Внутренняя метрика

При математическом исследовании метрических пространств можно учитывать дуги длину путей в пространстве. Если две точки находятся на заданном расстоянии друг от друга, естественно ожидать, что из первой точки во вторую можно будет добраться по пути, длина дуги которого равна (или очень близка) этому расстоянию. Расстояние между двумя точками метрического пространства относительно внутренней метрики определяется как нижняя грань длин всех путей от первой точки ко второй. Метрическое пространство является пространством с метрикой длины , если внутренняя метрика согласуется с исходной метрикой пространства.

Если пространство обладает более сильным свойством, что всегда существует путь, достигающий нижней границы длины ( геодезическая ), то оно называется геодезическим метрическим пространством или геодезическим пространством . Например, евклидова плоскость представляет собой геодезическое пространство, отрезки прямых геодезическими которого являются . Евклидова плоскость с удаленным началом координат не является геодезической, но все же представляет собой метрическое пространство длины.

Определения

Позволять $(M,d)$ быть метрическим пространством , т. е. $M$ представляет собой набор точек (например, все точки на плоскости или все точки на окружности) и $d(x,y)$ это функция, которая предоставляет нам расстояние между точками $x,y\in M$ . Определяем новую метрику $d_{\text{I}}$ на $M$ , известная как индуцированная внутренняя метрика , следующим образом: $d_{\text{I}}(x,y)$ — нижняя грань длин всех путей из $x$ к $y$ .

Здесь путь из $x$ к $y$ представляет собой непрерывную карту

\gamma \colon [0,1]\rightarrow M

с $\gamma (0)=x$ и $\gamma (1)=y$ . Длина спрямляемых такого пути определяется так, как объясняется для кривых . Мы устанавливаем $d_{\text{I}}(x,y)=\infty$ если не существует пути конечной длины из $x$ к $y$ (это согласуется с определением нижней границы, поскольку нижняя грань пустого множества внутри отрезка [0,+∞] равна +∞).

Отображение ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$ является идемпотентным , т.е.

(d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.

Если

d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)

по всем пунктам $x$ и $y$ в $M$ , мы говорим, что $(M,d)$ — это пространство длин или пространство метрики путей , а метрика $d$ является внутренним .

Мы говорим, что метрика $d$ имеет приблизительные середины, если для любого $\varepsilon >0$ и любая пара точек $x$ и $y$ в $M$ существует $c$ в $M$ такой, что $d(x,c)$ и $d(c,y)$ оба меньше, чем

{d(x,y) \over 2}+\varepsilon .

Примеры

Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ с обычной евклидовой метрикой является метрическим пространством путей. $\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}$ тоже есть.
Единичный круг $S^{1}$ с метрикой, унаследованной от евклидовой метрики $\mathbb {R} ^{2}$ ( хордальная метрика ) не является пространством с метрикой путей. Индуцированная внутренняя метрика на $S^{1}$ измеряет расстояния как углы в радианах , и полученное метрическое пространство длины называется римановым кругом . В двух измерениях хордальная метрика сферы не является внутренней, а индуцированная внутренняя метрика определяется расстоянием по большому кругу .
Каждое связное риманово многообразие можно превратить в метрическое пространство путей, определив расстояние между двумя точками как нижнюю грань длин непрерывно дифференцируемых кривых, соединяющих две точки. (Риманова структура позволяет определить длину таких кривых.) Аналогично, другие многообразия, в которых определена длина, включали финслеровы многообразия и субримановы многообразия .
Любое полное и выпуклое метрическое пространство является метрическим пространством длины ( Хамси и Кирк 2001 , теорема 2.16), результат Карла Менгера . Однако обратное неверно, т.е. существуют метрические пространства длины, которые не являются выпуклыми.

Характеристики

В общем, у нас есть $d\leq d_{\text{I}}$ и топология, определяемая $d_{\text{I}}$ поэтому всегда тоньше или равно значению, определенному $d$ .
Пространство $(M,d_{\text{I}})$ всегда является пространством с метрикой пути (с оговоркой, как упоминалось выше, что $d_{\text{I}}$ может быть бесконечным).
Метрика пространства длин имеет приблизительные середины. И наоборот, каждое полное метрическое пространство с приблизительными средними точками является пространством длины.
Теорема Хопфа –Ринова утверждает, что если пространство длины $(M,d)$ полно и локально компактно , то любые две точки из $M$ можно соединить минимизирующей геодезической и всеми ограниченными замкнутыми множествами в $M$ компактны .