное расширение

Расширение E / F такое, что алгебраическое замыкание F в E чисто неразделимо над F ; эквивалентно, линейно с не пересекается сепарабельным замыканием F E . ^[12]

Чисто трансцендентальное расширение

Расширение E / F, в котором каждый элемент E , не входящий в F, над F. трансцендентен ^[13]^[14]

Регулярное продление

Расширение E / F такое, что сепарабельно над F и F алгебраически замкнуто в E. E ^[12]

Простое радикальное расширение

Простое расширение E / F, порожденное одним элементом α, удовлетворяющим α ^н = b для элемента b из F . В характеристике p расширение с помощью корня полинома Артина–Шрейера . мы также считаем простым радикальным расширением ^[15]

Радикальное расширение

Башня F = F ₀ < F ₁ < ⋅⋅⋅ < F _k = E , где каждое расширение F _i / F _{i −1} является простым радикальным расширением. ^[15]

Саморегулярное расширение

Расширение E / F такое, что E ⊗ _FE — область целостности. ^[16]

Полностью трансцендентальное расширение

Расширение E / F такое, что алгебраически замкнуто в F. F ^[14]

Выдающийся класс

Класс C расширений полей с тремя свойствами ^[17]

Если E — C-расширение F и F — C-расширение K , то E — C-расширение K .
Если E и F — C-расширения поля K в общем надполе M , то композит EF является C-расширением K. поля
Если E — C-расширение F и E > K > F , то E — C-расширение K .

Теория Галуа [ править ]

Расширение Галуа: Обычное сепарабельное расширение поля.
группа Галуа: Группа автоморфизмов расширения Галуа. Когда это конечное расширение, это конечная группа, порядок которой равен степени расширения. Группы Галуа для бесконечных расширений являются проконечными группами .
Теория горя: Теория Галуа о получении n-й корней степени при достаточном количестве корней из единицы . Он включает общую теорию квадратичных расширений .
Теория Артина – Шрайера: Охватывает исключительный случай теории Куммера в характеристике p .
Нормальная основа: Базис в смысле векторного пространства L над K , на котором группа Галуа L над K действует транзитивно.
Тензорное произведение полей: Другая основополагающая часть алгебры, включая операцию композитума ( соединение полей).

теории Расширения Галуа

Обратная задача теории Галуа: Учитывая группу G , найдите расширение рационального числа или другого поля с G как группой Галуа.
Дифференциальная теория Галуа: Предмет, в котором группы симметрии дифференциальных уравнений изучаются в традиционных для теории Галуа направлениях. На самом деле это старая идея и одна из причин, побудивших Софуса Ли основать теорию групп Ли . Вероятно, оно еще не достигло окончательной формы.
Теория Галуа Гротендика.: Очень абстрактный подход из алгебраической геометрии , введенный для изучения аналога фундаментальной группы .

Цитаты [ править ]

^ Фрид и Джарден 2008 , с. 45
^ Фрид и Джарден 2008 , с. 214
^ Теплица 1992 , с. 19
^ Шинцель 2000 , с. 298
^ Шинцель 2000 , с. 5
^ Вашингтон, 1996 г.
^ Лам 2005 , с. 342
^ Фрид и Джарден 2008 , с. 564
^ Роман 2007 , с. 46
^ Ланг 2002 , с. 243
^ Фрид и Джарден 2008 , с. 28
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фрид и Джарден 2008 , с. 44
^ Роман 2007 , с. 102
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Айзекс 1994 , с. 389
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Роман 2007 , с. 273
^ Кон 2003 , с. 427
^ Ланг 2002 , с. 228

Ссылки [ править ]

Адамсон, Иэн Т. (1982). Введение в теорию поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-28658-1 .
Кон, премьер-министр (2003). Базовая алгебра. Группы, кольца и поля . Спрингер-Верлаг . ISBN 1-85233-587-4 . Збл 1003.00001 .
Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е исправленное изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .
Айзекс, И. Мартин (1994). Алгебра: Высший курс . Аспирантура по математике. Том. 100. Американское математическое общество . п. 389. ИСБН 0-8218-4799-6 . ISSN 1065-7339 .
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-61223-8 . Збл 0869.11051 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 , Збл 0984.00001
Роман, Стивен (2007). Теория поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 158. Шпрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-27678-6 .
Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым учетом сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 77. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-66225-7 . Збл 0956.12001 .
Серр, Жан Пьер (1989). Лекции по теореме Морделла-Вейля . Аспекты математики. Том Е15. Переведено и отредактировано Мартином Брауном на основе заметок Мишеля Вальдшмидта. Брауншвейг и др.: Фридр. Вьюег и сын. Збл 0676.14005 .
Серр, Жан-Пьер (1992). Темы теории Галуа . Исследования по математике. Том. 1. Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-210-6 . Артикул 0746.12001 .
Вашингтон, Лоуренс К. (1996). Введение в циклотомные поля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0 . Збл 0966.11047 .

[FOOTNOTEFriedJarden200845-1] Фрид и Джарден 2008 , с. 45

[FOOTNOTEFriedJarden2008214-2] Фрид и Джарден 2008 , с. 214

[FOOTNOTESerre199219-3] Теплица 1992 , с. 19

[FOOTNOTESchinzel2000298-4] Шинцель 2000 , с. 298

[FOOTNOTESchinzel20005-5] Шинцель 2000 , с. 5

[FOOTNOTEWashington1996-6] Вашингтон, 1996 г.

[FOOTNOTELam2005342-7] Лам 2005 , с. 342

[FOOTNOTEFriedJarden2008564-8] Фрид и Джарден 2008 , с. 564

[FOOTNOTERoman200746-9] Роман 2007 , с. 46

[FOOTNOTELang2002243-10] Ланг 2002 , с. 243

[FOOTNOTEFriedJarden200828-11] Фрид и Джарден 2008 , с. 28

[FOOTNOTEFriedJarden200844-12] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фрид и Джарден 2008 , с. 44

[FOOTNOTERoman2007102-13] Роман 2007 , с. 102

[FOOTNOTEIsaacs1994389-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Айзекс 1994 , с. 389

[FOOTNOTERoman2007273-15] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Роман 2007 , с. 273

[FOOTNOTECohn2003427-16] Кон 2003 , с. 427

[FOOTNOTELang2002228-17] Ланг 2002 , с. 228

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]