Кохопфианская группа

В математическом предмете теории групп ко -хопфова группа — это группа , которая не изоморфна ни одной из своих собственных подгрупп . Это понятие двойственно понятию группы Хопфа , названной в честь Хайнца Хопфа . ^[1]

Формальное определение [ править ]

Группа G называется кохопфовой, если всякий раз, когда $\varphi :G\to G$ является гомоморфизмом инъективной группы , то $\varphi$ является сюръективным , то есть $\varphi (G)=G$ . ^[2]

Примеры и не примеры [ править ]

Любая конечная группа G кохопфова.
Бесконечная циклическая группа $\mathbb {Z}$ не является кохопфовым, поскольку $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,f(n)=2n$ является инъективным, но несюръективным гомоморфизмом.
Аддитивная группа действительных чисел $\mathbb {R}$ не является кохопфовым, поскольку $\mathbb {R}$ представляет собой бесконечномерное векторное пространство над $\mathbb {Q}$ и поэтому как группа $\mathbb {R} \cong \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ . ^[2]
Аддитивная группа рациональных чисел $\mathbb {Q}$ и факторгруппа $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ являются кохопфовыми. ^[2]
Мультипликативная группа $\mathbb {Q} ^{\ast }$ ненулевых рациональных чисел не является кохопфовым, поскольку отображение $\mathbb {Q} ^{\ast }\to \mathbb {Q} ^{\ast },q\mapsto \operatorname {sign} (q)\,q^{2}$ является инъективным, но несюръективным гомоморфизмом. ^[2] Таким же образом группа $\mathbb {Q} _{+}^{\ast }$ положительных рациональных чисел не является кохопфовым.
Мультипликативная группа $\mathbb {C} ^{\ast }$ ненулевых комплексных чисел не является кохопфовым. ^[2]
Для каждого $n\geq 1$ свободная абелева группа $\mathbb {Z} ^{n}$ не является ко-хопфовым. ^[2]
Для каждого $n\geq 1$ бесплатная группа $F_{n}$ не является ко-хопфовым. ^[2]
Существует конечно порожденная неэлементарная (т. е. не виртуально циклическая) практически свободная группа , которая является кохопфовой. Таким образом, подгруппа конечного индекса в конечно порожденной кохопфовой группе не обязательно должна быть кохопфовой, и то, что она кохопфова, не является инвариантом квазиизометрии для конечно порожденных групп. ^[3]
Группы Баумслага – Солитара $BS(1,m)$ , где $m\geq 1$ , не являются кохопфовыми. ^[4]
Если G — фундаментальная группа замкнутого асферического многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой (или с ненулевым симплициальным объёмом или ненулевым L ²-число Бетти ), то G кохопфинова. ^[5]
Если G — фундаментальная группа замкнутого связного ориентированного неприводимого 3-многообразия M , то G является кохопфовым тогда и только тогда, когда никакое конечное покрытие M не является расслоением тора над окружностью или произведением окружности и замкнутой поверхности. ^[6]
Если G — неприводимая решетка в вещественной полупростой группе Ли и G не является практически свободной группой, то G кохопфова. ^[7] Например, этот факт относится к группе $SL(n,\mathbb {Z} )$ для $n\geq 3$ .
Если G — односторонняя словесная гиперболическая группа без кручения , то G является кохопфовой по результату Селы . ^[8]
Если G — фундаментальная группа полного гладкого риманова n -многообразия конечного объема (где n > 2) суженной отрицательной кривизны, то G ко-хопфова. ^[9]
Группа классов отображений замкнутой гиперболической поверхности кохопфова. ^[10]
Группа Out( F _n ) (где n >2) является кохопфовой. ^[11]
Дельзант и Полягайло дали характеристику кохопфичности для геометрически конечных клейновых групп изометрий $\mathbb {H} ^{n}$ без 2-торсиона. ^[12]
Прямоугольная группа Артина $A(\Gamma )$ (где $\Gamma$ — конечный непустой граф) не является кохопфовым; отправляя каждый стандартный генератор $A(\Gamma )$ к власти $>1$ определяет и эндоморфизм $A(\Gamma )$ которое является инъективным, но не сюръективным. ^[13]
без кручения Конечно порожденная нильпотентная группа G может быть либо кохопфовой, либо не кохопфовой, в зависимости от свойств ассоциированной с ней рациональной алгебры Ли . ^[5]^[3]
Если G — относительно гиперболическая группа и $\varphi :G\to G$ является инъективным, но несюръективным эндоморфизмом группы G , то либо $\varphi ^{k}(G)$ является параболической для некоторого k > 1 или G распадается над практически циклической или параболической подгруппой. ^[14]
Группа Григорчука G промежуточного роста не является кохопфовой. ^[15]
Группа Томпсона F не является кохопфовой. ^[16]
Существует конечно порожденная группа G, которая не является кохопфовой, но обладает свойством Каждана (T) . ^[17]
Если G Хигмана, - универсальная конечно представленная группа то G не является кохопфовой, и G не может быть вложена в конечно порожденную рекурсивно представленную кохопфову группу. ^[18]

