Ультра лимит

Чтобы узнать о прямом пределе последовательности сверхстепеней, см. Ultraproduct .

В математике ультрапредел — это геометрическая конструкция, которая ставит в соответствие предельное метрическое пространство последовательности метрических пространств. $X_{n}$. Эта концепция отражает предельное поведение конечных конфигураций в $X_{n}$ пространства, использующие ультрафильтр , чтобы обойти необходимость повторного рассмотрения подпоследовательностей для обеспечения сходимости. Ультрапределы обобщают сходимость Громова–Хаусдорфа в метрических пространствах.

Ультрафильтры

Ультрафильтр чисел , обозначаемый как ω , на множестве натуральных $\mathbb {N}$ представляет собой множество непустых подмножеств $\mathbb {N}$ (функцию включения которой можно рассматривать как меру), которая замкнута относительно конечного пересечения, замкнута вверх, а также которая, учитывая любое подмножество X из $\mathbb {N}$, содержит либо X , либо $\mathbb {N}$\ Х. ​Ультрафильтр включен $\mathbb {N}$ является неглавным, если оно не содержит конечного множества.

Предел последовательности точек относительно ультрафильтра

В дальнейшем ω является неглавным ультрафильтром на $\mathbb {N}$.

Если $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ является последовательностью точек в пространстве ( X , d ) и x ∈ X , то точка x называется ω - пределом x метрическом _n , обозначается как $x=\lim _{\omega }x_{n}$, если для каждого $\epsilon >0$ он утверждает, что

$\{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .$

Замечено, что,

• Если существует ω -предел последовательности точек, то он единственен.
• Если $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ в стандартном смысле, $x=\lim _{\omega }x_{n}$. (Чтобы это свойство сохранялось, крайне важно, чтобы ультрафильтр был неосновным.)

Фундаментальный факт утверждает, что если ( X , d ) компактно и ω неглавный ультрафильтр на $\mathbb {N}$, ω -предел любой последовательности точек из X существует (и обязательно единственен).

В частности, любая ограниченная последовательность действительных чисел имеет четко определенный ω -предел в $\mathbb {R}$, поскольку замкнутые интервалы компактны .

Ультрапредел метрических пространств с указанными базовыми точками

Пусть ω — неглавный ультрафильтр на $\mathbb {N}$. Пусть ( X _n , d _n ) — последовательность метрических пространств с заданными базовыми точками p _n ∈ X _n .

Предположим, что последовательность $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, где x _n ∈ X _n , допустимо. Если последовательность действительных чисел ( d _n ( x _n , p _n )) _n ограничена, то есть если существует положительное действительное число C такое, что $d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C$, то обозначим множество всех допустимых последовательностей через ${\mathcal {A}}$.

Из неравенства треугольника следует, что для любых двух допустимых последовательностей $\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ и $\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ последовательность ( d _n ( x _n , y _n )) _n ограничена и, следовательно, существует ω -предел ${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})$. Можно определить отношение $\sim$ на съемочной площадке ${\mathcal {A}}$ всех допустимых последовательностей следующим образом. Для $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}$, есть $\mathbf {x} \sim \mathbf {y}$ в любое время ${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.$ Это помогает показать, что $\sim$ является отношением эквивалентности на ${\mathcal {A}}.$

Ультрапредел ω по p последовательности ( n _, d n _, X n ₎ представляет собой метрическое пространство $(X_{\infty },d_{\infty })$ определяется следующим образом.

Написано в виде набора, $X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }$ .

На двоих $\sim$-классы эквивалентности $[\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]$ допустимых последовательностей $\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ и $\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, есть $d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).$

Это показывает, что $d_{\infty }$ корректно определен и является метрикой на множестве $X_{\infty }$.

Обозначим $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ .

О базовых точках в случае равномерно ограниченных пространств

Предположим, что ( X _n , d _n ) — последовательность метрических пространств равномерно ограниченного диаметра, то есть существует действительное число C > 0 такое, что diam( X _n ) ⩽ C для каждого $n\in \mathbb {N}$. Тогда для любого выбора p _n базовых точек в X _n каждая последовательность $(x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}$ допустимо. Следовательно, в этой ситуации выбор базовых точек не обязательно указывать при определении ультрапредела, а ультрапредел $(X_{\infty },d_{\infty })$ зависит только от ( X _n , d _n ) и ω , но не зависит от выбора последовательности базовых точек $p_{n}\in X_{n}$. В этом случае пишут $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$.

Основные свойства ультрапределов

1. ( Xn _Если , dn _, ) — геодезические метрические пространства то $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ также является геодезическим метрическим пространством.
2. ( Xn _Если , dn _, ) — полные метрические пространства то $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ также является полным метрическим пространством.

Действительно, по построению предельное пространство всегда полно, даже когда ( X _n , d _n )— повторяющаяся последовательность пространства ( X , d ), которая не является полной.

1. Если ( X _n , d _n ) являются компактными метрическими пространствами, которые сходятся к компактному метрическому пространству ( X , d ) в смысле Громова – Хаусдорфа (это автоматически означает, что пространства ( X _n , d _n ) имеют равномерно ограниченный диаметр), тогда ультрапредел $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ изометричен ( X , d ).
2. Предположим, что ( , _Xn dn ) _и — собственные метрические пространства что $p_{n}\in X_{n}$ являются базовыми точками, такими что указанная последовательность ( X _n , d _n , p _n ) сходится к собственному метрическому пространству ( X , d ) в смысле Громова – Хаусдорфа . Тогда ультрапредел $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ изометричен ( X , d ).
3. Пусть κ ≤0 и ( , _Xn dn ) _— последовательность CAT( κ )-метрических пространств . Тогда ультрапредел $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ также является CAT( κ )-пространством.
4. Пусть ( X _n , d _n ) — последовательность CAT( κ _n )-метрических пространств , где $\lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .$ Тогда ультрапредел $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ настоящее дерево .

