Проконечная группа

В математике проконечная группа — топологическая группа , в известном смысле собранная из системы конечных групп .

Идея использования проконечной группы состоит в том, чтобы обеспечить «единообразное» или «синоптическое» представление всей системы конечных групп. Свойства проконечной группы — это, вообще говоря, однородные свойства системы. Например, проконечная группа конечно порождена (как топологическая группа) тогда и только тогда, когда существует $d\in \mathbb {N}$ так что каждая группа в системе может быть создана $d$ элементы. Многие теоремы о конечных группах можно легко обобщить на проконечные группы; примерами являются теорема Лагранжа и теоремы Силова .

Для построения проконечной группы необходима система конечных групп и групповые гомоморфизмы между ними. Без ограничения общности эти гомоморфизмы можно считать сюръективными , и в этом случае конечные группы появятся как факторгруппы полученной проконечной группы; в некотором смысле эти факторы аппроксимируют проконечную группу.

Важными примерами проконечных групп являются группы аддитивные $p$-адические целые числа и группы Галуа бесконечной степени расширений полей .

Всякая проконечная группа компактна и вполне несвязна . Некомпактным обобщением этой концепции являются локально проконечные группы . Еще более общими являются полностью несвязные группы .

Определение

Проконечные группы можно определить одним из двух эквивалентных способов.

Первое определение (конструктивное)

Проконечная группа — это топологическая группа, изоморфная пределу обратной системы конечных дискретных групп обратному . В этом контексте обратная система состоит из направленного множества $(I,\leq ),$ индексированное семейство конечных групп $\{G_{i}:i\in I\},$ каждый из которых имеет дискретную топологию и семейство гомоморфизмов $\{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}$ такой, что $f_{i}^{i}$ это карта идентичности на $G_{i}$ и коллекция удовлетворяет свойству композиции $f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}$ в любое время $i\leq j\leq k.$ Обратным пределом является набор: $$\varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}i\leq j\right\}$$оснащен соответствующей топологией продукта .

Можно также определить обратный предел в терминах универсального свойства . В категориальных терминах это частный случай кофильтрованной предельной конструкции.

Второе определение (аксиоматическое)

Проконечная группа — это компактная и полностью несвязная топологическая группа: то есть топологическая группа, которая также является пространством Стоуна .

Окончательное завершение

Дана произвольная группа $G,$ существует связанная с ним проконечная группа ${\widehat {G}},$ тот окончательное завершение $G.$ Он определяется как обратный предел групп $G/N,$ где $N$ проходит через обычные подгруппы в $G$ конечного индекса (эти нормальные подгруппы частично упорядочены по включению, что приводит к обратной системе естественных гомоморфизмов между факторами).

Существует естественный гомоморфизм $\eta :G\to {\widehat {G}},$ и образ $G$ при этом гомоморфизме плотно в ${\widehat {G}}.$ Гомоморфизм $\eta$ инъективна тогда и только тогда, когда группа $G$ аппроксимируемо конечно (т.е. $\cap N=1,$ где пересечение проходит через все нормальные подгруппы конечного индекса).

Гомоморфизм $\eta$ характеризуется следующим универсальным свойством : для любой проконечной группы $H$ и любой непрерывный групповой гомоморфизм $f:G\rightarrow H$ где $G$ задана наименьшая топология, совместимая с групповыми операциями, в которой ее нормальные подгруппы конечного индекса открыты, существует единственный непрерывный групповой гомоморфизм $g:{\widehat {G}}\rightarrow H$ с $f=g\eta .$

Эквивалентность

Любая группа, построенная по первому определению, удовлетворяет аксиомам второго определения.

И наоборот, любая группа $G$ удовлетворяющий аксиомам второго определения, может быть построен как обратный предел согласно первому определению с использованием обратного предела $\varprojlim G/N$ где $N$ проходит через открытые нормальные подгруппы $G$ упорядочены по (обратному) включению. Если $G$ топологически конечно порождено, то оно, кроме того, равно своему собственному проконечному пополнению.

