Выход( F _н )

В математике — Out( Fn _с ) внешняя автоморфизмов группы свободной образующими n группа . Эти группы играют важную роль в геометрической теории групп .

Структура

Карта абелианизации $F_{n}\to \mathbb {Z} ^{n}$ индуцирует гомоморфизм из $\mathrm {Out} (F_{n})$ к общей линейной группе $\mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ , последняя является автоморфизмов группой $\mathbb {Z} ^{n}$ . Эта карта включена, что делает $\mathrm {Out} (F_{n})$ расширение группы ,

1\to \mathrm {Tor} (F_{n})\to \mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 1

.

Ядро $\mathrm {Tor} (F_{n})$ представляет собой Торелли группу $F_{n}$ .

В случае $n=2$ , карта $\mathrm {Out} (F_{n})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )$ является изоморфизмом .

Аналогия с отображением групп классов

Потому что $F_{n}$ — фундаментальная группа букета из n кругов , $\mathrm {Out} (F_{n})$ может быть описана топологически как группа классов отображений букета из n окружностей (в гомотопической категории ), по аналогии с группой классов отображений замкнутой поверхности , которая изоморфна внешней группе автоморфизмов фундаментальной группы этой поверхности.

Космическое пространство

Out( F _n ) действует геометрически на комплекс ячеек, известный как космическое пространство Каллера – Фогтмана , которое можно рассматривать как пространство Тейхмюллера для букета кругов .

Определение

Точка космического пространства по существу представляет собой $\mathbb {R}$ -граф X гомотопически эквивалентен букету из n некоторым выбором свободного гомотопического класса гомотопической эквивалентности X окружностей вместе с букету из n окружностей. Ан $\mathbb {R}$ -граф — это просто взвешенный граф с весами в $\mathbb {R}$ . Сумма всех весов должна быть равна 1, и все веса должны быть положительными. Кроме того, чтобы избежать двусмысленности (и получить конечномерное пространство), требуется, чтобы валентность каждой вершины была не менее 3.

Более описательный взгляд, позволяющий избежать гомотопической эквивалентности f, заключается в следующем. Мы можем зафиксировать отождествление фундаментальной группы букета из n кругов со свободной группой $F_{n}$ в n переменных. Более того, мы можем выбрать максимальное дерево в X и выбрать для каждого оставшегося ребра направление. Теперь мы присвоим каждому оставшемуся ребру e слово в $F_{n}$ следующим образом. Рассмотрим замкнутый путь, начинающийся с e и затем возвращающийся к началу e в максимальном дереве. Составив этот путь с помощью f, мы получаем замкнутый путь в букете из n кругов и, следовательно, элемент в его фундаментальной группе. $F_{n}$ . Этот элемент не очень четко определен; если мы заменим f на свободную гомотопию, мы получим другой элемент. Оказывается, эти два элемента сопряжены друг с другом, и, следовательно, мы можем выбрать единственный циклически приведенный элемент в этом классе сопряженности. По этим данным можно восстановить свободный гомотопический тип f . Преимущество этого подхода состоит в том, что он позволяет избежать дополнительного выбора f , а недостаток заключается в том, что возникает дополнительная неоднозначность, поскольку необходимо выбрать максимальное дерево и ориентацию остальных ребер.

Действие Out( Fn _{) в} космическом пространстве определяется следующим образом. Каждый g автоморфизм $F_{n}$ индуцирует самогомотопическую эквивалентность g' букета из n кругов. Соединение f с g' дает желаемое действие. А в другой модели это просто применение g и циклическое сокращение полученного слова.

Подключение к функциям длины

Каждая точка космического пространства определяет уникальную функцию длины. $l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R}$ . Слово в $F_{n}$ определяет посредством выбранной гомотопической эквивалентности замкнутый путь в X . Тогда длина слова равна минимальной длине пути в свободном гомотопическом классе этого замкнутого пути. Такая функция длины постоянна на каждом классе сопряженности. Задание $X\mapsto l_{X}$ определяет вложение космического пространства в некоторое бесконечномерное проективное пространство.

Простая структура в космическом пространстве

Во второй модели открытый симплекс задается всеми теми $\mathbb {R}$ -графы, которые имеют комбинаторно один и тот же базовый граф и одинаковые ребра, помечены одними и теми же словами (только длина ребер может отличаться). Граничные симплексы такого симплекса состоят из всех графов, возникающих из этого графа схлопыванием ребра. Если это ребро является петлей, его нельзя свернуть без изменения гомотопического типа графа. Следовательно, граничного симплекса нет. Таким образом, можно думать о космическом пространстве как о симплициальном комплексе, из которого удалены некоторые симплексы. Легко проверить, что действие $\mathrm {Out} (F_{n})$ симплициален и имеет конечные группы изотропии.

См. также

Ссылки

Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF) . Математические изобретения . 84 (1): 91–119. дои : 10.1007/BF01388734 . МР 0830040 .
Фогтманн, Карен (2002). «Автоморфизмы свободных групп и космического пространства» (PDF) . Геометрии посвященные . 94 : 1–31. дои : 10.1023/А:1020973910646 . МР 1950871 .
Фогтманн, Карен (2008), «Что такое… космическое пространство?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (7): 784–786, MR 2436509.