Обобщения и родственные понятия [ править ]

Группа G называется конечно кохопфовой. ^[19] если когда-нибудь $\varphi :G\to G$ является инъективным эндоморфизмом, образ которого имеет конечный индекс в G , то $\varphi (G)=G$ . Например, для $n\geq 2$ бесплатная группа $F_{n}$ не является кохопфовым, но конечно кохопфовым.
Конечно порожденная группа G называется масштабно-инвариантной, если существует вложенная последовательность подгрупп конечного индекса группы G , каждая из которых изоморфна G и пересечение которых является конечной группой. ^[4]
Группа G называется дискогопфовой. ^[3] если существует инъективный эндоморфизм $\varphi :G\to G$ такой, что $\bigcap _{n=1}^{\infty }\varphi ^{n}(G)=\{1\}$ .
В грубой геометрии метрическое пространство X называется квазиизометрически ко-Хопфовым, если каждое квазиизометрическое вложение $f:X\to X$ является грубо сюръективным (т.е. является квазиизометрией). Аналогично X называется грубо кохопфовым, если каждое грубое вложение $f:X\to X$ является грубо сюръективным. ^[20]
В метрической геометрии метрическое пространство K называется квазисимметрично ко-Хопфовым, если каждое квазисимметричное вложение $K\to K$ включен. ^[21]

См. также [ править ]

объект Хопфа

Ссылки [ править ]

^ Вильгельм Магнус , Авраам Каррасс, Дональд Солитар, Комбинаторная теория групп. Представления групп с точки зрения генераторов и отношений , Перепечатка второго издания 1976 года, Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43830-9
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г П. де ла Арп, Вопросы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN 0-226-31719-6 ; п. 58
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ив Корнюлье, Градировки на алгебрах Ли, систолический рост и кохопфовы свойства нильпотентных групп . Бюллетень Математического общества Франции 144 (2016), вып. 4, с. 693–744
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Владимир Некрашевич, Габор Пит, Масштабно-инвариантные группы . Группы, геометрия и динамика 5 (2011), вып. 1, стр. 139–167.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Игорь Белеградек, О кохопфовых нильпотентных группах . Бюллетень Лондонского математического общества 35 (2003), вып. 6, стр. 805–811.
^ Ши Ченг Ван и Ин Цин Ву, Накрывающие инварианты и кохопфичность групп трехмерных многообразий. Труды Лондонского математического общества 68 (1994), вып. 1, стр. 203–224.
^ Гопал Прасад Дискретные подгруппы, изоморфные решеткам в полупростых группах Ли . Американский журнал математики 98 (1976), вып. 1, 241–261
^ Злил Села , Структура и жесткость в (Громовских) гиперболических группах и дискретных группах в группах Ли ранга 1. II. Геометрический и функциональный анализ 7 (1997), вып. 3, стр. 561–593.
^ И. Белеградек, О жесткости Мостова при переменной отрицательной кривизне . Топология 41 (2002), вып. 2, стр. 341–361.
^ Николай Иванов и Джон Маккарти, Об инъективных гомоморфизмах между модулярными группами Тейхмюллера. I. Inventiones Mathematicae 135 (1999), вып. 2, стр. 425–486.
^ Бенсон Фарб и Майкл Гендель, Соизмерения Out( F _n ) , Publications Mathématiques de l’IHÉS 105 (2007), стр. 1–48
^ Томас Дельзант и Леонид Потягайло, Эндоморфизмы клейновых групп . Геометрический и функциональный анализ 13 (2003), вып. 2, стр. 396–436.
^ Монтсеррат Казальс-Руис, Вложимость и квазиизометрическая классификация частично коммутативных групп . Алгебраическая и геометрическая топология 16 (2016), вып. 1, 597–620
^ Корнелия Друцу и Марк Сапир , Группы, действующие в древовидных пространствах, и расщепления относительно гиперболических групп . Достижения в математике 217 (2008), вып. 3, стр. 1313–1367.
^ Igor Lysënok, A set of defining relations for the Grigorchuk group. (in Russian) Matematicheskie Zametki 38 (1985), no. 4, 503–516
^ Бронлин Вассинк, Подгруппы группы Р. Томпсона F, изоморфные F. Группы, Сложность, Криптология 3 (2011), вып. 2, 239–256
^ Янн Оливье и Дэниел Уайз , Группы Каждана с бесконечной внешней группой автоморфизмов . Труды Американского математического общества 359 (2007), вып. 5, стр. 1959–1976 гг.
^ Чарльз Ф. Миллер и Пол Шупп , Вложения в группы Хопфа . Журнал алгебры 17 (1971), стр. 171–176.
^ Мартин Бридсон , Дэниел Гроувс, Джонатан Хиллман, Гавен Мартин , Коконечные группы Хопфа, открытые отображения и дополнения к узлам. Группы, геометрия и динамика 4 (2010), вып. 4, стр. 693–707.
^ Илья Капович и Антон Лукьяненко, Квазиизометрическая кохопфичность неоднородных решеток в полупростых группах Ли ранга один. Конформная геометрия и динамика 16 (2012), стр. 269–282.
^ Сергей Меренков, Ковер Серпинского с кохопфовым свойством . Inventiones Mathematicae 180 (2010), вып. 2, стр. 361–388.

