Карта железнодорожных путей

В математическом предмете геометрической теории групп карта железнодорожных путей представляет собой непрерывное отображение f конечного связного графа в самого себя, которое является гомотопической эквивалентностью и обладает особенно хорошими свойствами сокращения по отношению к итерациям. Эта карта отправляет вершины в вершины, а ребра в нетривиальные пути ребер со свойством, что для каждого ребра e графа и для каждого положительного целого числа n путь f ^н( e ) погружено , то есть f ^н( e ) локально инъективен на e . Карты железнодорожных путей являются ключевым инструментом в анализе динамики автоморфизмов конечно порожденных свободных групп и в исследовании Каллера – Фогтмана космического пространства .

История

Карты железнодорожных путей для автоморфизмов свободных групп были представлены в статье Бествины и Генделя 1992 года. ^[1] Идея была мотивирована Терстоном железнодорожными путями на поверхностях, но случай свободной группы существенно отличается и более сложен. В своей статье 1992 года Бествина и Гендель доказали, что каждый неприводимый автоморфизм F _n имеет представителя в виде поезда. В той же статье они ввели понятие относительного железнодорожного пути и применили методы железнодорожного пути для решения ^[1] гипотеза Скотта , которая утверждает, что для любого автоморфизма α конечно порожденной свободной группы Fn _{свободна} фиксированная подгруппа в α от ранга не выше n . В последующей статье ^[2] Бествина и Гендель применили технику железнодорожных путей, чтобы получить эффективное доказательство классификации Терстона гомеоморфизмов компактных поверхностей (с краем или без него), в которой говорится, что каждый такой гомеоморфизм с точностью до изотопии либо приводим, либо имеет конечный порядок, либо псевдоаносов .

изучении алгебраических, геометрических и динамических свойств автоморфизмов свободных групп и подгрупп Out( Fn _{С тех пор железнодорожные пути стали стандартным инструментом при} ). Железнодорожные пути особенно полезны, поскольку они позволяют понять долгосрочный рост (с точки зрения длины) и поведение отмены для больших итераций автоморфизма F _n, примененного к конкретному классу сопряженности в F _n . Эта информация особенно полезна при изучении динамики действия элементов Out( F _n ) на космическое пространство Каллера–Фогтмана и его границу, а также при изучении действий F _n на реальных деревьях . ^[3]^[4]^[5] Примеры применения железнодорожных путей включают: теорему Бринкмана. ^[6] доказательство того, что для автоморфизма α группы F _n группа тора отображения α является словесно-гиперболической тогда и только тогда, когда α не имеет периодических классов сопряженности; теорема Бридсона и Гроувса ^[7] для каждого автоморфизма α группы Fn _; группа тора отображения α удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству что доказательство алгоритмической разрешимости проблемы сопряженности свободных циклических групп; ^[8] и другие.

Железнодорожные пути были ключевым инструментом в доказательстве Бествины, Фейна и Генделя того, что группа Out( F _n ) удовлетворяет альтернативе Титса . ^[9]^[10]

Механизм железнодорожных путей для инъективных эндоморфизмов свободных групп был позже разработан Диксом и Вентурой. ^[11]

Формальное определение

Комбинаторная карта

Для конечного графа Γ (который здесь рассматривается как одномерный клеточный комплекс ) комбинаторное отображение является непрерывным отображением

е : Γ → Γ

такой, что:

Карта f переносит вершины в вершины.
Для каждого ребра e графа Γ его образ f ( e ) представляет собой нетривиальный путь ребра e ₁ ... em _{-го ребра} в Γ , где m ≥ 1. Более того, e можно разбить на m интервалов так, что внутренность i Γ интервал отображается с помощью f гомеоморфно во внутреннюю часть ребра e _i для i = 1,..., m .

Карта железнодорожных путей

Пусть Γ — конечный связный граф. Комбинаторное отображение f : Γ → Γ называется отображением железнодорожных путей , если для каждого ребра e графа Γ и любого целого числа n ≥ 1 путь ребра f ^н( e ) не содержит обратных путей, то есть не содержит подпутей формы hh ⁻¹ где h — ребро Γ . Другими словами, ограничение f ^н в e является локально инъективным (или погружением) для любого ребра e и любого n ≥ 1.

Применительно к случаю n = 1 это определение подразумевает, в частности, что путь f ( e ) не имеет обратных путей.

