Настоящее дерево

В математике ( настоящие деревья также называемые $\mathbb {R}$-деревья ) — класс метрических пространств, обобщающий симплициальные деревья . Они естественным образом возникают во многих математических контекстах, в частности в геометрической теории групп и теории вероятностей . Они также являются простейшими примерами гиперболических пространств Громова .

Определение и примеры

Формальное определение

Треугольник в настоящем дереве

Метрическое пространство $X$ является настоящим деревом, если оно представляет собой геодезическое пространство , в котором каждый треугольник является треножником. То есть на каждые три пункта $x,y,\rho \in X$ существует точка $c=x\wedge y$ такие, что геодезические отрезки $[\rho ,x],[\rho ,y]$ пересекаются на отрезке $[\rho ,c]$ а также $c\in [x,y]$. Это определение эквивалентно $X$ являющееся «нуль-гиперболическим пространством» в смысле Громова (все треугольники «нуль-тонкие»). Реальные деревья также могут характеризоваться топологическим свойством. Метрическое пространство $X$ является реальным деревом, если для любой пары точек $x,y\in X$ все топологические вложения $\sigma$ сегмента $[0,1]$ в $X$ такой, что $\sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y$ имеют одно и то же изображение (которое тогда является геодезическим сегментом из $x$ к $y$).

Простые примеры

• Если $X$ является связным графом с комбинаторной метрикой, то это действительное дерево тогда и только тогда, когда это дерево (т. е. оно не имеет циклов ). Такое дерево часто называют симплициальным деревом. Они характеризуются следующим топологическим свойством: настоящее дерево $T$ симплициален тогда и только тогда, когда множество особых точек $X$ (точки, дополнение которых в $X$ имеет три и более связных компонента) замкнута и дискретна по $X$.
• The $\mathbb {R}$-дерево, полученное следующим образом, является несимплициальным. Начните с интервала [0, 2] и для каждого положительного целого числа n приклейте интервал длиной 1/ n к точке 1 - 1/ n в исходном интервале. Множество особых точек дискретно, но не замкнуто, поскольку 1 — обычная точка в этом $\mathbb {R}$-дерево. Приклеивание интервала к 1 приведет к замкнутому набору особых точек за счет дискретности.
• Парижская метрика превращает самолет в настоящее дерево. Оно определяется следующим образом: фиксируется начало координат $P$, и если две точки лежат на одном луче из $P$, их расстояние определяется как евклидово расстояние. В противном случае их расстояние определяется как сумма евклидовых расстояний этих двух точек до начала координат. $P$.
• Плоскость под метрикой Парижа является примером пространства ежа , набора отрезков прямых, соединенных в общей конечной точке. Любое такое пространство – настоящее дерево.

Характеристики

Визуализация условия четырех точек и 0-гиперболичности. Зеленым: $(x,y)_{t}=(y,z)_{t}$ ; синим: $(x,z)_{t}$.

Вот эквивалентные характеристики реальных деревьев, которые можно использовать в качестве определений:

1) (аналогично деревьям как графам) Вещественное дерево — это геодезическое метрическое пространство , не содержащее подмножества, гомеоморфного окружности.

2) Настоящее дерево – это связное метрическое пространство. $(X,d)$ который имеет условие четырех точек (см. рисунок):

Для всех $x,y,z,t\in X,$ $d(x,y)+d(z,t)\leq \max[d(x,z)+d(y,t)\,;\,d(x,t)+d(y,z)]$.

3) Вещественное дерево — это связное 0-гиперболическое метрическое пространство. (см. рисунок). Формально,

Для всех $x,y,z,t\in X,$ $(x,y)_{t}\geq \min[(x,z)_{t}\,;\,(y,z)_{t}],$

где $(x,y)_{t}$ обозначает Громова произведение $x$ и $y$ относительно $t$, то есть, $\textstyle {\frac {1}{2}}\left(d(x,t)+d(y,t)-d(x,y)\right).$

4) (аналогично характеризации плоских деревьев их контурным процессом ). Рассмотрим положительное отклонение функции. Другими словами, пусть $e$ быть непрерывной вещественной функцией и $[a,b]$ интервал такой, что $e(a)=e(b)=0$ и $e(t)>0$ для $t\in ]a,b[$.

