Слабо измеримая функция

В математике , в частности в функциональном анализе , слабо измеримой функцией, принимающей значения в банаховом пространстве , называется функция которой , композиция с любым элементом дуального пространства является измеримой функцией в обычном (сильном) смысле. Для сепарабельных пространств понятия слабой и сильной измеримости совпадают.

Определение

Если $(X,\Sigma )$ представляет собой измеримое пространство и $B$ является банаховым пространством над полем $\mathbb {K}$ (это реальные цифры $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$), затем $f:X\to B$ называется слабо измеримым , если для любого непрерывного линейного функционала $g:B\to \mathbb {K} ,$ функция $$g\circ f\colon X\to \mathbb {K} \quad {\text{ defined by }}\quad x\mapsto g(f(x))$$является измеримой функцией относительно $\Sigma$ и обычный Борель $\sigma$-алгебра на $\mathbb {K} .$

Измеримую функцию в вероятностном пространстве обычно называют случайной величиной (или случайным вектором, если она принимает значения в векторном пространстве, таком как банахово пространство). $B$).Таким образом, как частный случай приведенного выше определения, если $(\Omega ,{\mathcal {P}})$ — вероятностное пространство, то функция $Z:\Omega \to B$ называется ( $B$-значная) слабая случайная величина (или слабый случайный вектор ), если для любого непрерывного линейного функционала $g:B\to \mathbb {K} ,$ функция $$g\circ Z\colon \Omega \to \mathbb {K} \quad {\text{ defined by }}\quad \omega \mapsto g(Z(\omega ))$$это $\mathbb {K}$-значная случайная величина (т.е. измеримая функция) в обычном смысле по отношению к $\Sigma$ и обычный Борель $\sigma$-алгебра на $\mathbb {K} .$

Свойства

Связь между измеримостью и слабой измеримостью определяется следующим результатом, известным как Петтиса теорема или теорема измеримости Петтиса .

Функция $f$ считается почти наверняка раздельнозначным (или по существу раздельнозначным ), если существует подмножество $N\subseteq X$ с $\mu (N)=0$ такой, что $f(X\setminus N)\subseteq B$ является разделимым.

Теорема   (Петтис, 1938 г.) — Функция $f:X\to B$ определенный в пространстве меры $(X,\Sigma ,\mu )$ и принимать значения в банаховом пространстве $B$ (сильно) измерима (т. е. почти наверняка равна пределу последовательности измеримых счетнозначных функций) тогда и только тогда, когда она одновременно слабо измерима и почти наверняка раздельнозначна.

В случае, если $B$ сепарабельно, поскольку любое подмножество сепарабельного банахова пространства само сепарабельно, можно взять $N$ выше, быть пустым, и отсюда следует, что понятия слабой и сильной измеримости согласуются, когда $B$ является разделимым.

См. также

• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Бохнера
• Пространство Бохнера - Тип топологического пространства.
• Интеграл Петтиса
• Векторная мера

Ссылки

• Петтис, Би Джей (1938). «Об интегрировании в векторных пространствах» . Пер. амер. Математика. Соц . 44 (2): 277–304. дои : 10.2307/1989973 . ISSN   0002-9947 . МР   1501970 .
• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). «Теорема III.1.1». Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 103 . ISBN  0-8218-0500-2 . МР   1422252 .