Примерное касательное пространство

В геометрической теории меры приближенное касательное пространство является теоретико-мерным обобщением понятия касательного пространства для дифференцируемого многообразия .

Определение

В дифференциальной геометрии определяющей характеристикой касательного пространства является то, что оно приближает гладкое многообразие к первому порядку вблизи точки касания. Аналогично, если мы все больше и больше увеличиваем масштаб в точке касания, многообразие становится все более и более прямым, асимптотически стремясь приблизиться к касательному пространству. Это оказывается правильной точкой зрения в геометрической теории меры.

Определение наборов

Определение . Позволять $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ — множество, измеримое относительно m -мерной меры Хаусдорфа ${\mathcal {H}}^{m}$, и такой, что мера ограничения ${\mathcal {H}}^{m}\llcorner M$ является мерой Радона . Мы говорим, что m -мерное подпространство $P\subset \mathbb {R} ^{n}$ - приблизительное касательное пространство к $M$ в определенный момент $x$, обозначенный $T_{x}M=P$, если

$\left({\mathcal {H}}^{m}\llcorner M\right)_{x,\lambda }\rightharpoonup {\mathcal {H}}^{m}\llcorner P$ как $\lambda \downarrow 0$

в смысле радоновых мер . Здесь по любой мере $\mu$ мы обозначаем через $\mu _{x,\lambda }$ масштабированная и переведенная мера:

$\mu _{x,\lambda }(A):=\lambda ^{-n}\mu (x+\lambda A),\qquad A\subset \mathbb {R} ^{n}$

Конечно, любое классическое касательное пространство к гладкому подмногообразию является приближенным касательным пространством, но обратное не обязательно верно.

Множественность

Парабола

$M_{1}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}$

является гладким одномерным подмногообразием. Его касательное пространство в начале координат $(0,0)\in M_{1}$ это горизонтальная линия $T_{(0,0)}M_{1}=\mathbb {R} \times \{0\}$. С другой стороны, если мы учтем отражение вдоль оси x :

$M_{2}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\cup \{(x,-x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}$

затем $M_{2}$ больше не является гладким одномерным подмногообразием, и в начале координат нет классического касательного пространства. С другой стороны, увеличив масштаб в начале координат, набор $M_{2}$ примерно равна двум прямым, перекрывающимся в пределе. Было бы разумно сказать, что оно имеет приблизительное касательное пространство. $\mathbb {R} \times \{0\}$ с кратностью два.

Определение мер

Можно обобщить предыдущее определение и перейти к определению приближенных касательных пространств для определенных мер Радона , учитывая кратность, как объяснено в разделе выше.

Определение . Позволять $\mu$ быть мерой Радона на $\mathbb {R} ^{n}$. Мы говорим, что m -мерное подпространство $P\subset \mathbb {R} ^{n}$ - приблизительное касательное пространство к $\mu$ в какой-то момент $x$ с кратностью $\theta (x)\in (0,\infty )$, обозначенный $T_{x}\mu =P$ с кратностью $\theta (x)$, если

$\mu _{x,\lambda }\rightharpoonup \theta (x)\;{\mathcal {H}}^{m}\llcorner P$ как $\lambda \downarrow 0$

в смысле радоновых мер. Правая часть представляет собой постоянное кратное m -мерной мере Хаусдорфа, ограниченной $P$.

Это определение обобщает определение для множеств, как можно увидеть, взяв $\mu :={\mathcal {H}}^{n}\llcorner M$ для любого $M$ как в том разделе. Это также объясняет приведенный выше пример отраженного параболоида, потому что для $\mu :={\mathcal {H}}^{1}\llcorner M_{2}$ у нас есть $T_{(0,0)}\mu =\mathbb {R} \times \{0\}$ с кратностью два.

Отношение к спрямляемым множествам

Понятие аппроксимированных касательных пространств очень тесно связано с понятием спрямляемых множеств . Грубо говоря, спрямляемые множества — это именно те множества, для которых почти всюду существуют аппроксимированные касательные пространства. Следующая лемма иллюстрирует это соотношение:

Лемма . Позволять $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ измерима меры относительно m -мерной Хаусдорфа . Затем $M$ является m- спрямляемым тогда и только тогда, когда существует положительное локально ${\mathcal {H}}^{m}$-интегрируемая функция $\theta :M\to (0,\infty )$ такая, что мера Радона

$\mu (A)=\int _{A}\theta (x)\,d{\mathcal {H}}^{m}(x)$

имеет приближенные касательные пространства $T_{x}\mu$ для ${\mathcal {H}}^{m}$-почти каждый $x\in M$.

Ссылки

• Саймон, Леон (1983), Лекции по геометрической теории меры , Труды Центра математического анализа, том. 3, Австралийский национальный университет , особенно глава 3, раздел 11 «Основные понятия, касательные свойства » .