Jump to content

Глоссарий теории поля

(Перенаправлено из Гомоморфизм поля )

Теория поля — это раздел математики , в котором поля изучаются . Это глоссарий некоторых терминов по этой теме. (См. теорию поля (физика) для получения информации о несвязанных теориях поля в физике.)

Определение поля [ править ]

Поле это коммутативное кольцо ( F , +, *), в котором 0 ≠ 1 и каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный. Таким образом, в поле мы можем выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Ненулевые элементы поля F образуют абелеву группу при умножении; эта группа обычно обозначается F × ;

Кольцо многочленов от переменной x с коэффициентами из F обозначается F [ x ].

Основные определения [ править ]

Характеристика
Характеристикой является поля F наименьшее целое положительное число n такое, что n · 1 = 0 ; здесь n ·1 означает n слагаемых 1 + 1 + 1 + ... + 1 . Если такого n не существует, мы говорим, что характеристика равна нулю. Каждая ненулевая характеристика является простым числом . Например, рациональные числа , действительные числа и p -адические числа имеют характеристику 0, в то время как конечное поле Zp , где p является простым, имеет характеристику p .
Подполе
Подполе подмножество поля F — это F , замкнутое относительно полевых операций + и * поля F и которое с помощью этих операций образует само поле.
Прайм поле
Простое поле поля F является уникальным наименьшим подполем F .
Поле расширения
Если F является подполем E то E является полем расширения F , . Тогда мы также говорим, что E / F является расширением поля .
Степень расширения
Учитывая расширение E / F , поле E можно рассматривать как векторное пространство над полем F , а размерность этого векторного пространства — это степень расширения, обозначаемая [ E : F ].
Конечное расширение
Конечное расширение — это расширение поля, степень которого конечна.
Алгебраическое расширение
элемент α расширения поля E над F является корнем ненулевого многочлена из [ x ] , то α алгебраичен F. над F Если Если каждый элемент E алгебраичен над F , то E / F является алгебраическим расширением .
Генераторная установка
Учитывая расширение поля E / F и подмножество S поля E , мы пишем F ( S ) для наименьшего подполя поля E которое содержит как F , так и S. , Он состоит из всех элементов E многократно применяя операции +, −, *, / над элементами F и S. , которые можно получить , Если E = F ( S ) , мы говорим, E порождается S над F. что
Примитивный элемент
Элемент α поля расширения E над полем F называется примитивным элементом, если E = F ( α ), наименьшее поле расширения, содержащее α . Такое расширение называется простым расширением .
Разделение поля
Расширение поля, создаваемое полной факторизацией полинома.
Обычное расширение
Расширение поля, созданное путем полной факторизации набора полиномов.
Отделяемое расширение
Расширение, порожденное корнями разделимых многочленов .
Идеальное поле
Поле такое, что каждое конечное расширение сепарабельно. Все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.
Несовершенная степень
Пусть F — поле характеристики p > 0 ; тогда Ф п является подполем. Степень [ F : F п ] называется несовершенной F степенью . Поле F совершенно тогда и только тогда, когда его несовершенная степень равна 1 . Например, если F — функциональное поле n переменных над конечным полем характеристики p > 0 , то его несовершенная степень равна p н . [1]
Алгебраически замкнутое поле
Поле F называется алгебраически замкнутым , если каждый многочлен из F [ x ] имеет корень из F ; эквивалентно: каждый полином из F [ x ] является произведением линейных факторов.
Алгебраическое замыкание
Алгебраическое замыкание поля F — это алгебраическое расширение F , которое является алгебраически замкнутым. Каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и оно уникально с точностью до изоморфизма, фиксирующего F .
трансцендентный
Те элементы поля расширения F , которые не являются алгебраическими над F трансцендентны , над F .
Алгебраически независимые элементы
Элементы поля расширения F над алгебраически независимы F , если они не удовлетворяют никакому ненулевому полиномиальному уравнению с коэффициентами из F .
Степень трансцендентности
Число алгебраически независимых трансцендентных элементов в расширении поля. Он используется для определения размерности алгебраического многообразия .

Гомоморфизмы [ править ]

Полевой гомоморфизм
Гомоморфизм полей между двумя полями E и F — это кольцевой гомоморфизм , т. е. функция
е : Е F
такой, что для всех x , y в E ,
ж ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( у )
ж ( ху ) знак равно ж ( Икс ) ж ( y )
ж (1) = 1.
Для полей E и F из этих свойств следует, что f (0) = 0 , f ( x −1 ) знак равно ж ( Икс ) −1 для x в E × и f инъективно что . Поля вместе с этими гомоморфизмами образуют категорию . Два поля E и F называются изоморфными , если существует биективный гомоморфизм
ж : Е Ж .
Тогда эти два поля идентичны для всех практических целей; однако не обязательно уникальным образом. См., например, Комплексно-сопряженное .

