Измеримая функция

В математике и, в частности, в теории меры , измеримая функция — это функция между основными множествами двух измеримых пространств , которая сохраняет структуру пространств: прообраз любого измеримого множества измерим. Это прямая аналогия с определением, что непрерывная функция между топологическими пространствами сохраняет топологическую структуру: прообраз любого открытого множества открыт. В реальном анализе измеримые функции используются при определении интеграла Лебега . В теории вероятностей измеримая функция в вероятностном пространстве называется случайной величиной .

Формальное определение

Позволять $(X,\Sigma )$ и $(Y,\mathrm {T} )$ быть измеримыми пространствами, а это означает, что $X$ и $Y$ комплекты оснащены соответствующими $\sigma$ -алгебры $\Sigma$ и $\mathrm {T} .$ Функция $f:X\to Y$ называется измеримым, если для каждого $E\in \mathrm {T}$ прообраз $E$ под $f$ находится в $\Sigma$ ; то есть для всех $E\in \mathrm {T}$ $f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .$

То есть, $\sigma (f)\subseteq \Sigma ,$ где $\sigma (f)$ — σ-алгебра, порожденная f . Если $f:X\to Y$ является измеримой функцией, пишут $f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).$ подчеркнуть зависимость от $\sigma$ -алгебры $\Sigma$ и $\mathrm {T} .$

Варианты использования термина

Выбор $\sigma$ -алгебры в приведенном выше определении иногда подразумеваются и оставляются на усмотрение контекста. Например, для $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ или других топологических пространствах, борелевскую алгебру обычно выбирают (порожденную всеми открытыми множествами). Некоторые авторы определяют измеримые функции как исключительно вещественные по отношению к алгебре Бореля. ^[1]

Если значения функции лежат в бесконечномерном векторном пространстве , существуют другие неэквивалентные определения измеримости, такие как слабая измеримость и измеримость по Бохнеру .

Известные классы измеримых функций

Случайные переменные по определению представляют собой измеримые функции, определенные в вероятностных пространствах.
Если $(X,\Sigma )$ и $(Y,T)$ — борелевские пространства , измеримая функция $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ также называется функцией Бореля . Непрерывные функции являются функциями Бореля, но не все функции Бореля непрерывны. Однако измеримая функция — это почти непрерывная функция; см. теорему Лузина . Если функция Бореля является частью карты $Y\xrightarrow {~\pi ~} X,$ оно называется борелевским сечением .
— Измеримая функция Лебега это измеримая функция. $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),$ где ${\mathcal {L}}$ это $\sigma$ -алгебра измеримых по Лебегу множеств и ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ — борелевская алгебра комплексных чисел $\mathbb {C} .$ Измеримые функции Лебега представляют интерес для математического анализа , поскольку их можно интегрировать. В случае $f:X\to \mathbb {R} ,$ $f$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда $\{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ измеримо для всех $\alpha \in \mathbb {R} .$ Это также эквивалентно любому из $\{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}$ быть измеримым для всех $\alpha ,$ или прообраз любого открытого множества измерим. Непрерывные функции, монотонные функции, ступенчатые функции, полунепрерывные функции, интегрируемые по Риману функции и функции ограниченной вариации — все измеримые по Лебегу. ^[2] Функция $f:X\to \mathbb {C}$ измеримо тогда и только тогда, когда измеримы действительная и мнимая части.

Свойства измеримых функций

Сумма и произведение двух комплекснозначных измеримых функций измеримы. ^[3] Как и частное, пока нет деления на ноль. ^[1]
Если $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ и $g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})$ являются измеримыми функциями, то измеримы и их составы $g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).$ ^[1]
Если $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ и $g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})$ – измеримые функции, их состав $g\circ f:X\to Z$ не должно быть $(\Sigma _{1},\Sigma _{4})$ -измеримо, если только $\Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.$ Действительно, две измеримые по Лебегу функции можно построить так, чтобы их композиция стала неизмеримой по Лебегу.
(Поточечно) верхняя грань , нижняя грань , верхний предел и нижний предел последовательности (т. е. счетного множества) вещественнозначных измеримых функций также измеримы. ^[1]^[4]
Поточечный предел последовательности измеримых функций $f_{n}:X\to Y$ измеримо, где $Y$ — метрическое пространство (наделенное алгеброй Бореля). В целом это неверно, если $Y$ является неметризуемым. Соответствующее утверждение для непрерывных функций требует более строгих условий, чем поточечная сходимость, таких как равномерная сходимость. ^[5]^[6]

Неизмеримые функции

Функции с действительным знаком, встречающиеся в приложениях, обычно измеримы; однако нетрудно доказать существование неизмеримых функций. Такие доказательства существенно опираются на аксиому выбора в том смысле, что теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора не доказывает существование таких функций.

В любом пространстве меры $(X,\Sigma )$ с неизмеримым множеством $A\subset X,$ $A\notin \Sigma ,$ можно построить неизмеримую индикаторную функцию : $\mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}$ где $\mathbb {R}$ снабжена обычной борелевской алгеброй . Это неизмеримая функция, поскольку прообраз измеримого множества $\{1\}$ является неизмеримым $A.$

Другой пример: любая непостоянная функция $f:X\to \mathbb {R}$ неизмерима относительно тривиального $\sigma$ -алгебра $\Sigma =\{\varnothing ,X\},$ поскольку прообраз любой точки диапазона является некоторым собственным непустым подмножеством $X,$ который не является элементом тривиального $\Sigma .$

См. также

Измеримая функция Бохнера
Пространство Бохнера - Тип топологического пространства.
Пространство Lp - Функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p - Векторные пространства измеримых функций: $L^{p}$ пространства
Динамическая система, сохраняющая меру - Предмет исследования эргодической теории.
Векторная мера
Слабо измеримая функция

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6 .
^ Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49756-6 .
^ Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения . Уайли. ISBN 0-471-31716-0 .
^ Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN 0-02-404151-3 .
^ Дадли, РМ (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00754-2 .
^ Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечный размерный анализ, Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-29587-7 .

Внешние ссылки

[strichartz-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Стрихарц, Роберт (2000). Путь анализа . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-7637-1497-6 .

[carothers-2] Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49756-6 .

[folland-3] Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения . Уайли. ISBN 0-471-31716-0 .

[royden-4] Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN 0-02-404151-3 .

[dudley-5] Дадли, РМ (2002). Реальный анализ и вероятность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-00754-2 .

[aliprantis-6] Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечный размерный анализ, Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-29587-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]