Для $x,y\in [a,b]$, $x\leq y$, определите псевдометрику и отношение эквивалентности с помощью:

$d_{e}(x,y):=e(x)+e(y)-2\min(e(z)\,;z\in [x,y]),$

$x\sim _{e}y\Leftrightarrow d_{e}(x,y)=0.$

Тогда факторпространство $([a,b]/\sim _{e}\,,\,d_{e})$ это настоящее дерево. Интуитивно понятно, что локальные минимумы экскурсии e являются родителями локальных максимумов . Другой визуальный способ построить настоящее дерево из экскурсии — «нанести клей» под кривую e и «согнуть» эту кривую, определив точки склейки (см. анимацию).

Продолжительность: 18 секунд. 0:18

Начиная с отклонения e (черный цвет), деформация (зеленый цвет) представляет собой «складывание» кривой до «склеивания» точек одного и того же класса эквивалентности, конечным состоянием является вещественное дерево, связанное с e .

Примеры

Реальные деревья часто в различных ситуациях появляются как пределы более классических метрических пространств.

Броуновские деревья

дерево Броуновское — это случайный процесс, значением которого почти наверняка является (несимплициальное) реальное дерево. Броуновские деревья возникают как пределы различных случайных процессов на конечных деревьях.

Ультрапределы метрических пространств

Любой ультрапредел последовательности $(X_{i})$ из $\delta _{i}$- гиперболические пространства с $\delta _{i}\to 0$ это настоящее дерево. В частности, асимптотический конус любого гиперболического пространства является вещественным деревом.

Лимит групповых действий

Позволять $G$ быть группой . Для последовательности оснований $G$-пространства $(X_{i},*_{i},\rho _{i})$ существует понятие конвергенции к базовому $G$-космос $(X_{\infty },x_{\infty },\rho _{\infty })$ благодаря М. Бествиной и Ф. Полину. Когда пространства гиперболические и действия неограничены, предел (если он существует) является реальным деревом.

Простой пример получается, если взять $G=\pi _{1}(S)$ где $S$ представляет собой компактную поверхность, а $X_{i}$ универсальная обложка $S$ с метрикой $i\rho$ (где $\rho$ — фиксированная гиперболическая метрика на $S$).

Это полезно для создания действий гиперболических групп на реальных деревьях. Подобные действия анализируются с помощью так называемой машины Рипса . Особый интерес представляет исследование вырождения групп, действующих правильно разрывно на реальном гиперболическом пространстве (это предшествует работам Рипса, Бествины и Паулина и принадлежит Дж. Моргану и П. Шалену). ).

Алгебраические группы

Если $F$ является полем ультраметрического , нормирования то Брюа–Титса здание $\mathrm {SL} _{2}(F)$ это настоящее дерево. Оно является симплициальным тогда и только тогда, когда оценки дискретны.

Обобщения

$\Lambda$-деревья

Если $\Lambda$ является полностью упорядоченной абелевой группой, существует естественное понятие расстояния со значениями в $\Lambda$ (классические метрические пространства соответствуют $\Lambda =\mathbb {R}$). Существует понятие $\Lambda$-дерево который восстанавливает симплициальные деревья, когда $\Lambda =\mathbb {Z}$ и настоящие деревья, когда $\Lambda =\mathbb {R}$. Структура конечно определенных групп, действующих свободно на $\Lambda$-описаны деревья. В частности, такая группа действует свободно на некоторых $\mathbb {R} ^{n}$-дерево.

Реальные здания

Аксиомы здания можно обобщить, чтобы дать определение реального здания. Они возникают, например, как асимптотические конусы симметричных пространств более высокого ранга или как здания Брюа-Титса групп более высокого ранга над значимыми полями.

См. также

• Дендроид (топология)
• Древовидное пространство