Топологический представитель

Пусть Fk _— конечного свободная группа k ≥ 2. Зафиксируем свободный базис A группы Fk _{окружностей ,} и отождествление Fk _. с фундаментальной группой розы , Rk _ранга которая представляет собой совокупность k соответствующих базисным элементам группы Fk А.

Пусть φ ∈ Out( F _k ) — внешний автоморфизм F _k .

Топологическим представителем φ : является тройка ( τ , Γ , f ), где

Γ — конечный связный граф с первым Бетти k (так что фундаментальная группа Γ числом свободна от ранга k ).
τ : Rk _τ → Γ — гомотопическая эквивалентность (что в данном случае означает, что — непрерывное отображение, индуцирующее изоморфизм на уровне фундаментальных групп).
f : Γ → Γ — комбинаторное отображение, которое также является гомотопической эквивалентностью.
Если σ : Γ → Rk _, — гомотопическая обратная к τ то композиция

σfτ : Rk → Rk

индуцирует автоморфизм F _k = π ₁ ( R _k ), класс внешнего автоморфизма которого равен φ .

Отображение τ в приведенном выше определении называется маркировкой и обычно не упоминается при обсуждении топологических представителей. Таким образом, злоупотребляя обозначениями, часто говорят, что в приведенной выше ситуации f : Γ → Γ является топологическим представителем φ .

Представитель железнодорожных путей

Пусть φ ∈ Out( F _k ) — внешний автоморфизм F _k . Карта железнодорожных путей, которая является топологическим представителем φ, представителем железнодорожных путей φ называется .

Законные и незаконные повороты

Пусть f : Γ → Γ — комбинаторное отображение. Поворотом (не обязательно различных) , называется неупорядоченная пара e , h ориентированных ребер графа Γ имеющих общую начальную вершину. Ход e , h вырожден , если e = h, и невырожден в противном случае.

Поворот e , h незаконен , если для некоторого n ≥ 1 пути f ^н( е ) и е ^н( h ) имеют нетривиальный общий начальный отрезок (т. е. начинаются с одного и того же ребра). Поворот является законным, если он не является незаконным .

реберный путь e ₁ ,..., em _чтоГоворят, содержит повороты e _i⁻¹, e _{i +1} для i = 1,..., m −1.

Комбинаторное отображение f : Γ → Γ является отображением железнодорожных путей тогда и только тогда, когда для каждого ребра e пути Γ путь f ( e ) не содержит незаконных поворотов.

Производная карта

Пусть f : Γ → Γ — комбинаторное отображение и пусть E — множество ориентированных ребер Γ . Тогда f определяет свою производную карту Df : E → E , где для каждого ребра e Df ( e ) является начальным ребром пути f ( e ). Отображение Df естественным образом продолжается до отображения Df : T → T , где T — множество всех поворотов в Γ . Для поворота t, заданного парой ребер e , h , его образ Df ( t ) — это поворот Df ( e ), Df ( h ). Ход t является законным тогда и только тогда, когда для каждого n ≥ 1 ход ( Df ) ^н( t ) невырожден. Поскольку множество T поворотов конечно, этот факт позволяет алгоритмически определить, является ли данный поворот законным или нет, и, следовательно, алгоритмически решить, учитывая f , является ли f картой железнодорожных путей.

Примеры

Пусть φ — автоморфизм F ( a , b ), заданный формулой φ ( a ) = b , φ ( b ) = ab . Пусть Γ — клин из двух ребер-петлей E _a и E _b, соответствующих свободным базисным элементам a и b , заклиненных в вершине v . Пусть f : Γ → Γ — отображение, которое фиксирует v и отправляет ребро E _a в E _b и которое отправляет ребро E _b на путь ребра E _a E _b .Тогда f представляет собой железнодорожный путь для φ .

Основной результат для неприводимых автоморфизмов

Неприводимые автоморфизмы

Внешний автоморфизм φ группы F _k называется приводимым, если существует разложение свободного произведения

F_{k}=H_{1}\ast \dots H_{m}\ast U

где все H _i нетривиальны, где m ≥ 1 и где φ переставляет классы сопряженности H ₁ ,..., H _m в F _k . Внешний автоморфизм φ группы F _k называется неприводимым , если он неприводим.

Известно ^[1] что φ ∈ Out( F _k ) неприводим тогда и только тогда, когда для каждого топологического представителя f : Γ → Γ графа φ , где Γ конечен, связен и не имеет вершин степени один, любой собственный f -инвариантный подграф Γ является лесом.

