Глоссарий теории поля
(Перенаправлено из Гомоморфизм поля )
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( июнь 2014 г. ) |
Теория поля — это раздел математики , в котором поля изучаются . Это глоссарий некоторых терминов по этой теме. (См. теорию поля (физика) для получения информации о несвязанных теориях поля в физике.)
Определение поля [ править ]
Поле — это коммутативное кольцо ( F , +, *), в котором 0 ≠ 1 и каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный. Таким образом, в поле мы можем выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Ненулевые элементы поля F образуют абелеву группу при умножении; эта группа обычно обозначается F × ;
Кольцо многочленов от переменной x с коэффициентами из F обозначается F [ x ].
Основные определения [ править ]
- Характеристика
- Характеристикой является поля F наименьшее целое положительное число n такое, что n · 1 = 0 ; здесь n ·1 означает n слагаемых 1 + 1 + 1 + ... + 1 . Если такого n не существует, мы говорим, что характеристика равна нулю. Каждая ненулевая характеристика является простым числом . Например, рациональные числа , действительные числа и p -адические числа имеют характеристику 0, в то время как конечное поле Zp , где p является простым, имеет характеристику p .
- Подполе
- Подполе подмножество поля F — это F , замкнутое относительно полевых операций + и * поля F и которое с помощью этих операций образует само поле.
- Прайм поле
- Простое поле поля F является уникальным наименьшим подполем F .
- Поле расширения
- Если F является подполем E то E является полем расширения F , . Тогда мы также говорим, что E / F является расширением поля .
- Степень расширения
- Учитывая расширение E / F , поле E можно рассматривать как векторное пространство над полем F , а размерность этого векторного пространства — это степень расширения, обозначаемая [ E : F ].
- Конечное расширение
- Конечное расширение — это расширение поля, степень которого конечна.
- Алгебраическое расширение
- элемент α расширения поля E над F является корнем ненулевого многочлена из [ x ] , то α алгебраичен F. над F Если Если каждый элемент E алгебраичен над F , то E / F является алгебраическим расширением .
- Генераторная установка
- Учитывая расширение поля E / F и подмножество S поля E , мы пишем F ( S ) для наименьшего подполя поля E которое содержит как F , так и S. , Он состоит из всех элементов E многократно применяя операции +, −, *, / над элементами F и S. , которые можно получить , Если E = F ( S ) , мы говорим, E порождается S над F. что
- Примитивный элемент
- Элемент α поля расширения E над полем F называется примитивным элементом, если E = F ( α ), наименьшее поле расширения, содержащее α . Такое расширение называется простым расширением .
- Разделение поля
- Расширение поля, создаваемое полной факторизацией полинома.
- Обычное расширение
- Расширение поля, созданное путем полной факторизации набора полиномов.
- Отделяемое расширение
- Расширение, порожденное корнями разделимых многочленов .
- Идеальное поле
- Поле такое, что каждое конечное расширение сепарабельно. Все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.
- Несовершенная степень
- Пусть F — поле характеристики p > 0 ; тогда Ф п является подполем. Степень [ F : F п ] называется несовершенной F степенью . Поле F совершенно тогда и только тогда, когда его несовершенная степень равна 1 . Например, если F — функциональное поле n переменных над конечным полем характеристики p > 0 , то его несовершенная степень равна p н . [1]
- Алгебраически замкнутое поле
- Поле F называется алгебраически замкнутым , если каждый многочлен из F [ x ] имеет корень из F ; эквивалентно: каждый полином из F [ x ] является произведением линейных факторов.
- Алгебраическое замыкание
- Алгебраическое замыкание поля F — это алгебраическое расширение F , которое является алгебраически замкнутым. Каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и оно уникально с точностью до изоморфизма, фиксирующего F .
- трансцендентный
- Те элементы поля расширения F , которые не являются алгебраическими над F трансцендентны , над F .
- Алгебраически независимые элементы
- Элементы поля расширения F над алгебраически независимы F , если они не удовлетворяют никакому ненулевому полиномиальному уравнению с коэффициентами из F .
- Степень трансцендентности
- Число алгебраически независимых трансцендентных элементов в расширении поля. Он используется для определения размерности алгебраического многообразия .