Сюръективные системы

На практике обратная система конечных групп почти всегда сюръективен , что означает, что все его карты сюръективны. Без ограничения общности достаточно рассматривать только сюръективные системы, поскольку по любой обратной системе можно сначала построить ее проконечную группу. $G,$ а затем реконструировать его как его собственное бесконечное завершение.

Примеры

• Конечные группы являются проконечными, если задана дискретная топология .
• Группа $p$-адические целые числа $\mathbb {Z} _{p}$ при сложении является проконечным (фактически проциклическим ). Это обратный предел конечных групп $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ где $n$ распространяется по всем натуральным числам и натуральным отображениям $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ для $n\geq m.$ Топология этой проконечной группы такая же, как и топология, возникающая из $p$-адическая оценка $\mathbb {Z} _{p}.$
• Группа бесконечных целых чисел ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ это бесконечное завершение $\mathbb {Z} .$ Подробно, это обратный предел конечных групп. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ где $n=1,2,3,\dots$ с картами по модулю $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ для $m\,|\,n.$ Эта группа является произведением всех групп $\mathbb {Z} _{p},$ и это абсолютная группа Галуа любого конечного поля .
• Теория Галуа расширений полей бесконечной степени естественным образом порождает бесконечные группы Галуа. В частности, если $L/K$ является расширением Галуа , рассмотрим группу $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ состоящий из всех полевых автоморфизмов $L$ которые сохраняют все элементы $K$ зафиксированный. Эта группа является обратным пределом конечных групп $\operatorname {Gal} (F/K),$ где $F$ распространяется по всем промежуточным полям так, что $F/K$ является конечным расширением Галуа. Для предельного процесса гомоморфизмы ограничения $\operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)$ используются там, где $F_{2}\subseteq F_{1}.$ Топология, полученная на $\operatorname {Gal} (L/K)$ известна как топология Крулля в честь Вольфганга Крулля . Уотерхаус (1974) показал, что каждая проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа некоторого поля. $K,$ но нельзя (пока) контролировать, какое именно поле $K$ будет в этом случае. Фактически, для многих областей $K$ вообще говоря, неизвестно, какие именно конечные группы встречаются как группы Галуа над $K.$ Это обратная задача Галуа для поля $K.$ (Для некоторых полей $K$ решена обратная задача Галуа, такая как поле рациональных функций одной переменной над комплексными числами.) Не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа поля.
• Этальные фундаментальные группы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, также являются проконечными группами, грубо говоря, потому что алгебра может «видеть» только конечные накрытия алгебраического многообразия . Однако фундаментальные группы , алгебраической топологии как правило, не являются бесконечными: для любой предписанной группы существует двумерный комплекс CW , фундаментальная группа которого равна ей.
• Группа автоморфизмов локально конечного корневого дерева бесконечна.

Свойства и факты

• Каждое произведение (произвольного числа) проконечных групп является проконечным; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией произведения . Обратный предел обратной системы проконечных групп с непрерывными отображениями переходов проконечен, а функтор обратного предела точен на категории проконечных групп. Кроме того, быть бесконечным — это свойство расширения.
• Каждая замкнутая подгруппа проконечной группы сама по себе проконечна; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией подпространства . Если $N$ является замкнутой нормальной подгруппой проконечной группы $G,$ тогда факторная группа $G/N$ является бесконечным; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с фактортопологией .
• Поскольку каждая проконечная группа $G$ компактен по Хаусдорфу, существует мера Хаара на $G,$ что позволяет нам измерить «размер» подмножеств $G,$ вычислять определенные вероятности и интегрировать функции на $G.$
• Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только тогда, когда она замкнута и имеет конечный индекс .
• Согласно теореме Николая Николова и Дэна Сигала , в любой топологически конечно порожденной проконечной группе (т. е. в проконечной группе, имеющей плотную конечно порожденную подгруппу ) подгруппы конечного индекса открыты. Это обобщает более ранний аналогичный результат Жана-Пьера Серра для топологически конечно порожденных про- $p$ группы . Доказательство использует классификацию конечных простых групп .
• Как простое следствие приведенного выше результата Николова–Сигала, любой сюръективный гомоморфизм дискретной группы $\varphi :G\to H$ между многочисленными группами $G$ и $H$ является непрерывным до тех пор, пока $G$ топологически конечно порождена. Действительно, любая открытая подгруппа $H$ имеет конечный индекс, поэтому его прообраз в $G$ также имеет конечный индекс и, следовательно, должен быть открытым.
• Предполагать $G$ и $H$ являются топологически конечно порожденными проконечными группами, которые изоморфны как дискретные группы изоморфизмом $\iota .$ Затем $\iota$ является биективным и непрерывным в силу приведенного выше результата. Более того, $\iota ^{-1}$ также является непрерывным, поэтому $\iota$ является гомеоморфизмом. Поэтому топология топологически конечно порожденной проконечной группы однозначно определяется ее алгебраической структурой.