Теорема Бествины–Генделя для неприводимых автоморфизмов.

Следующий результат был получен Бествиной и Генделем в их статье 1992 года. ^[1] где изначально были представлены карты железнодорожных путей:

Пусть φ ∈ Out( Fk ₎ неприводима. Тогда существует железнодорожный путь, представляющий φ .

Эскиз доказательства

Для топологического представителя f : Γ → Γ автоморфизма φ группы Fk ₎ матрица перехода M ( f представляет собой матрицу размера r x r (где r — количество топологических ребер Γ ), где запись m _ij — это количество раз путь f ( e _j ) проходит через ребро e _i (в любом направлении). Если φ неприводима, матрица перехода M ( f ) неприводима в смысле теоремы Перрона – Фробениуса и имеет единственное собственное значение Перрона – Фробениуса λ ( f ) ≥ 1, которое равно спектральному радиусу M ( f ). .

Затем определяется ряд различных ходов топологических представителей φ, которые, как видно, либо уменьшают, либо сохраняют собственное значение Перрона – Фробениуса матрицы перехода. Эти ходы включают в себя: разделение края; гомотопия валентности один (избавление от вершины степени один); гомотопия второй валентности (избавление от вершины второй степени); схлопывание инвариантного леса; и складной. Из этих ходов гомотопия с единицей валентности всегда уменьшала собственное значение Перрона – Фробениуса.

Начиная с некоторого топологического представителя f неприводимого автоморфизма φ , затем алгоритмически строится последовательность топологических представителей

ж знак равно ж ₁ , ж ₂ , ж ₃ ,...

φ , где f _n получается из f _{n −1} несколькими специально выбранными ходами. В этой последовательности, если f _n не является отображением железнодорожных путей, то ходы, производящие f _{n +1} из f _n, обязательно включают в себя последовательность складок, за которой следует гомотопия с единицей валентности, так что собственное значение Перрона – Фробениуса f _{n + 1} строго меньше, чем у f _n . Процесс устроен таким образом, что собственные значения Перрона–Фробениуса отображений f _n принимают значения в дискретном подмножестве $\mathbb {R}$ . Это гарантирует, что процесс завершится за конечное число шагов, а последний член f _N последовательности будет представлять собой железнодорожный путь, представляющий φ .

Приложения для роста

Следствием (требующим дополнительных рассуждений) из приведенной выше теоремы является следующее: ^[1]

Если φ ∈ Out( F _k ) неприводима, то собственное значение Перрона–Фробениуса λ ( f ) не зависит от выбора представителя f железнодорожного пути для φ, но однозначно определяется самой φ и обозначается λ ( φ ). Число λ ( φ называется скоростью роста φ ) .
Если φ ∈ Out( F _k ) неприводима и имеет бесконечный порядок, то λ ( φ ) > 1. Более того, в этом случае для любого свободного базиса X группы F _k и для большинства нетривиальных значений w ∈ F _k существует C ≥ 1 такой, что для всех n ≥ 1

{\frac {1}{C}}\lambda ^{n}(\phi )\leq ||\phi ^{n}(w)||_{X}\leq C\lambda ^{n}(\phi ),

где || ты || _X уменьшенная длина элемента u из Fk _{циклически} относительно X. — Исключение составляют лишь случаи, когда соответствует _{соответствует пути ,} фундаментальной группе компактной поверхности с границей S , φ соответствует псевдоаносовскому гомеоморфизму S , а w огибающему компонент границы S. Fk

элементов групп классов отображений , для неприводимого φ ∈ Out( Fk _{В отличие от} ) часто имеет место случай ^[12] что

λ ( φ ) ≠ λ ( φ ⁻¹).

