Ассоциируемо конечная группа

В математической области теории групп группа если G является аппроксимируемо конечной или конечно аппроксимируемой, для каждого элемента g , который не является единицей в G, существует гомоморфизм h из G в конечную группу , такой что

$h(g)\neq 1.\,$

Существует ряд эквивалентных определений:

• Группа аппроксимируемо конечна, если для каждого неединичного элемента в группе существует нормальная подгруппа конечного индекса , не содержащая этот элемент.
• Группа аппроксимируемо конечна тогда и только тогда, когда пересечение всех ее подгрупп конечного индекса тривиально .
• Группа аппроксимируемо конечна тогда и только тогда, когда пересечение всех ее нормальных подгрупп конечного индекса тривиально.
• Группа аппроксимируемо конечна тогда и только тогда, когда ее можно вложить в прямое произведение семейства конечных групп.

Примеры

Примерами групп, которые являются аппроксимируемо конечными, являются конечные группы , свободные группы , конечно порожденные нильпотентные группы , полициклические по конечному группы , конечно порожденные линейные группы и фундаментальные группы компактных 3-многообразий .

Подгруппы аппроксимируемо конечных групп аппроксимируемо конечны, а прямые произведения аппроксимируемо конечных групп аппроксимируемо конечны. Любой обратный предел аппроксимируемо конечных групп аппроксимируемо конечен. В частности, все проконечные группы аппроксимируемо конечны.

Примеры неаппроксимируемых конечных групп можно построить, используя тот факт, что все конечно порожденные аппроксимируемо конечные группы являются хопфовыми группами . Например, группа Баумслага–Солитара B (2,3) не является хопфовой и, следовательно, не является аппроксимируемо конечной.

Проконечная топология

Любую группу G можно превратить в топологическую группу взяв за основу открытых окрестностей единицы совокупность всех нормальных подгрупп конечного индекса в G. , Полученная топология называется проконечной топологией на G . Группа аппроксимируемо конечна тогда и только тогда, когда ее проконечная топология хаусдорфова .

Группа, циклические подгруппы которой замкнуты в проконечной топологии, называется $\Pi _{C}\,$.Группы, каждая из конечно порожденных подгрупп которых замкнута в проконечной топологии, называются отделимыми подгруппами (также LERF для локально расширенных аппроксимируемых конечных точек ).Группа, в которой каждый класс сопряженности замкнут в проконечной топологии, называется сепарабельной по сопряженности .

Многообразия аппроксимируемо конечных групп

Один вопрос: каковы свойства многообразия, все группы которого аппроксимируемо конечны? Два результата по этому поводу:

• Любое многообразие, состоящее только из аппроксимируемых конечных групп, порождается A-группой .
• Любое многообразие, состоящее только из аппроксимируемых конечных групп, содержит конечную группу, все члены которой вложены в прямое произведение этой конечной группы.

См. также

• Остаточная собственность (математика)

Внешние ссылки

• Статья с доказательством некоторых из вышеперечисленных утверждений