Типы полей [ править ]

Конечное поле
Поле с конечным числом элементов, также известное как поле Галуа .
Заказанное поле
Поле с общим порядком, совместимым с его операциями.
Рациональные числа
Реальные числа
Комплексные числа
Числовое поле
Конечное расширение поля рациональных чисел.
Алгебраические числа
Поле алгебраических чисел — наименьшее алгебраически замкнутое расширение поля рациональных чисел. Их детальные свойства изучаются в алгебраической теории чисел .
Квадратичное поле
Расширение рациональных чисел второй степени.
Циклотомное поле
Расширение рациональных чисел, порождённых корнем из единицы .
Совершенно реальное поле
Числовое поле, созданное корнем многочлена, все корни которого имеют действительные числа.
Формально реальное поле
Настоящее закрытое поле
Глобальное поле
Числовое поле или функциональное поле одной переменной над конечным полем.
Локальное поле
Пополнение некоторого глобального поля ( по простому числу целого кольца).
Заполните поле
Поле, заполненное относительно некоторой оценки.
Псевдоалгебраически замкнутое поле
Поле, в котором каждое многообразие имеет рациональную точку . [2]
Гензельское поле
Поле, удовлетворяющее лемме Гензеля относительно некоторой оценки. Обобщение полных полей.
Гильбертово поле
Поле, удовлетворяющее теореме о неприводимости Гильберта : формально поле, для которого проективная линия не является тонкой в ​​смысле Серра . [3] [4]
Кронекерово поле
Вполне вещественное поле алгебраических чисел или вполне мнимое квадратичное расширение вполне вещественного поля. [5]
CM-поле или J-поле
Поле алгебраических чисел, которое является полностью мнимым квадратичным расширением вполне вещественного поля. [6]
Связанное поле
Поле, над которым ни одна алгебра бикватернионов не является алгеброй с делением . [7]
Поле Фробениуса
Псевдоалгебраически замкнутое поле которого , абсолютная группа Галуа обладает свойством вложения. [8]

Расширения полей [ править ]

Пусть E / F — расширение поля.

Алгебраическое расширение
Расширение, в котором каждый элемент E алгебраичен над F .
Простое расширение
Расширение, создаваемое одним элементом, называемым примитивным элементом или порождающим элементом . [9] Теорема о примитивном элементе классифицирует такие расширения. [10]
Обычное расширение
Расширение, которое разбивает семейство полиномов: каждый корень минимального многочлена элемента E над F также находится в E .
Отделяемое расширение
Алгебраическое расширение, в котором минимальный многочлен каждого элемента E над F является сепарабельным многочленом , то есть имеет различные корни. [11]
Расширение Галуа
Обычное сепарабельное расширение поля.
Основное расширение
Расширение E / F такое, что алгебраическое замыкание F в E чисто неразделимо над F ; эквивалентно, линейно с не пересекается сепарабельным замыканием F E . [12]
Чисто трансцендентальное расширение
Расширение E / F, в котором каждый элемент E , не входящий в F, над F. трансцендентен [13] [14]
Регулярное продление
Расширение E / F такое, что сепарабельно над F и F алгебраически замкнуто в E. E [12]
Простое радикальное расширение
Простое расширение E / F, порожденное одним элементом α, удовлетворяющим α н = b для элемента b из F . В характеристике p расширение с помощью корня полинома Артина–Шрейера . мы также считаем простым радикальным расширением [15]
Радикальное расширение
Башня F = F 0 < F 1 < ⋅⋅⋅ < F k = E , где каждое расширение F i / F i −1 является простым радикальным расширением. [15]
Саморегулярное расширение
Расширение E / F такое, что E FE — область целостности. [16]
Полностью трансцендентальное расширение
Расширение E / F такое, что алгебраически замкнуто в F. F [14]
Выдающийся класс
Класс C расширений полей с тремя свойствами [17]
  1. Если E — C-расширение F и F — C-расширение K , то E — C-расширение K .
  2. Если E и F — C-расширения поля K в общем надполе M , то композит EF является C-расширением K. поля
  3. Если E — C-расширение F и E > K > F , то E — C-расширение K .

Теория Галуа [ править ]

Расширение Галуа
Обычное сепарабельное расширение поля.
группа Галуа
Группа автоморфизмов расширения Галуа. Когда это конечное расширение, это конечная группа, порядок которой равен степени расширения. Группы Галуа для бесконечных расширений являются проконечными группами .
Теория горя
Теория Галуа о получении n-й корней степени при достаточном количестве корней из единицы . Он включает общую теорию квадратичных расширений .
Теория Артина – Шрайера
Охватывает исключительный случай теории Куммера в характеристике p .
Нормальная основа
Базис в смысле векторного пространства L над K , на котором группа Галуа L над K действует транзитивно.
Тензорное произведение полей
Другая основополагающая часть алгебры, включая операцию композитума ( соединение полей).

теории Расширения Галуа

Обратная задача теории Галуа
Учитывая группу G , найдите расширение рационального числа или другого поля с G как группой Галуа.
Дифференциальная теория Галуа
Предмет, в котором группы симметрии дифференциальных уравнений изучаются в традиционных для теории Галуа направлениях. На самом деле это старая идея и одна из причин, побудивших Софуса Ли основать теорию групп Ли . Вероятно, оно еще не достигло окончательной формы.
Теория Галуа Гротендика.
Очень абстрактный подход из алгебраической геометрии , введенный для изучения аналога фундаментальной группы .

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1569104048d8a0863b1dc0cef45b8d1d__1698518820
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/15/1d/1569104048d8a0863b1dc0cef45b8d1d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Glossary of field theory - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)