Гомоморфизмы [ править ]
- Полевой гомоморфизм
- Гомоморфизм полей между двумя полями E и F — это кольцевой гомоморфизм , т. е. функция
- е : Е → F
- такой, что для всех x , y в E ,
- ж ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( у )
- ж ( ху ) знак равно ж ( Икс ) ж ( y )
- ж (1) = 1.
- Для полей E и F из этих свойств следует, что f (0) = 0 , f ( x −1 ) знак равно ж ( Икс ) −1 для x в E × и f инъективно что . Поля вместе с этими гомоморфизмами образуют категорию . Два поля E и F называются изоморфными , если существует биективный гомоморфизм
- ж : Е → Ж .
- Тогда эти два поля идентичны для всех практических целей; однако не обязательно уникальным образом. См., например, Комплексно-сопряженное .
Типы полей [ править ]
- Конечное поле
- Поле с конечным числом элементов, также известное как поле Галуа .
- Заказанное поле
- Поле с общим порядком, совместимым с его операциями.
- Рациональные числа
- Реальные числа
- Комплексные числа
- Числовое поле
- Конечное расширение поля рациональных чисел.
- Алгебраические числа
- Поле алгебраических чисел — наименьшее алгебраически замкнутое расширение поля рациональных чисел. Их детальные свойства изучаются в алгебраической теории чисел .
- Квадратичное поле
- Расширение рациональных чисел второй степени.
- Циклотомное поле
- Расширение рациональных чисел, порождённых корнем из единицы .
- Совершенно реальное поле
- Числовое поле, созданное корнем многочлена, все корни которого имеют действительные числа.
- Формально реальное поле
- Настоящее закрытое поле
- Глобальное поле
- Числовое поле или функциональное поле одной переменной над конечным полем.
- Локальное поле
- Пополнение некоторого глобального поля ( по простому числу целого кольца).
- Заполните поле
- Поле, заполненное относительно некоторой оценки.
- Псевдоалгебраически замкнутое поле
- Поле, в котором каждое многообразие имеет рациональную точку . [2]
- Гензельское поле
- Поле, удовлетворяющее лемме Гензеля относительно некоторой оценки. Обобщение полных полей.
- Гильбертово поле
- Поле, удовлетворяющее теореме о неприводимости Гильберта : формально поле, для которого проективная линия не является тонкой в смысле Серра . [3] [4]
- Кронекерово поле
- Вполне вещественное поле алгебраических чисел или вполне мнимое квадратичное расширение вполне вещественного поля. [5]
- CM-поле или J-поле
- Поле алгебраических чисел, которое является полностью мнимым квадратичным расширением вполне вещественного поля. [6]
- Связанное поле
- Поле, над которым ни одна алгебра бикватернионов не является алгеброй с делением . [7]
- Поле Фробениуса
- Псевдоалгебраически замкнутое поле которого , абсолютная группа Галуа обладает свойством вложения. [8]
Расширения полей [ править ]
Пусть E / F — расширение поля.
- Алгебраическое расширение
- Расширение, в котором каждый элемент E алгебраичен над F .
- Простое расширение
- Расширение, создаваемое одним элементом, называемым примитивным элементом или порождающим элементом . [9] Теорема о примитивном элементе классифицирует такие расширения. [10]
- Обычное расширение
- Расширение, которое разбивает семейство полиномов: каждый корень минимального многочлена элемента E над F также находится в E .
- Отделяемое расширение
- Алгебраическое расширение, в котором минимальный многочлен каждого элемента E над F является сепарабельным многочленом , то есть имеет различные корни. [11]
- Расширение Галуа
- Обычное сепарабельное расширение поля.
- Основное расширение
- Расширение E / F такое, что алгебраическое замыкание F в E чисто неразделимо над F ; эквивалентно, линейно с не пересекается сепарабельным замыканием F E . [12]
- Чисто трансцендентальное расширение
- Расширение E / F, в котором каждый элемент E , не входящий в F, над F. трансцендентен [13] [14]
- Регулярное продление
- Расширение E / F такое, что сепарабельно над F и F алгебраически замкнуто в E. E [12]
- Простое радикальное расширение
- Простое расширение E / F, порожденное одним элементом α, удовлетворяющим α н = b для элемента b из F . В характеристике p расширение с помощью корня полинома Артина–Шрейера . мы также считаем простым радикальным расширением [15]
- Радикальное расширение
- Башня F = F 0 < F 1 < ⋅⋅⋅ < F k = E , где каждое расширение F i / F i −1 является простым радикальным расширением. [15]
- Саморегулярное расширение
- Расширение E / F такое, что E ⊗ FE — область целостности. [16]
- Полностью трансцендентальное расширение
- Расширение E / F такое, что алгебраически замкнуто в F. F [14]
- Выдающийся класс
- Класс C расширений полей с тремя свойствами [17]
- Если E — C-расширение F и F — C-расширение K , то E — C-расширение K .