Приложения и обобщения

Первое крупное применение железнодорожных путей было описано в оригинальной статье Бествины и Генделя 1992 года. ^[1] где были проложены железнодорожные пути. статье дано доказательство гипотезы Скотта , которая гласит, что для любого автоморфизма α конечно порожденной свободной группы Fn _В фиксированная подгруппа группы α свободна ранга не выше n .
В последующей статье ^[2] Бествина и Гендель применили технику железнодорожных путей, чтобы получить эффективное доказательство классификации Терстона гомеоморфизмов компактных поверхностей (с краем или без него), в которой говорится, что каждый такой гомеоморфизм с точностью до изотопии либо приводим, либо имеет конечный порядок, либо псевдоаносов. .
Железнодорожные пути являются основным инструментом в алгоритме Лоса для определения того, являются ли два неприводимых элемента Out( F _n ) сопряженными в Out( F _n ). ^[13]
Теорема Бринкмана ^[6] доказывая, что для автоморфизма α группы F _n группа тора отображения α является словесно-гиперболической тогда и только тогда, когда α не имеет периодических классов сопряженности.
Теорема Левитта и Люстига, показывающая, что неприводимый автоморфизм F полностью _n имеет динамику «север-юг» при воздействии на компактификацию типа Терстона космического пространства Каллера – Фогтмана . ^[4]
Теорема Бридсона и Гроувса. ^[7] что для любого автоморфизма группы Fn группа _α тора отображения α удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству .
Доказательство Бествины, Фейна и Генделя того, что группа Out( Fn ₎ удовлетворяет альтернативе Титса . ^[9]^[10]
Алгоритм, который по автоморфизму α группы F _n решает, является ли фиксированная подгруппа группы α тривиальной, и находит конечный набор порождающих для этой фиксированной подгруппы. ^[14]
Доказательство алгоритмической разрешимости проблемы сопряженности свободных циклических групп Богопольского, Мартино, Маслаковой и Вентуры. ^[8]
Механизм железнодорожных путей для инъективных эндоморфизмов , свободных групп обобщающий случай автоморфизмов, был разработан в книге Дикса и Вентуры 1996 года. ^[11]

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Младен Бествина, Михаэль Гендель, Железнодорожные пути и автоморфизмы свободных групп. Анналы математики (2), вып. 135 (1992), вып. 1, стр. 1–51, JSTOR 2946562.
^ Перейти обратно: ^а ^б Младен Бествина и Михаэль Гендель. Железнодорожные пути для поверхностных гомеоморфизмов. , Топология , вып. 34 (1995), вып. 1, стр. 109–140, два : 10.1016/0040-9383(94)E0009-9 .
^ М. Бествина, М. Фейн, М. Гендель, Расслоения, деревья и неприводимые автоморфизмы свободных групп. Геометрический и функциональный анализ , вып. 7 (1997), вып. 2, 215–244
^ Перейти обратно: ^а ^б Гилберт Левитт и Мартин Люстиг, Неприводимые автоморфизмы F _n имеют динамику север-юг в компактифицированном космическом пространстве. Журнал Института математики Жюсье, вып. 2 (2003), вып. 1, 59–72
^ Гилберт Левитт и Мартин Люстиг, Автоморфизмы свободных групп имеют асимптотически периодическую динамику. Журнал Крелля , том. 619 (2008), стр. 1–36, дои : 10.1515/CRELLE.2008.038
^ Перейти обратно: ^а ^б П. Бринкманн, Гиперболические автоморфизмы свободных групп. Геометрический и функциональный анализ , вып. 10 (2000), вып. 5, стр. 1071–1089, два : 10.1007/PL00001647
^ Перейти обратно: ^а ^б Мартин Р. Бридсон и Дэниел Гроувс. Квадратное изопериметрическое неравенство для отображения торов автоморфизмов свободных групп. Мемуары Американского математического общества выйдут в свет.
^ Перейти обратно: ^а ^б О. Богопольский, А. Мартино, О. Маслакова, Э. Вентура, Проблема сопряженности разрешима в свободных циклических группах. Бюллетень Лондонского математического общества , вып. 38 (2006), вып. 5, стр. 787–794.
^ Перейти обратно: ^а ^б Младен Бествина, Марк Фейн и Майкл Гендель. Альтернатива Сиськам для Out(F _n ). I. Динамика экспоненциально растущих автоморфизмов. Анналы математики (2), вып. 151 (2000), вып. 2, стр. 517–623.
^ Перейти обратно: ^а ^б Младен Бествина, Марк Фейн и Майкл Гендель. Альтернатива Сиськам для Out(F _n ). II. Теорема типа Колчина. Анналы математики (2), вып. 161 (2005), вып. 1, стр. 1–59.
^ Перейти обратно: ^а ^б Уоррен Дикс и Энрик Вентура. Группа, фиксируемая семейством инъективных эндоморфизмов свободной группы. Современная математика, 195. Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1996. ISBN 0-8218-0564-9
^ Майкл Гендель и Ли Мошер, Факторы расширения внешнего автоморфизма и его обратного. Труды Американского математического общества , вып. 359 (2007), вып. 7, 3185 3208
^ Жером Э. Лос, О проблеме сопряженности автоморфизмов свободных групп. Топология , вып. 35 (1996), вып. 3, стр. 779–806, дои : 10.1016/0040-9383(95)00035-6
^ О.С. Маслакова. Группа неподвижных точек автоморфизма свободной группы . (Русский). Алгебра Логика, вып. 42 (2003), вып. 4, стр. 422–472; перевод наАлгебра и логика, том. 42 (2003), вып. 4, стр. 237–265.

