Функция измерения

В математике понятие ( точной ) размерной функции (также известной как калибровочная функция ) является инструментом в изучении фракталов и других подмножеств метрических пространств . Функции размерности являются обобщением простого « от диаметра к размерности », степенного закона используемого при построении s -мерной меры Хаусдорфа .

Мотивация: s -мерная мера Хаусдорфа.

Основная статья: измерение Хаусдорфа

Рассмотрим метрическое пространство ( , d ) и подмножество E из X. X Для числа s ≥ 0 s -мерная мера Хаусдорфа E , обозначаемая µ ^с ( E ), определяется формулой

$\mu ^{s}(E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }^{s}(E),$

где

$\mu _{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mathrm {diam} (C_{i})^{s}\right|\mathrm {diam} (C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}\supseteq E\right\}.$

м _д ^с ( E ) можно рассматривать как аппроксимацию «истинной» s -мерной площади/объема E, заданной путем вычисления минимальной s -мерной площади/объема покрытия E наборами диаметра не более δ .

В зависимости от возрастания s , µ ^с ( E ) не возрастает. Фактически, для всех значений s , кроме, возможно, одного, H ^с ( E ) равно 0 или +∞; это исключительное значение называется размерностью Хаусдорфа E и здесь обозначается dim _H ( E ). Интуитивно говоря, µ ^с ( E ) = +∞ для s < dim _H ( E ) по той же причине, что 1-мерная линейная длина 2-мерного диска в евклидовой плоскости равна +∞; аналогично, мкм ^с ( E ) = 0 для s > dim _H ( E ) по той же причине, по которой трехмерный объем диска в евклидовой плоскости равен нулю.

Идея размерной функции состоит в том, чтобы использовать функции диаметра, отличные от просто diam( C ). ^с для некоторого s и искать то же свойство конечной и ненулевой меры Хаусдорфа.

Определение

Пусть ( X , d метрическое пространство и E ⊆ X. ) — Пусть h : [0, +∞) → [0, +∞] — функция. Определить μ ^час ( Е ) по

$\mu ^{h}(E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }^{h}(E),$

где

$\mu _{\delta }^{h}(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }h\left(\mathrm {diam} (C_{i})\right)\right|\mathrm {diam} (C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}\supseteq E\right\}.$

Тогда h называется ( точной ) размерной функцией (или калибровочной функцией ) для E, если µ ^час ( E ) конечно и строго положительно. Существует множество соглашений относительно свойств, которыми должен обладать h : например, Роджерс (1998) требует, чтобы h был монотонно возрастающим при t ≥ 0, строго положительным при t > 0 и непрерывным справа для всех t ≥ 0. .

Размер упаковки

Размерность упаковки строится очень похоже на размерность Хаусдорфа, за исключением того, что E «упаковывается» изнутри попарно непересекающимися шарами диаметром не более δ . Как и раньше, можно рассматривать функции h : [0, +∞) → [0, +∞] более общие, чем h ( δ ) = δ ^с и назовем h точной размерной функцией для E, если h -мера упаковки E конечна и строго положительна.

Пример

Почти наверняка выборочный путь X броуновского движения в евклидовой плоскости имеет хаусдорфову размерность, равную 2, но двумерная мера Хаусдорфа µ ² ( X ) равен нулю. Точная размерная функция h определяется логарифмической поправкой

$h(r)=r^{2}\cdot \log {\frac {1}{r}}\cdot \log \log \log {\frac {1}{r}}.$

Т.е. с вероятностью единица 0 < µ ^час ( X ) < +∞ для броуновского пути X в R ² . Для броуновского движения в евклидовом n -пространстве R ^н при n ≥ 3 точная размерная функция равна

$h(r)=r^{2}\cdot \log \log {\frac {1}{r}}.$

Ссылки

• Олсен, Л. (2003). «Точные размерные функции Хаусдорфа некоторых канторовых множеств». Нелинейность . 16 (3): 963–970. дои : 10.1088/0951-7715/16/3/309 .
• Роджерс, Калифорния (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. ххх+195. ISBN  0-521-62491-6 .