Сходимость Громова – Хаусдорфа
В математике , сходимость Громова–Хаусдорфа , названная в честь Михаила Громова и Феликса Хаусдорфа , — это понятие сходимости метрических пространств которое является обобщением расстояния Хаусдорфа .
Расстояние Громова – Хаусдорфа
[ редактировать ]
Расстояние Громова – Хаусдорфа было введено Дэвидом Эдвардсом в 1975 году. [ 1 ] [ 2 ] и позже он был заново открыт и обобщен Михаилом Громовым в 1981 году. [ 3 ] [ 4 ] Это расстояние измеряет, насколько два компактных метрических пространства далеки от изометрии . Если X и Y — два компактных метрических пространства, то d GH ( X , Y ) определяется как нижняя нижняя грань всех чисел d H ( f ( X ), g ( Y )) для всех (компактных) метрических пространств M и всех изометрические вложения f : X → M и g : Y → M . Здесь d H обозначает расстояние Хаусдорфа между подмножествами в M , а изометрическое вложение понимается в глобальном смысле, т.е. оно должно сохранять все расстояния, а не только бесконечно малые; например, ни одно компактное риманово многообразие не допускает такого вложения в евклидово пространство той же размерности.
Расстояние Громова–Хаусдорфа превращает множество всех классов изометрии компактных метрических пространств в метрическое пространство, называемое пространством Громова–Хаусдорфа, и, следовательно, определяет понятие сходимости последовательностей компактных метрических пространств, называемое сходимостью Громова–Хаусдорфа. Метрическое пространство, к которому сходится такая последовательность, называется пределом Громова–Хаусдорфа последовательности.
Некоторые свойства пространства Громова–Хаусдорфа.
[ редактировать ]Пространство Громова–Хаусдорфа линейно связно , полно и сепарабельно . [ 5 ] Она также является геодезической , т. е. любые две ее точки являются концами минимизирующей геодезической . [ 6 ] [ 7 ] В глобальном смысле пространство Громова–Хаусдорфа вполне неоднородно, т. е. его группа изометрий тривиальна: [ 8 ] но локально существует множество нетривиальных изометрий. [ 9 ]
Заостренная сходимость Громова – Хаусдорфа.
[ редактировать ]Заостренная сходимость Громова–Хаусдорфа является аналогом сходимости Громова–Хаусдорфа, подходящим для некомпактных пространств. Заостренное метрическое пространство — это пара ( X , p состоящая из метрического пространства X и точки p в X. ) , Последовательность ( Xn R , pn точечных метрических пространств сходится к точечному метрическому пространству ( , p ) , если для каждого > 0 последовательность замкнутых R -шаров вокруг pn Xn в ) Y сходится к замкнутому R -шар вокруг p в Y в обычном смысле Громова–Хаусдорфа. [ 10 ]
Приложения
[ редактировать ]Понятие сходимости Громова–Хаусдорфа было использовано Громовым для доказательства того, что любая дискретная группа практически полиномиального роста нильпотентна (т. е. содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса ). См. теорему Громова о группах полиномиального роста . (Также см. более раннюю работу Д. Эдвардса.) Ключевым ингредиентом доказательства было наблюдение, что для Граф Кэли группы с полиномиальным ростом (последовательность масштабирования) сходится в указанном смысле Громова–Хаусдорфа.
Другой простой и очень полезный результат римановой геометрии — это теорема Громова о компактности , которая утверждает, что множество римановых многообразий с кривизной Риччи ≥ c и диаметром ≤ D относительно компактно в метрике Громова–Хаусдорфа. Предельные пространства являются метрическими пространствами. Дополнительные свойства пространств длин были доказаны Чигером и Колдингом . [ 11 ]
Метрика расстояния Громова – Хаусдорфа применялась в области компьютерной графики и вычислительной геометрии для поиска соответствий между различными формами. [ 12 ] Он также применялся в задаче планирования движения в робототехнике. [ 13 ]
Расстояние Громова – Хаусдорфа использовалось Сомани для доказательства устойчивости модели Фридмана в космологии. Эта модель космологии неустойчива относительно плавного изменения метрики. [ 14 ]
В частном случае концепция пределов Громова–Хаусдорфа тесно связана с теорией больших уклонений . [ 15 ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дэвид А. Эдвардс, «Структура суперпространства», в «Исследованиях по топологии», Academic Press, 1975, pdf. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
- ^ Тужилин, Алексей А. (2016). «Кто изобрел расстояние Громова-Хаусдорфа?». arXiv : 1612.00728 [ math.MG ].
