Внутреннее плоское расстояние

В математике внутреннее плоское расстояние — это понятие расстояния между двумя римановыми многообразиями , которое является обобщением Федерера и Флеминга плоского расстояния между подмногообразиями и целыми токами, лежащими в евклидовом пространстве.

Обзор

Внутреннее плоское расстояние Сормани – Венгера (SWIF) — это расстояние между компактными ориентированными римановыми многообразиями одной и той же размерности. В более общем смысле он определяет расстояние между двумя целочисленными токовыми пространствами ( X , d , T ) одного и того же измерения (см. ниже). Этот класс пространств и это расстояние были впервые анонсированы математиками Сормани и Венгером на Фестивале геометрии в 2009 году, а детальное развитие этих понятий появилось в Журнале дифференциальной геометрии в 2011 году. ^[1]

Расстояние SWIF — это внутреннее понятие, основанное на (внешнем) плоском расстоянии между подмногообразиями и интегральными потоками в евклидовом пространстве, разработанном Федерером и Флемингом. Это определение имитирует определение Громова – Хаусдорфа в том смысле, что оно предполагает взятие инфимума по всем сохраняющим расстояние отображениям данных пространств во все возможные объемлющие пространства Z . Попав в общее пространство Z , плоское расстояние между изображениями определяется путем рассмотрения изображений пространств как интегральных потоков в смысле Амбросио -Кирхгейма. ^[1]

Грубая идея как во внутренних, так и во внешних условиях состоит в том, чтобы рассматривать пространства как границу третьего пространства или региона и находить наименьший взвешенный объем этого третьего пространства. Таким образом, сферы со множеством сплайнов, которые содержат все более малые объемы, сходятся «SWIF-ly» к сферам. ^[1]

Риманова установка

римановых многообразия, Mi _{Учитывая два компактных ориентированных} , возможно, с краем:

d _SWIF ( M ₁ , M ₂ ) = 0

тогда и только тогда, когда существует изометрия, сохраняющая ориентацию от M ₁ к M ₂ . Если Mi _но сходится в смысле Громова–Хаусдорфа к метрическому пространству Y , то подпоследовательность Mi _{сходится} SWIF-подобно к целочисленному текущему пространству, содержащемуся в Y, не обязательно равному Y . Например, предел GH последовательности сфер с длинной тонкой шейкой представляет собой пару сфер с проходящим между ними отрезком линии, тогда как предел SWIF - это просто пара сфер. Пределом GH последовательности все более и более тонких торов является круг, а плоским пределом - пространство 0. В условиях неотрицательной кривизны Риччи и однородной нижней границы объема пределы GH и SWIF совпадают. Если последовательность многообразий сходится в липшицевом смысле к предельному липшицеву многообразию, то предел SWIF существует и имеет тот же предел. ^[1]

Теорема Венгера о компактности утверждает, что если последовательность компактных римановых многообразий M _j имеет равномерную верхнюю границу диаметра, объема и граничного объема, то подпоследовательность сходится SWIF-подобно к целочисленному текущему пространству. ^[1]

Интегральные текущие пространства

m-мерное целое токовое пространство ( , d , T ) — это метрическое пространство ( X , d ) с m -мерной интегральной текущей структурой T. X Точнее, используя понятия Амбросио–Кирхгейма, T — это m мерный интегральный ток метрического пополнения X , а X — множество положительной плотности меры массы T. - Как следствие глубоких теорем Амбросио–Кирхгейма, X тогда является счетным H ^м спрямляемое метрическое пространство, поэтому оно покрыто H ^м почти всюду образами билипшицевых карт из компактных подмножеств R ^м, он наделен целочисленной весовой функцией и имеет ориентацию. Кроме того, интегральное токовое пространство имеет четко определенное понятие границы, которая представляет собой ( m - 1)-мерное интегральное токовое пространство. 0-мерное целое текущее пространство представляет собой конечный набор точек с целочисленными весами. В каждом измерении есть одно особое интегральное текущее пространство — это 0-пространство. ^[1]

Внутреннее плоское расстояние между двумя целочисленными токовыми пространствами определяется следующим образом:

d _SWIF (( X ₁ , d ₁ , T ₁ ), ( X ₂ , d ₂ , T ₂ ,)) определяется как нижняя грань всех чисел d _F ( f _1* T ₁ , f _2* T ₂ ) для всех метрических пространств M и всех отображений, сохраняющих расстояние ж _я : Икс _я → Z . Здесь d _F обозначает плоское расстояние между интегральными токами в Z, найденное путем продвижения вперед интегральных токовых структур T _i .

Два целочисленных токовых пространства имеют d _SWIF = 0 тогда и только тогда, когда между пространствами существует изометрия, сохраняющая ток. ^[1]

Все вышеупомянутые результаты могут быть сформулированы и в этой более общей постановке, включая теорему Венгера о компактности. ^[1]

Приложения

Чтобы доказать, что некоторые пределы GH счетно H ^м исправимый ^[1]
Чтобы понять плавную сходимость вдали от сингулярностей ^[2]
Чтобы понять сходимость римановых многообразий с краем ^[1]
Изучать вопросы, возникающие в общей теории относительности. ^[3]
Изучить вопросы, возникающие в статье Громова о многообразиях Плато–Стейна. ^[4]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж «Внутреннее плоское расстояние между римановыми многообразиями и другими интегральными токовыми пространствами» Сормани и Венгера, Журнал дифференциальной геометрии , том 87, 2011, 117–199
^ «Плавная сходимость вдали от особых множеств» Саджада Лакзиана и Кристины Сормани «Коммуникации в анализе и геометрии». Том 21, № 1, 39–104, 2013 г.
^ «Почти равенство в неравенстве Пенроуза для вращательно-симметричных римановых многообразий» Дэна Ли и Кристины Сормани Анналы Анри Пуанкаре, ноябрь 2012 г., том 13, выпуск 7, стр 1537–1556
^ Громов, Миша (2014). «Многообразия Плато – Штейна» . Открытая математика . 12 (7): 923–951. дои : 10.2478/s11533-013-0387-5 .

Внешние ссылки

Библиографический веб-сайт Intrinsic Flat Distance https://sites.google.com/site/intrinsicflatconvergence/
Библиографический веб-сайт Intrinsic Flat Distance (зеркало) http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/research/intrinsicflat.html
Фестиваль геометрии 2009 http://www.math.sunysb.edu/geomfest09/program.html

[SW-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж «Внутреннее плоское расстояние между римановыми многообразиями и другими интегральными токовыми пространствами» Сормани и Венгера, Журнал дифференциальной геометрии , том 87, 2011, 117–199

[2] «Плавная сходимость вдали от особых множеств» Саджада Лакзиана и Кристины Сормани «Коммуникации в анализе и геометрии». Том 21, № 1, 39–104, 2013 г.

[3] «Почти равенство в неравенстве Пенроуза для вращательно-симметричных римановых многообразий» Дэна Ли и Кристины Сормани Анналы Анри Пуанкаре, ноябрь 2012 г., том 13, выпуск 7, стр 1537–1556

[4] Громов, Миша (2014). «Многообразия Плато – Штейна» . Открытая математика . 12 (7): 923–951. дои : 10.2478/s11533-013-0387-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]