- Если E и F — C-расширения поля K в общем надполе M , то композит EF является C-расширением K. поля
- Если E — C-расширение F и E > K > F , то E — C-расширение K .
Теория Галуа [ править ]
- Расширение Галуа
- Обычное сепарабельное расширение поля.
- группа Галуа
- Группа автоморфизмов расширения Галуа. Когда это конечное расширение, это конечная группа, порядок которой равен степени расширения. Группы Галуа для бесконечных расширений являются проконечными группами .
- Теория горя
- Теория Галуа о получении n-й корней степени при достаточном количестве корней из единицы . Он включает общую теорию квадратичных расширений .
- Теория Артина – Шрайера
- Охватывает исключительный случай теории Куммера в характеристике p .
- Нормальная основа
- Базис в смысле векторного пространства L над K , на котором группа Галуа L над K действует транзитивно.
- Тензорное произведение полей
- Другая основополагающая часть алгебры, включая операцию композитума ( соединение полей).
теории Расширения Галуа
- Обратная задача теории Галуа
- Учитывая группу G , найдите расширение рационального числа или другого поля с G как группой Галуа.
- Дифференциальная теория Галуа
- Предмет, в котором группы симметрии дифференциальных уравнений изучаются в традиционных для теории Галуа направлениях. На самом деле это старая идея и одна из причин, побудивших Софуса Ли основать теорию групп Ли . Вероятно, оно еще не достигло окончательной формы.
- Теория Галуа Гротендика.
- Очень абстрактный подход из алгебраической геометрии , введенный для изучения аналога фундаментальной группы .
Цитаты [ править ]
- ^ Фрид и Джарден 2008 , с. 45
- ^ Фрид и Джарден 2008 , с. 214
- ^ Теплица 1992 , с. 19
- ^ Шинцель 2000 , с. 298
- ^ Шинцель 2000 , с. 5
- ^ Вашингтон, 1996 г.
- ^ Лам 2005 , с. 342
- ^ Фрид и Джарден 2008 , с. 564
- ^ Роман 2007 , с. 46
- ^ Ланг 2002 , с. 243
- ^ Фрид и Джарден 2008 , с. 28
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фрид и Джарден 2008 , с. 44
- ^ Роман 2007 , с. 102
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Айзекс 1994 , с. 389
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Роман 2007 , с. 273
- ^ Кон 2003 , с. 427
- ^ Ланг 2002 , с. 228
Ссылки [ править ]
- Адамсон, Иэн Т. (1982). Введение в теорию поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-28658-1 .
- Кон, премьер-министр (2003). Базовая алгебра. Группы, кольца и поля . Спрингер-Верлаг . ISBN 1-85233-587-4 . Збл 1003.00001 .
- Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е исправленное изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .
- Айзекс, И. Мартин (1994). Алгебра: Высший курс . Аспирантура по математике. Том. 100. Американское математическое общество . п. 389. ИСБН 0-8218-4799-6 . ISSN 1065-7339 .
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
- Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-61223-8 . Збл 0869.11051 .
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 , Збл 0984.00001
- Роман, Стивен (2007). Теория поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 158. Шпрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-27678-6 .
- Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым учетом сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 77. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-66225-7 . Збл 0956.12001 .
- Серр, Жан Пьер (1989). Лекции по теореме Морделла-Вейля . Аспекты математики. Том Е15. Переведено и отредактировано Мартином Брауном на основе заметок Мишеля Вальдшмидта. Брауншвейг и др.: Фридр. Вьюег и сын. Збл 0676.14005 .
- Серр, Жан-Пьер (1992). Темы теории Галуа . Исследования по математике. Том. 1. Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-210-6 . Артикул 0746.12001 .
- Вашингтон, Лоуренс К. (1996). Введение в циклотомные поля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0 . Збл 0966.11047 .