Отношение борелевской эквивалентности
В математике борелевское отношение эквивалентности на польском пространстве X — это отношение эквивалентности на X , которое является борелевским подмножеством X × X (в топологии произведения ).
Учитывая борелевские отношения эквивалентности E и F на польских пространствах X и Y соответственно, можно сказать, что E борелевски сводимо к F в символах E ≤ B F тогда и только тогда, когда существует борелевская функция
- Θ : X → Y
такой, что для всех x , x ' ∈ X имеет место
- Икс Е Икс ' ⇔ Θ( Икс ) F Θ( Икс ').
Концептуально, если E сводится по Борелю к F , то E «не сложнее», чем F , и фактор-пространство X / E имеет меньшую или равную «борелевскую мощность», чем Y / F , где «борелевская мощность» аналогична мощности за исключением ограничения на определяемость сопоставления свидетелей.
Куратовского [ Теорема
Пространство с мерой X называется стандартным борелевским пространством, если оно борелевски изоморфно борелевскому подмножеству польского пространства. Теорема Куратовского затем утверждает, что два стандартных борелевских пространства X и Y борелевско-изоморфны тогда и только тогда, когда | Х | = | Ю |.
См. также [ править ]
- Гиперконечное отношение эквивалентности
- Иерархия Ваджа – уровни сложности для наборов реальных
- Антураж (топология) — топологическое пространство с понятием единых свойств.
Ссылки [ править ]
- Харрингтон, Луизиана; А.С. Кехрис; А. Луво (октябрь 1990 г.). «Дихотомия Глимма – Эффроса для борелевских отношений эквивалентности» . Журнал Американского математического общества . 3 (2): 903–928. дои : 10.2307/1990906 . JSTOR 1990906 .
- Кекрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-94374-9 .
- Сильвер, Джек Х. (1980). «Подсчет числа классов эквивалентности Бореля и коаналитических отношений эквивалентности». Анналы математической логики . 18 (1): 1–28. дои : 10.1016/0003-4843(80)90002-9 .
- Кановей, Владимир ; Борелевские отношения эквивалентности. Структура и классификация. Серия университетских лекций, 44. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. x+240 стр. ISBN 978-0-8218-4453-3