Инди-конечные группы

Существует понятие инд-конечная группа , которая является концептуальной двойственной к проконечным группам; то есть группа $G$ инд-конечен, если он является прямым пределом индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа .) Обычная терминология другая: группа $G$ называется локально конечной, если каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Фактически это эквивалентно тому, чтобы быть «бесконечным».

Применяя двойственность Понтрягина , можно увидеть, что абелевы проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние представляют собой не что иное, как абелевы периодические группы .

Проективные проконечные группы

Проконечная группа – это проективным, если он обладает подъемным свойством для каждого расширения. Это эквивалентно тому, что $G$ проективен, если для любого сюръективного морфизма из проконечного $H\to G$ есть раздел $G\to H.$

Проективность для проконечной группы $G$ эквивалентно любому из двух свойств:

• когомологическое измерение $\operatorname {cd} (G)\leq 1;$
• для каждого простого числа $p$ Силов $p$-подгруппы $G$ свободны $p$-группы.

Любая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля . Этот результат принадлежит Александру Любоцки и Лу ван ден Дрису .

Проциклическая группа

Пространственная группа $G$ является проциклический, если он топологически порождается одним элементом $\sigma ;$ то есть, если $G={\overline {\langle \sigma \rangle }},$ закрытие подгруппы $\langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.$

Топологическая группа $G$ является проциклическим тогда и только тогда, когда $G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}$ где $p$ колеблется в пределах некоторого набора простых чисел $S$ и $G_{p}$ изоморфен либо $\mathbb {Z} _{p}$ или $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .$

См. также

• завершение Хаусдорфа
• Локально циклическая группа
• Pro -p Группа – тип универсальной группы. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Проконечное целое число
• Остаточная собственность (математика) - концепция теории групп. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Остаточно конечная группа - тип математической группы. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е исправленное изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-77269-9 . Збл   1145.12001 .
• Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах I: сильная полнота и равномерные границы», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 171–238, arXiv : math.GR/0604399 , doi : 10.4007 /анналы.2007.165.171 .
• Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах, II: произведения в квазипростых группах», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 239–273, arXiv : math.GR/0604400 , doi : 10.4007/ анналы.2007.165.239 .
• Ленстра, Хендрик (2003), Profinite Groups (PDF) , доклад, прочитанный в Обервольфахе .
• Любоцкий, Александр (2001), «Рецензия на книгу», Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 475–479, номер документа : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4 . Рецензия на несколько книг о проконечных группах.
• Серр, Жан-Пьер (1994), Когомологии Галуа , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 5 (5-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-58002-7 , МР   1324577 , Збл   0812.12002 . Серр, Жан-Пьер (1997), когомологии Галуа , перевод Патрика Иона, Springer-Verlag , ISBN  3-540-61990-9 , Збл   0902.12004
• Уотерхаус, Уильям К. (1974), «Проконечные группы - это группы Галуа», Proceedings of the American Mathematical Society , 42 (2), American Mathematical Society: 639–640, doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3 , JSTOR   2039560 , Збл   0281.20031 .