Псевдоалгебраически замкнутое поле

В математике это область $K$ является псевдоалгебраически замкнутым , если оно удовлетворяет некоторым свойствам, справедливым для алгебраически замкнутых полей . Идея была представлена ​​Джеймсом Аксом в 1967 году.

Формулировка

Поле K является псевдоалгебраически замкнутым (обычно обозначается сокращенно PAC ), если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Каждое абсолютно неприводимое многообразие $V$ определено более $K$ имеет $K$- рациональный момент .
• Для каждого абсолютно неприводимого многочлена $f\in K[T_{1},T_{2},\cdots ,T_{r},X]$ с ${\frac {\partial f}{\partial X}}\not =0$ и для каждого ненулевого $g\in K[T_{1},T_{2},\cdots ,T_{r}]$ существует $({\textbf {a}},b)\in K^{r+1}$ такой, что $f({\textbf {a}},b)=0$ и $g({\textbf {a}})\not =0$.
• Каждый абсолютно неприводимый многочлен $f\in K[T,X]$ имеет бесконечно много $K$-рациональные моменты.
• Если $R$ является конечно порожденной областью целостности над $K$ с полем частных, которое регулярно над $K$, то существует гомоморфизм $h:R\to K$ такой, что $h(a)=a$ для каждого $a\in K$.

Примеры

• Алгебраически замкнутые поля и сепарабельно замкнутые поля всегда являются PAC.
• Псевдоконечные поля и гиперконечные поля — это PAC.
• Неглавное ультрапроизведение различных конечных полей (псевдоконечное и, следовательно, ) ПАК. Акс выводит это из гипотезы Римана для кривых над конечными полями .
• Бесконечные алгебраические расширения конечных полей — это PAC.
• Теорема PAC о нулевом месте . Абсолютная группа Галуа $G$ поля $K$ бесконечно компактно , следовательно, и , следовательно, снабжено нормированной мерой Хаара . Позволять $K$ — счетное гильбертово поле и пусть $e$ быть положительным целым числом . Тогда почти для всех $e$-кортежи $(\sigma _{1},...,\sigma _{e})\in G^{e}$фиксированным полем подгруппы, порожденной автоморфизмами, является PAC. Здесь фраза «почти все» означает «все, кроме набора нулевой меры ». (Этот результат является следствием теоремы Гильберта о неприводимости.)
• Пусть K — максимальное вполне вещественное расширение Галуа рациональных чисел , а i — квадратный корень из −1. Тогда K ( i ) — это PAC.

Свойства

• Группа Брауэра поля PAC тривиальна: поскольку любое многообразие Севери–Брауэра имеет рациональную точку.
• Абсолютная группа Галуа поля PAC является проективной проконечной группой ; эквивалентно, он имеет когомологическую размерность не более 1.
• Поле PAC характеристики нулевой — это C1 .

Ссылки

• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е исправленное изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-77269-9 . Збл   1145.12001 .