Теорема вложения Хигмана

Не путать с универсальной теоремой вложения .

В теории групп теорема вложения Хигмана утверждает, что каждая порожденная рекурсивно представленная группа R может быть вложена как подгруппа некоторой конечно представленной группы G. конечно Это результат Грэма Хигмана 1960-х годов.

С другой стороны, это простая теорема о том, что каждая конечно порожденная подгруппа конечно представленной группы рекурсивно представлена, поэтому рекурсивно представленные конечно порожденные группы являются (с точностью до изоморфизма) в точности конечно порожденными подгруппами конечно представленных групп.

Поскольку каждая счетная группа является подгруппой конечно порожденной группы, теорему можно переформулировать для этих групп.

Как следствие , существует универсальная конечно представимая группа , которая содержит все конечно представимые группы в качестве подгрупп (с точностью до изоморфизма); на самом деле, ее конечно порожденные подгруппы являются в точности конечно порожденными рекурсивно представленными группами (опять же с точностью до изоморфизма).

Из теоремы вложения Хигмана также следует теорема Новикова-Буна (первоначально доказанная в 1950-х годах другими методами) о существовании конечно представленной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой слов . Действительно, довольно легко построить конечно порожденную рекурсивно представленную группу с неразрешимой проблемой слов. Тогда любая конечно определимая группа, содержащая эту группу в качестве подгруппы, также будет иметь неразрешимую проблему слов.

Обычное доказательство теоремы использует последовательность расширений HNN, начинающуюся с R и заканчивающуюся группой G , представление которой, как можно показать, имеет конечное представление.