- ^ М. Громов. «Метрические структуры для римановых многообразий», под редакцией Лафонтена и Пьера Пансу , 1981.
- ^ Громов, Михаил (1981). «Группы полиномиального роста и расширяющихся отображений (с приложением Жака Титса)» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 53 : 53–78. дои : 10.1007/BF02698687 . МР 0623534 . S2CID 121512559 . Збл 0474.20018 .
- ^ Д. Бураго, Ю. Бураго, С. Иванов, Курс метрической геометрии , AMS GSM 33, 2001.
- ^ Иванов, АО; Николаева, НК; Тужилин А.А. (2016). «Метрика Громова – Хаусдорфа в пространстве компактных метрических пространств строго внутренняя». Математические заметки . 100 (5–6): 883–885. arXiv : 1504.03830 . дои : 10.1134/S0001434616110298 . S2CID 39754495 .
- ^ Подробное построение геодезических см. Чоудхури, Самир; Мемоли, Факундо (2016). «Явная геодезия в пространстве Громова-Хаусдорфа». arXiv : 1603.02385 [ math.MG ].
- ^ Ivanov, Alexander; Tuzhilin, Alexey (2018). "Isometry Group of Gromov--Hausdorff Space". arXiv : 1806.02100 [ math.MG ].
- ^ Иванов Александр О.; Тужилин, Алексей А. (2016). «Локальная структура пространства Громова-Хаусдорфа вблизи конечных метрических пространств общего положения». arXiv : 1611.04484 [ math.MG ].
- ^ Беллаиш, Андре (1996). «Касательное пространство в субримановой геометрии». У Андре Беллаиша; Жан-Жак Рислер (ред.). Субриманова геометрия . Прогресс в математике. Том. 44. Базель: Биркхаузер. С. 1–78 [56]. дои : 10.1007/978-3-0348-9210-0_1 . ISBN 978-3-0348-9946-8 .
- ^ Чигер, Джефф; Колдинг, Тобиас Х. (1997). «О строении пространств с ограниченной снизу кривизной Риччи. I» . Журнал дифференциальной геометрии . 46 (3). дои : 10.4310/jdg/1214459974 .
- ^ Мемоли, Факундо; Сапиро, Гильермо (2004). «Сравнение облаков точек». Материалы симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 г. по геометрической обработке - SGP '04 . п. 32. дои : 10.1145/1057432.1057436 . ISBN 3905673134 . S2CID 207156533 .
- ^ Суккар, Фуад; Вакулич, Дженнифер; Ли, Ки Мён Брайан; Фитч, Роберт (11 сентября 2022 г.). «Планирование движения в пространстве задач с помощью приближений Громова-Хаусдорфа». arXiv : 2209.04800 [ cs.RO ].
- ^ Сормани, Кристина (2004). «Космология Фридмана и почти изотропия». Геометрический и функциональный анализ . 14 (4). arXiv : математика/0302244 . дои : 10.1007/s00039-004-0477-4 . S2CID 53312009 .
- ^ Котани, Мотоко; Сунада, Тошиказу (2006). «Большое отклонение и касательный конус на бесконечности кристаллической решетки». Mathematische Zeitschrift . 254 (4): 837–870. дои : 10.1007/s00209-006-0951-9 . S2CID 122531716 .
- М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств , Биркхойзер (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (перевод с дополнительным содержанием).