Текущий (математика)

В математике , особенно в функциональном анализе , дифференциальной топологии и геометрической теории меры , k ток в смысле Жоржа де Рама — это функционал на пространстве с компактным носителем дифференциальных k -форм , на гладком многообразии M. - Токи формально ведут себя как распределения Шварца в пространстве дифференциальных форм, но в геометрической настройке они могут представлять собой интегрирование по подмногообразию, обобщая дельта -функцию Дирака , или, в более общем смысле, даже производные по направлению дельта-функций ( мультиполи ), распределенные вдоль подмножеств М.

Определение

Позволять $\Omega _{c}^{m}(M)$ обозначим пространство гладких m - форм с компактным носителем на гладком многообразии $M.$ Ток – это линейный функционал от $\Omega _{c}^{m}(M)$ которая непрерывна в смысле распределений . Таким образом, линейный функционал $T:\Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}$ является m -мерным током, если он непрерывен в следующем смысле: если последовательность $\omega _{k}$ гладких форм, поддерживаемых одним и тем же компактом, такова, что все производные всех их коэффициентов равномерно стремятся к 0, когда $k$ стремится к бесконечности, то $T(\omega _{k})$ стремится к 0.

Пространство ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ m на -мерных токов $M$ является реальным векторным пространством с операциями, определяемыми формулами $(T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).$

Большая часть теории распределений переносится на течения с минимальными корректировками. Например, можно определить поддержку текущего $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ как дополнение к самому большому открытому набору $U\subset M$ такой, что $T(\omega )=0$ в любое время $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$

Линейное подпространство ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ состоящая из токов с носителем (в указанном выше смысле), являющимся компактным подмножеством $M$ обозначается ${\mathcal {E}}_{m}(M).$

Гомологическая теория

Интегрирование по компактному спрямляемому ориентированному подмногообразию M ( с краем ) размерности m определяет m -ток, обозначаемый $[[M]]$ : $[[M]](\omega )=\int _{M}\omega .$

Если граница ∂ M области M спрямляема, то она также определяет ток путем интегрирования, и в силу теоремы Стокса имеем: $[[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).$

Это связывает внешнюю производную d с оператором ∂ на гомологиях M граничным .

С учетом этой формулы мы можем определить граничный оператор на произвольных токах $\partial :{\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}$ через двойственность с внешней производной $(\partial T)(\omega ):=T(d\omega )$ для всех компактных m -форм $\omega .$

Некоторые подклассы токов, замкнутые под $\partial$ может использоваться вместо всех токов для создания теории гомологии, которая в определенных случаях может удовлетворять аксиомам Эйленберга – Стинрода . Классическим примером является подкласс интегральных токов на ретрактах липшицевой окрестности.

Топология и нормы

Пространство токов естественно наделено топологией слабой-* , которую в дальнейшем будем называть просто слабой сходимостью . Последовательность $T_{k}$ токов, сходится к току $T$ если $T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .$

Можно определить несколько норм на подпространствах пространства всех токов. Одной из таких норм является массовая норма . Если $\omega$ является m -формой, затем определите ее массу по формуле $\|\omega \|:=\sup\{\left|\langle \omega ,\xi \rangle \right|:\xi {\mbox{ is a unit, simple, }}m{\mbox{-vector}}\}.$

Итак, если $\omega$ является простой m -формой, то ее массовая норма является обычной L ^∞-норма его коэффициента. Масса тока $T$ затем определяется как $\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega ):\sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.$

Масса тока представляет собой взвешенную площадь обобщенной поверхности. Ток такой, что M ( T ) < ∞, представим интегрированием регулярной борелевской меры по одной из версий теоремы о представлении Рисса . Это отправная точка гомологической интеграции .

Уитни Промежуточной нормой является плоская норма , определяемая формулой $\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A):A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.$

Два тока близки по норме массы, если они совпадают на расстоянии от малой части. Напротив, в плоской норме они близки, если совпадают с точностью до малой деформации.

Примеры

Напомним, что $\Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ так что следующее определяет 0-ток: $T(f)=f(0).$

В частности, каждая подписанная регулярная мера $\mu$ является 0-током: $T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).$

Пусть ( x , y , z ) будут координатами в $\mathbb {R} ^{3}.$ Тогда следующее определяет 2-ток (один из многих): $T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.$

См. также

Примечания

Ссылки

де Рам, Жорж (1984). Дифференцируемые многообразия. Формы, течения, гармонические формы . Основные принципы математических наук. Том 266. Перевод Смита, Ф.Р. С предисловием С.С. Черна . (Перевод оригинального французского издания 1955 года). Берлин: Springer Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-61752-2 . ISBN 3-540-13463-8 . МР 0760450 . Збл 0534.58003 .
Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория измерений . Основные положения математических наук. Том 153. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN 978-3-540-60656-7 . МР 0257325 . Збл 0176.00801 .
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . дои : 10.1002/9781118032527 . ISBN 0-471-32792-1 . МР 0507725 . Збл 0408.14001 .
Саймон, Леон (1983). Лекции по геометрической теории меры . Труды Центра математического анализа. Том. 3. Канберра: Центр математического анализа Австралийского национального университета . ISBN 0-86784-429-9 . МР 0756417 . Збл 0546.49019 .
Уитни, Хасслер (1957). Геометрическая теория интегрирования . Принстонская математическая серия. Том. 21. Принстон, Нью-Джерси и Лондон: Издательство Принстонского университета и Издательство Оксфордского университета . дои : 10.1515/9781400877577 . ISBN 9780691652900 . МР 0087148 . Збл 0083.28204 . .
Линь, Фанхуа; Ян, Сяопин (2003), Геометрическая теория меры: введение , Высшая математика (Пекин/Бостон), том. 1, Пекин/Бостон: Science Press/International Press, стр. x+237, ISBN. 978-1-57146-125-4 , МР 2030862 , Збл 1074.49011

В эту статью включены материалы из Current on PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .