Варифолд

В математике варифолд — это, грубо говоря, теоретико-мерное обобщение концепции дифференцируемого многообразия путем замены требований дифференцируемости требованиями, предоставляемыми спрямляемыми множествами , при сохранении общей алгебраической структуры, обычно наблюдаемой в дифференциальной геометрии . Варифолды обобщают идею выпрямляемого тока и изучаются в геометрической теории меры .

Историческая справка

Варифолды были впервые представлены Лоуренсом Чизхолмом Янгом ( Young 1951 ) под названием « обобщенные поверхности ». Фредерик Дж. Альмгрен-младший слегка изменил определение в своих заметках, отпечатанных на мимеографе ( Almgren 1965 ), и придумал название варифолд : он хотел подчеркнуть, что эти объекты являются заменителями обычных многообразий в задачах вариационного исчисления . Современный подход к теории основывался на заметках Альмгрена. и изложено Уильямом К. Аллардом в статье ( Allard 1972 ).

Определение

Учитывая открытое подмножество $\Omega$ пространства евклидова $\mathbb {R} ^{n}$, m -мерное многообразие на $\Omega$ определяется как мера Радона на множестве

$\Omega \times G(n,m)$

где $G(n,m)$ является грассманианом всех m -мерных линейных подпространств n -мерного векторного пространства. Грассманиан используется для построения аналогов дифференциальных форм как двойственных векторным полям в приближенном касательном пространстве множества. $\Omega$.

Частным случаем спрямляемого многообразия являются данные m -спрямляемого множества M (измеримого относительно m -мерной меры Хаусдорфа) и функции плотности, определенной на M , которая является положительной функцией θ, измеримой и локально интегрируемой. относительно m -мерной меры Хаусдорфа. Он определяет меру Радона V на грассмановом расслоении $\mathbb {R} ^{n}$

$V(A):=\int _{\Gamma _{M,A}}\!\!\!\!\!\!\!\theta (x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(x)$

где

• $\Gamma _{M,A}=M\cap \{x:(x,\mathrm {Tan} ^{m}(x,M))\in A\}$
• ${\mathcal {H}}^{m}(x)$ это $m$−мерная мера Хаусдорфа

Выпрямляемые варифолды являются более слабыми объектами, чем локально выпрямляемые токи: они не имеют никакой ориентации . Заменяя М более регулярными множествами, легко увидеть, что дифференцируемые подмногообразия являются частными случаями спрямляемых многообразий .

Из-за отсутствия ориентации не определен граничный оператор в пространстве варифолдов .

См. также

• Текущий
• Геометрическая теория меры
• Грассманиан
• Проблема Плато
• Радоновая мера

Ссылки

• Альмгрен, Фредерик Дж. Младший (1993), «Вопросы и ответы о поверхностях, минимизирующих площадь, и геометрической теории меры», в Грин, Роберт Э .; Яу, Шинг-Тунг (ред.), Дифференциальная геометрия. Часть 1: Уравнения в частных производных на многообразиях. Труды летнего исследовательского института, проходившего в Калифорнийском университете, Лос-Анджелес, Калифорния, США, 8–28 июля 1990 г. , Proceedings of Symposium in Pure Mathematics, vol. 54, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 29–53, ISBN.  978-0-8218-1494-9 , МР   1216574 , Збл   0812.49032 . Эта статья также воспроизведена в ( Almgren 1999 , стр. 497–521).
• Альмгрен, Фредерик Дж. Младший (1999), Избранные произведения Фредерика Дж. Альмгрена-младшего , Собрание сочинений, том. 13, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1067-5 , МР   1747253 , Збл   0966.01031 .
• Де Джорджи, Эннио (1968), «Гиперповерхности минимальной меры в многомерных евклидовых пространствах» (PDF) , в Петровский, Иван Г. (редактор), Труды Международного конгресса математиков. Труды Международного конгресса математиков (Москва-1966) , Труды ИКМ , Москва : Издательство "Мир" , с. 395-401, МР   0234329 , Збл   0188.17503 .
• Аллард, Уильям К. (май 1972 г.), «О первой вариации варифолда», Annals of Mathematics , Second Series, 95 (3): 417–491, doi : 10.2307/1970868 , JSTOR   1970868 , MR   0307015 , Zbl   0252.49028 .
• Аллард, Уильям К. (май 1975 г.), «О первой вариации варифолда: граничное поведение», Annals of Mathematics , Second Series, 101 (3): 418–446, doi : 10.2307/1970934 , JSTOR   1970934 , MR   0397520 , Збл   0319.49026 .
• Альмгрен, Фредерик Дж. Младший (1965), Теория варифолдов: вариационное исчисление в целом для $k$Подынтегральная функция многомерной области , Принстон : Библиотека Принстонского университета , с. 178 . Набор мимеографированных заметок, в которых Фредерик Дж. Альмгрен-младший впервые представляет варифолды: связанный скан доступен в Albert - The Digital Repository of IAS .
• Альмгрен, Фредерик Дж. Младший (1966), Проблема Плато: Приглашение к варифолдной геометрии , Серия монографий по математике (1-е изд.), Нью-Йорк – Амстердам: WA Benjamin, Inc., стр. XII + 74, MR   0190856 , Zbl   0165.13201 . Первая широко распространенная книга, описывающая концепцию варифолда. В главе 4 есть раздел под названием « Решение проблемы Плато, связанной с существованием », но стационарные многообразия, используемые в этом разделе, могут решить только значительно упрощенную версию проблемы. Например, единственные стационарные варифолды, содержащие единичную окружность, поддерживают единичный круг. В 1968 году Альмгрен использовал комбинацию варифолдов, интегральных токов, плоских цепей и методов Райфенберга в попытке распространить знаменитую статью Райфенберга 1960 года на эллиптические подынтегральные выражения. Однако в его доказательстве есть серьезные ошибки. Другой подход к проблеме Райфенберга для эллиптических подынтегральных выражений был недавно предложен Харрисоном и Пью ( HarrisonPugh 2016 ) без использования варифолдов.
• Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2016), Общие методы эллиптической минимизации , стр. 22, arXiv : 1603.04492 , Bibcode : 2016arXiv160304492H .
• Альмгрен, Фредерик Дж. Младший (2001) [1966], Проблема Плато: Приглашение к разнообразной геометрии , Студенческая математическая библиотека, том. 13 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество , стр. xvi+78, ISBN  978-0-8218-2747-5 , МР   1853442 , Збл   0995.49001 . Второе издание книги ( Альмгрен, 1966 ).
• Дао, Чонг Тхи; Фоменко А.Т. (1991), Минимальные поверхности, стратифицированные мультиварифолды и проблема плато , Переводы математических монографий, вып. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. ix+404, ISBN.  978-0-8218-4536-3 , МР   1093903 , Збл   0716.53003 .
• TC О'Нил (2001) [1994], «Геометрическая теория меры» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Саймон, Леон (1984), Лекции по геометрической теории меры , Труды Центра математического анализа, том. 3, Канберра : Центр математики и ее приложений (CMA) , Австралийский национальный университет , стр. VII + 272 (неполные опечатки), ISBN  978-0-86784-429-0 , МР   0756417 , Збл   0546.49019 .
• Линь, Фанхуа; Ян, Сяопин (2002), Геометрическая теория меры – Введение , Высшая математика (Пекин/Бостон), том. 1, Пекин – Нью-Йорк/Бостон, Массачусетс: Science Press / International Press , стр. x+237, MR   2030862 , Zbl   0546.49019 , ISBN   7-03-010271-1 (Science Press), ISBN   1-57146-125-6 (международная пресса).
• Уайт, Брайан (1997), «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего». , Уведомления Американского математического общества , 44 (11): 1451–1456, ISSN   0002-9920 , MR   1488574 , Zbl   0908.01017 .
• Уайт, Брайан (1998), «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего», Журнал геометрического анализа , 8 (5): 681–702, CiteSeerX   10.1.1.120.4639 , doi : 10.1007/BF02922665 , ISSN   1050-6926 , МР   1731057 , S2CID   122083638 , Збл   0955.01020 . Расширенная версия ( White 1997 ) со списком публикаций Альмгрена.
• Янг, Лоуренс К. (1951), «Обобщенные параметрические поверхности» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 79 : 59–84, doi : 10.24033/bsmf.1419 , MR   0046421 , Zbl   0044.10203 .