Отфильтрованная категория

В теории категорий фильтруемые категории обобщают понятие направленного множества, понимаемого как категория (поэтому называемая направленной категорией; в то время как некоторые используют направленную категорию как синоним фильтруемой категории). Существует двойственное понятие кофильтрованной категории, о котором мы будем помнить ниже.

Отфильтрованные категории

Категория ​ $J$ фильтруется , когда

• оно не пусто,
• за каждые два объекта $j$ и $j'$ в $J$ существует объект $k$ и две стрелы $f:j\to k$ и $f':j'\to k$ в $J$,
• на каждые две параллельные стрелки $u,v:i\to j$ в $J$, существует объект $k$ и стрела $w:j\to k$ такой, что $wu=wv$.

- Фильтрованный копредел это копредел функтора . $F:J\to C$ где $J$ это отфильтрованная категория.

Софильтрованные категории

Категория $J$ фильтруется, если противоположная категория $J^{\mathrm {op} }$ фильтруется. Более подробно, категория подвергается совместной фильтрации, когда

• оно не пусто,
• за каждые два объекта $j$ и $j'$ в $J$ существует объект $k$ и две стрелы $f:k\to j$ и $f':k\to j'$ в $J$,
• на каждые две параллельные стрелки $u,v:j\to i$ в $J$, существует объект $k$ и стрела $w:k\to j$ такой, что $uw=vw$.

Кофильтрованный предел это предел функтора - $F:J\to C$ где $J$ является кофильтрованной категорией.

Инди-объекты и прообъекты

Учитывая небольшую категорию $C$, предпучок множеств $C^{op}\to Set$ то есть небольшой отфильтрованный копредел представимых предпучков, называется инд-объектом категории $C$. Ind-объекты категории $C$ сформировать полную подкатегорию $Ind(C)$ в категории функторов (предпучков) $C^{op}\to Set$. Категория $Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}$ про-объектов в $C$ является противоположностью категории инд-объектов противоположной категории $C^{op}$.

Категории с κ-фильтром

Существует вариант «фильтрованной категории», известный как «κ-фильтрованная категория», определяемый следующим образом. Все начинается со следующего наблюдения: три условия в приведенном выше определении фильтруемой категории говорят соответственно о том, что над любой диаграммой в $J$ формы $\{\ \ \}\rightarrow J$, $\{j\ \ \ j'\}\rightarrow J$, или $\{i\rightrightarrows j\}\rightarrow J$. Оказывается, существование коконусов для этих трех форм диаграмм означает, что коконы существуют для любой конечной диаграммы; другими словами, категория $J$ фильтруется (согласно приведенному выше определению) тогда и только тогда, когда над любой конечной диаграммой существует коконус $d:D\to J$.

Расширяя это, учитывая регулярный кардинал κ, категорию $J$ определяется как κ-фильтрованный, если над каждой диаграммой существует коконус $d$ в $J$ мощности меньше κ. (Маленькая диаграмма имеет мощность κ, если множество морфизмов ее области имеет мощность κ.)

κ-фильтрованный копредел — это копредел функтора $F:J\to C$ где $J$ является κ-фильтрованной категорией.

Ссылки

• Артин М. , Гротендик А. и Вердье Ж.-Л. Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии ( SGA 4 ). Конспект лекций по математике 269, Springer Verlag, 1972. Лекция I, 2.7.
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98403-2 , раздел IX.1.