мера Хаусдорфа

В математике представляет мера Хаусдорфа собой обобщение традиционных понятий площади и объема на нецелые измерения, в частности на фракталы и их размерности Хаусдорфа . Это тип внешней меры , названный в честь Феликса Хаусдорфа , который присваивает номер в [0,∞] каждому множеству в $\mathbb {R} ^{n}$ или, в более общем смысле, в любом метрическом пространстве .

Нульмерная мера Хаусдорфа — это количество точек в множестве (если множество конечно) или ∞, если множество бесконечно. Аналогично, одномерная мера Хаусдорфа простой кривой в $\mathbb {R} ^{n}$ равна длине кривой, а двумерная мера Хаусдорфа измеримого по Лебегу подмножества $\mathbb {R} ^{2}$ пропорциональна площади множества. Таким образом, понятие меры Хаусдорфа обобщает меру Лебега и ее понятия счета, длины и площади. Это также обобщает объем. Фактически, существуют d -мерные меры Хаусдорфа для любого d ≥ 0, которое не обязательно является целым числом. Эти меры являются фундаментальными в геометрической теории меры . Они естественным образом появляются в гармоническом анализе или теории потенциала .

Определение [ править ]

Позволять $(X,\rho )$ быть метрическим пространством . Для любого подмножества $U\subset X$ , позволять $\operatorname {diam} U$ обозначаем его диаметр, т.е.

\operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0.

Позволять $S$ быть любым подмножеством $X,$ и $\delta >0$ реальное число. Определять

H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},

где нижняя грань проходит по всем счетным покрытиям $S$ по наборам $U_{i}\subset X$ удовлетворяющий $\operatorname {diam} U_{i}<\delta$ .

Обратите внимание, что $H_{\delta }^{d}(S)$ монотонно не возрастает по $\delta$ поскольку чем больше $\delta$ то есть, чем больше коллекций наборов разрешено, тем меньше нижняя нижняя грань. Таким образом, $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ существует, но может быть бесконечным. Позволять

H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).

Видно, что $H^{d}(S)$ является внешней мерой (точнее, это метрическая внешняя мера ). По теореме Каратеодори о расширении его ограничение на σ-поле измеримых по Каратеодори множеств является мерой. Это называется $d$ - размерная мера Хаусдорфа $S$ . Благодаря свойству метрической внешней меры все борелевские подмножества $X$ являются $H^{d}$ измеримый.

В приведенном выше определении множества в накрытии произвольны. Однако мы можем потребовать, чтобы покрывающие множества были открытыми или замкнутыми, а в нормированных пространствах даже выпуклыми, что даст то же самое $H_{\delta }^{d}(S)$ числа, следовательно, та же мера. В $\mathbb {R} ^{n}$ ограничение покрывающих множеств шарами может изменить меры, но не меняет размерность измеряемых множеств.

Свойства мер Хаусдорфа

Обратите внимание, что если d — целое положительное число, d -мерная мера Хаусдорфа $\mathbb {R} ^{d}$ является масштабированием обычной d -мерной меры Лебега $\lambda _{d}$ , нормированный так, что мера Лебега единичного куба [0,1] ^д равен 1. Фактически, для любого борелевского E множества

\lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),

где α _d — объем единичного d -шара ; его можно выразить с помощью гамма-функции Эйлера

\alpha _{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{d}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)}}.

Это

\lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E)

,

где $\beta _{d}$ – объем единицы диаметра d -шара.

Замечание . Некоторые авторы принимают несколько иное определение меры Хаусдорфа, чем выбранное здесь, с той разницей, что величина $H^{d}(E)$ определенное выше, умножается на коэффициент $\beta _{d}=2^{-d}\alpha _{d}$ , так что d -мерная мера Хаусдорфа в точности совпадает с мерой Лебега в случае евклидова пространства.

Хаусдорфа с Связь размерностью

Оказывается, что $H^{d}(S)$ может иметь конечное ненулевое значение не более чем для одного $d$ . То есть мера Хаусдорфа равна нулю для любого значения выше определенного измерения и бесконечности ниже определенного измерения, что аналогично идее, что площадь линии равна нулю, а длина двумерной формы в некотором смысле бесконечна. Это приводит к одному из нескольких возможных эквивалентных определений размерности Хаусдорфа:

\dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \},

где мы берем $\inf \emptyset =+\infty$ и $\sup \emptyset =0$ .

Обратите внимание, что не гарантируется, что мера Хаусдорфа должна быть конечной и ненулевой для некоторого d , и действительно, мера в измерении Хаусдорфа все еще может быть нулевой; в этом случае размерность Хаусдорфа по-прежнему действует как точка перехода между мерами нуля и бесконечности.

Обобщения [ править ]

В геометрической теории меры и смежных областях содержимое Минковского часто используется для измерения размера подмножества метрического пространства меры. Для подходящих областей в евклидовом пространстве два понятия размера совпадают с точностью до общей нормализации в зависимости от соглашений. Точнее, подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ Говорят, что это $m$ -спрямляемо , если оно является образом ограниченного множества в $\mathbb {R} ^{m}$ под функцией Липшица . Если $m<n$ , тогда $m$ -мерное содержание Минковского замкнутого $m$ -исправляемое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ равно $2^{-m}\alpha _{m}$ раз $m$ -мерная мера Хаусдорфа ( Федерер, 1969 , теорема 3.2.29).

Во фрактальной геометрии некоторые фракталы с хаусдорфовой размерностью $d$ иметь ноль или бесконечность $d$ -мерная мера Хаусдорфа. Например, почти наверняка образ плоского броуновского движения имеет хаусдорфову размерность 2, а его двумерная мера Хаусдорфа равна нулю. Чтобы «измерить» «размер» таких множеств, можно рассмотреть следующую вариацию понятия меры Хаусдорфа:

В определении меры

(\operatorname {diam} U_{i})^{d}

заменяется на

\phi (U_{i}),

где

\phi

— это любая монотонно возрастающая функция множества, удовлетворяющая

\phi (\emptyset )=0.

Это мера Хаусдорфа. $S$ с функцией манометра $\phi ,$ или $\phi$ - мера Хаусдорфа. А $d$ -мерный набор $S$ может удовлетворить $H^{d}(S)=0,$ но $H^{\phi }(S)\in (0,\infty )$ с соответствующим $\phi .$ Примеры калибровочных функций включают в себя

\phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.

Первое дает почти наверняка положительные и $\sigma$ -конечная мера броуновского пути в $\mathbb {R} ^{n}$ когда $n>2$ , и последний, когда $n=2$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Эванс, Лоуренс К.; Гариепи, Рональд Ф. (1992), Теория меры и тонкие свойства функций , CRC Press .
Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4 .
Хаусдорф, Феликс (1918), «Размерность и внешняя мера» (PDF) , Mathematical Annals , 79 (1–2): 157–179, doi : 10.1007/BF01457179 , S2CID 122001234 .
Морган, Фрэнк (1988), Геометрическая теория меры , Academic Press .
Роджерс, Калифорния (1998), Меры Хаусдорфа , Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
Шпильрайн, Э (1937), «La Dimension et la Mesure» (PDF) , «Основы математики» , 28 : 81–89, doi : 10.4064/fm-28-1-81-89 .

Внешние ссылки [ править ]