Дальнейшее чтение [ править ]

К. Варадараджан, Хопфовы и ко-хопфовы объекты , Mathematical Publications 36 (1992), вып. 1, стр. 293–317

[1] Вильгельм Магнус , Авраам Каррасс, Дональд Солитар, Комбинаторная теория групп. Представления групп с точки зрения генераторов и отношений , Перепечатка второго издания 1976 года, Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43830-9

[DLH-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г П. де ла Арп, Вопросы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 2000. ISBN 0-226-31719-6 ; п. 58

[COR-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ив Корнюлье, Градировки на алгебрах Ли, систолический рост и кохопфовы свойства нильпотентных групп . Бюллетень Математического общества Франции 144 (2016), вып. 4, с. 693–744

[NP-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Владимир Некрашевич, Габор Пит, Масштабно-инвариантные группы . Группы, геометрия и динамика 5 (2011), вып. 1, стр. 139–167.

[B-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Игорь Белеградек, О кохопфовых нильпотентных группах . Бюллетень Лондонского математического общества 35 (2003), вып. 6, стр. 805–811.

[6] Ши Ченг Ван и Ин Цин Ву, Накрывающие инварианты и кохопфичность групп трехмерных многообразий. Труды Лондонского математического общества 68 (1994), вып. 1, стр. 203–224.

[7] Гопал Прасад Дискретные подгруппы, изоморфные решеткам в полупростых группах Ли . Американский журнал математики 98 (1976), вып. 1, 241–261

[8] Злил Села , Структура и жесткость в (Громовских) гиперболических группах и дискретных группах в группах Ли ранга 1. II. Геометрический и функциональный анализ 7 (1997), вып. 3, стр. 561–593.

[9] И. Белеградек, О жесткости Мостова при переменной отрицательной кривизне . Топология 41 (2002), вып. 2, стр. 341–361.

[10] Николай Иванов и Джон Маккарти, Об инъективных гомоморфизмах между модулярными группами Тейхмюллера. I. Inventiones Mathematicae 135 (1999), вып. 2, стр. 425–486.

[11] Бенсон Фарб и Майкл Гендель, Соизмерения Out( F _n ) , Publications Mathématiques de l’IHÉS 105 (2007), стр. 1–48

[12] Томас Дельзант и Леонид Потягайло, Эндоморфизмы клейновых групп . Геометрический и функциональный анализ 13 (2003), вып. 2, стр. 396–436.

[13] Монтсеррат Казальс-Руис, Вложимость и квазиизометрическая классификация частично коммутативных групп . Алгебраическая и геометрическая топология 16 (2016), вып. 1, 597–620

[14] Корнелия Друцу и Марк Сапир , Группы, действующие в древовидных пространствах, и расщепления относительно гиперболических групп . Достижения в математике 217 (2008), вып. 3, стр. 1313–1367.

[15] Igor Lysënok, A set of defining relations for the Grigorchuk group. (in Russian) Matematicheskie Zametki 38 (1985), no. 4, 503–516

[16] Бронлин Вассинк, Подгруппы группы Р. Томпсона F, изоморфные F. Группы, Сложность, Криптология 3 (2011), вып. 2, 239–256

[17] Янн Оливье и Дэниел Уайз , Группы Каждана с бесконечной внешней группой автоморфизмов . Труды Американского математического общества 359 (2007), вып. 5, стр. 1959–1976 гг.

[18] Чарльз Ф. Миллер и Пол Шупп , Вложения в группы Хопфа . Журнал алгебры 17 (1971), стр. 171–176.

[19] Мартин Бридсон , Дэниел Гроувс, Джонатан Хиллман, Гавен Мартин , Коконечные группы Хопфа, открытые отображения и дополнения к узлам. Группы, геометрия и динамика 4 (2010), вып. 4, стр. 693–707.

[20] Илья Капович и Антон Лукьяненко, Квазиизометрическая кохопфичность неоднородных решеток в полупростых группах Ли ранга один. Конформная геометрия и динамика 16 (2012), стр. 269–282.

[21] Сергей Меренков, Ковер Серпинского с кохопфовым свойством . Inventiones Mathematicae 180 (2010), вып. 2, стр. 361–388.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]