Внешние ссылки

Заметки из мини-курса Питера Бринкмана о железнодорожных путях [1] [2] [3] [4]

[BH92-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Младен Бествина, Михаэль Гендель, Железнодорожные пути и автоморфизмы свободных групп. Анналы математики (2), вып. 135 (1992), вып. 1, стр. 1–51, JSTOR 2946562.

[BH95-2] Перейти обратно: ^а ^б Младен Бествина и Михаэль Гендель. Железнодорожные пути для поверхностных гомеоморфизмов. , Топология , вып. 34 (1995), вып. 1, стр. 109–140, два : 10.1016/0040-9383(94)E0009-9 .

[3] М. Бествина, М. Фейн, М. Гендель, Расслоения, деревья и неприводимые автоморфизмы свободных групп. Геометрический и функциональный анализ , вып. 7 (1997), вып. 2, 215–244

[LL03-4] Перейти обратно: ^а ^б Гилберт Левитт и Мартин Люстиг, Неприводимые автоморфизмы F _n имеют динамику север-юг в компактифицированном космическом пространстве. Журнал Института математики Жюсье, вып. 2 (2003), вып. 1, 59–72

[5] Гилберт Левитт и Мартин Люстиг, Автоморфизмы свободных групп имеют асимптотически периодическую динамику. Журнал Крелля , том. 619 (2008), стр. 1–36, дои : 10.1515/CRELLE.2008.038

[Br-6] Перейти обратно: ^а ^б П. Бринкманн, Гиперболические автоморфизмы свободных групп. Геометрический и функциональный анализ , вып. 10 (2000), вып. 5, стр. 1071–1089, два : 10.1007/PL00001647

[BG-7] Перейти обратно: ^а ^б Мартин Р. Бридсон и Дэниел Гроувс. Квадратное изопериметрическое неравенство для отображения торов автоморфизмов свободных групп. Мемуары Американского математического общества выйдут в свет.

[BMMV-8] Перейти обратно: ^а ^б О. Богопольский, А. Мартино, О. Маслакова, Э. Вентура, Проблема сопряженности разрешима в свободных циклических группах. Бюллетень Лондонского математического общества , вып. 38 (2006), вып. 5, стр. 787–794.

[BFH00-9] Перейти обратно: ^а ^б Младен Бествина, Марк Фейн и Майкл Гендель. Альтернатива Сиськам для Out(F _n ). I. Динамика экспоненциально растущих автоморфизмов. Анналы математики (2), вып. 151 (2000), вып. 2, стр. 517–623.

[BFH05-10] Перейти обратно: ^а ^б Младен Бествина, Марк Фейн и Майкл Гендель. Альтернатива Сиськам для Out(F _n ). II. Теорема типа Колчина. Анналы математики (2), вып. 161 (2005), вып. 1, стр. 1–59.

[DV-11] Перейти обратно: ^а ^б Уоррен Дикс и Энрик Вентура. Группа, фиксируемая семейством инъективных эндоморфизмов свободной группы. Современная математика, 195. Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1996. ISBN 0-8218-0564-9

[HM07-12] Майкл Гендель и Ли Мошер, Факторы расширения внешнего автоморфизма и его обратного. Труды Американского математического общества , вып. 359 (2007), вып. 7, 3185 3208

[13] Жером Э. Лос, О проблеме сопряженности автоморфизмов свободных групп. Топология , вып. 35 (1996), вып. 3, стр. 779–806, дои : 10.1016/0040-9383(95)00035-6

[14] О.С. Маслакова. Группа неподвижных точек автоморфизма свободной группы . (Русский). Алгебра Логика, вып. 42 (2003), вып. 4, стр. 422–472; перевод наАлгебра и логика, том. 42 (2003), вып. 4, стр. 237–265.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]