конусы

Важным классом ультрапределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Пусть ( X , d ) — метрическое пространство, пусть ω — неглавный ультрафильтр на $\mathbb {N}$ и пусть p _n ∈ X — последовательность базовых точек. Тогда ω –ультрапредел последовательности $(X,{\frac {d}{n}},p_{n})$ называется асимптотическим конусом X относительно ω и $(p_{n})_{n}\,$ и обозначается $Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,$. Часто последовательность базовых точек считают постоянной, pn _; = p для некоторого X p ∈ в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается через $Cone_{\omega }(X,d)\,$ или просто $Cone_{\omega }(X)\,$.

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрической теории групп, поскольку асимптотические конусы (или, точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают инварианты квазиизометрии метрических пространств вообще и конечно порожденных групп в частности. Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболических групп и их обобщений.

Примеры

1. Пусть ( X , d ) — компактное метрическое пространство и положим ( X _n , d _n ) = ( X , d ) для каждого $n\in \mathbb {N}$. Тогда ультрапредел $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ изометричен ( X , d ).
2. Пусть ( X , d _X ) и ( Y , d _Y ) — два различных компактных метрических пространства, и пусть ( X _n , d _n ) — последовательность метрических пространств такая, что для каждого n либо ( X _n , d _n )=( X , d _X ) или ( X _n , d _n ) = ( Y , d _Y ). Позволять $A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,$ и $A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,$. Таким образом, A ₁ , A ₂ не пересекаются и $A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .$ Следовательно, один из A1 _, , A2 _{-меру 1 ,} имеет ω а другой имеет ω -меру 0. Следовательно $\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ изометрично ( X , d _X ), если ω ( A ₁ )=1 и $\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ изометричен ( Y , d _Y ), если ω ( A ₂ )=1. Это показывает, что ультрапредел может зависеть от выбора ультрафильтра ω .
3. Пусть ( M , g ) — компактное связное риманово многообразие размерности m , где g — риманова на M. метрика Пусть d — метрика на M, соответствующая g , так что ( M , d ) — геодезическое метрическое пространство . базовую точку p ∈ M. Выберите Тогда ультрапредел (и даже обычный предел Громова-Хаусдорфа ) $\lim _{\omega }(M,nd,p)$ изометрично касательному пространству T _p M к M в точке p с функцией расстояния на T _p M, заданной скалярным произведением g(p) . Поэтому ультрапредел $\lim _{\omega }(M,nd,p)$ изометрично евклидову пространству $\mathbb {R} ^{m}$ со стандартной евклидовой метрикой .
4. Позволять $(\mathbb {R} ^{m},d)$ — стандартное m -мерное евклидово пространство со стандартной евклидовой метрикой. Тогда асимптотический конус $Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)$ изометричен $(\mathbb {R} ^{m},d)$.
5. Позволять $(\mathbb {Z} ^{2},d)$ — двумерная целочисленная решетка , где расстояние между двумя точками решетки определяется длиной кратчайшего ребра между ними в сетке. Тогда асимптотический конус $Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)$ изометричен $(\mathbb {R} ^{2},d_{1})$ где $d_{1}\,$ — метрика Taxicab (или L ¹ -метрика) на $\mathbb {R} ^{2}$.
6. Пусть ( X , d ) — δ -гиперболическое геодезическое метрическое пространство для некоторого δ ≥0. Тогда асимптотический конус $Cone_{\omega }(X)\,$ это настоящее дерево .
7. Пусть ( X , d ) — метрическое пространство конечного диаметра. Тогда асимптотический конус $Cone_{\omega }(X)\,$ это одна точка.
8. Пусть ( X , d ) — CAT(0)-метрическое пространство . Тогда асимптотический конус $Cone_{\omega }(X)\,$ также является CAT(0)-пространством.

Ссылки

• Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество , 2003. ISBN   978-0-8218-3332-2 ; Ч. 7.
• Л.Ван ден Дрис, А.Дж.Уилки, О теореме Громова о группах полиномиального роста и элементарной логике . Журнал алгебры , Vol. 89 (1984), стр. 349–374.
• М. Капович Б. Лееб. Об асимптотических конусах и классах квазиизометрии фундаментальных групп 3-многообразий , Геометрический и функциональный анализ , Vol. 5 (1995), вып. 3, стр. 582–603.
• М. Капович. Гиперболические многообразия и дискретные группы. Биркхойзер, 2000. ISBN   978-0-8176-3904-4 ; Ч. 9.
• Корнелия Друцу и Марк Сапир (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира), Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. Топология , Том 44 (2005), вып. 5, стр. 959–1058.
• М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Прогресс в математике, том. 152, Биркхойзер, 1999. ISBN   0-8176-3898-9 ; Ч. 3.
• Б. Кляйнер и Б. Лееб, Жесткость квазиизометрий симметричных пространств и евклидовы здания. Публикации Mathématiques de L'IHÉS . Том 86, номер 1, декабрь 1997 г., стр. 115–197.

См. также

• Геометрическая теория групп