группа Хопфа
В математике группа Хопфа — это группа G , для которой каждый эпиморфизм
- G → G
является изоморфизмом . Эквивалентно, группа является хопфовой тогда и только тогда, когда она не изоморфна ни одному из своих собственных факторов . [1]
Группа G называется кохопфовой, если каждый мономорфизм
- G → G
является изоморфизмом. Эквивалентно, G не изоморфна ни одной из своих собственных подгрупп .
групп Примеры Хопфа
- Каждая конечная группа по элементарному счетному аргументу.
- В более общем смысле, любая полициклическая группа .
- Любая конечно порожденная свободная группа .
- Аддитивная группа Q рациональных чисел .
- Любая конечно порожденная аппроксимируемо конечная группа .
- Любая словесно-гиперболическая группа .
Примеры нехопфовых групп [ править ]
- Квазициклические группы .
- Аддитивная группа R действительных чисел . [2]
- Группа Баумслага –Солитара Б (2,3). (В общем случае B ( m , n ) нехопфово тогда и только тогда, когда существуют простые числа p , q такие, что p | m , q | n и p ∤ n , q ∤ m ) [3]
Свойства [ править ]
показал Коллинз (1969) , является ли группа хопфовой, является неразрешимой проблемой определить , что при конечном представлении группы . В отличие от неразрешимости многих свойств групп, это не является следствием теоремы Адяна-Рабина , поскольку Хопфичность не является марковским свойством , как было показано Миллером и Шуппом (1971) .
Ссылки [ править ]
- ^ Флориан Буайе. «Определение 7.6.». Презентация групп (PDF) . Университет Уорика.
Группа G нехопфова, если существует 1 ≠ N ◃ G такая, что G/N ≅ G
- ^ Кларк, Пит Л. (17 февраля 2012 г.). «Всегда ли можно найти такой сюръективный эндоморфизм групп, который не был бы инъективным?» . Математический обмен стеками .
Это связано с тем, что ( R ,+) не имеет кручения и делим, а значит, является Q -векторным пространством. Итак, поскольку каждое векторное пространство имеет базис, согласно аксиоме выбора, оно изоморфно прямой сумме копий ( Q ,+), индексированных набором континуальной мощности. Это проясняет свойство Хопфа.
- ^ Флориан Буайе. «Теорема 7.7.». Презентация групп (PDF) . Университет Уорика.
- Коллинз, диджей (1969). «О распознавании групп Хопфа». Архив математики . 20 (3): 235–240. дои : 10.1007/BF01899291 . S2CID 119354919 .
- Джонсон, Д.Л. (1990). Презентации групп . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 15. Издательство Кембриджского университета . п. 35. ISBN 0-521-37203-8 .
- Миллер, CF; Шупп, ЧП (1971). «Вложения в группы хопфа». Журнал алгебры . 17 (2): 171. doi : 10.1016/0021-8693(71)90028-7 .
Внешние ссылки [ править ]
 | Эта теории групп статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |