Дифференцируемые векторные функции из евклидова пространства

В математической дисциплине функционального анализа дифференцируемая векторная функция из евклидова пространства — это дифференцируемая функция со значением в топологическом векторном пространстве (TVS), области определения которой являются подмножеством некоторого конечномерного евклидова пространства . можно обобщить Понятие производной на функции, область определения и ко-область которых являются подмножествами произвольных топологических векторных пространств (TVS) несколькими способами. Но когда область определения TVS-значной функции является подмножеством конечномерного евклидова пространства , тогда многие из этих понятий становятся логически эквивалентными, что приводит к гораздо более ограниченному числу обобщений производной и, кроме того, дифференцируемость также становится более корректной. по сравнению с общим случаем. В этой статье представлена ​​теория $k$-раз непрерывно дифференцируемые функции на открытом подмножестве $\Omega$ евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ ( $1\leq n<\infty$), что является важным частным случаем дифференциации произвольных TVS. Эта важность частично проистекает из того факта, что каждое конечномерное векторное подпространство топологического векторного пространства Хаусдорфа является TVS изоморфным евклидову пространству. $\mathbb {R} ^{n}$ так что, например, этот специальный случай можно применить к любой функции, областью определения которой является произвольная хаусдорфова TVS, ограничив ее конечномерными векторными подпространствами.

Предполагается, что все векторные пространства находятся над полем. $\mathbb {F} ,$ где $\mathbb {F}$ это либо действительные числа $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$

Непрерывно дифференцируемые векторные функции

Карта $f,$ что также можно обозначить через $f^{(0)},$ между двумя топологическими пространствами называется $0$-раз непрерывно дифференцируемы или $C^{0}$ если оно непрерывное. можно Топологическое вложение также назвать $C^{0}$-вложение .

Кривые

Дифференцируемые кривые являются важным частным случаем дифференцируемых векторнозначных (т.е. TVS-значных) функций, которые, в частности, используются при определении производной Гато . Они имеют фундаментальное значение для анализа отображений между двумя произвольными топологическими векторными пространствами. $X\to Y$ а также анализ TVS-значных отображений из евклидовых пространств , которому посвящена данная статья.

Непрерывная карта $f:I\to X$ из подмножества $I\subseteq \mathbb {R}$ который оценивается в топологическом векторном пространстве $X$ Говорят, что ( один раз или $1$-время ) дифференцируемо, если для всех $t\in I,$ оно дифференцируемо в $t,$ что по определению означает следующий предел в $X$ существует: $$f^{\prime }(t):=f^{(1)}(t):=\lim _{\stackrel {r\to t}{t\neq r\in I}}{\frac {f(r)-f(t)}{r-t}}=\lim _{\stackrel {h\to 0}{t\neq t+h\in I}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$$ где для того, чтобы этот предел был хотя бы четко определен, $t$ должен быть накопления местом $I.$ Если $f:I\to X$ дифференцируема, то говорят, что она непрерывно дифференцируема или $C^{1}$ если его производная , которая является индуцированным отображением $f^{\prime }=f^{(1)}:I\to X,$ является непрерывным. Используя индукцию по $1<k\in \mathbb {N} ,$ карта $f:I\to X$ является $k$-раз непрерывно дифференцируемы или $C^{k}$ если это $k-1^{\text{th}}$ производная $f^{(k-1)}:I\to X$ непрерывно дифференцируема, и в этом случае $k^{\text{th}}$-производная от $f$ это карта $f^{(k)}:=\left(f^{(k-1)}\right)^{\prime }:I\to X.$ Его называют гладким , $C^{\infty },$ или бесконечно дифференцируемо, если оно $k$-раз непрерывно дифференцируемо для любого целого числа $k\in \mathbb {N} .$ Для $k\in \mathbb {N} ,$ это называется $k$-раз дифференцируемо, если $k-1$-раз непрерывные дифференцируемые и $f^{(k-1)}:I\to X$ является дифференцируемым.

Непрерывная функция $f:I\to X$ из непустого и невырожденного интервала $I\subseteq \mathbb {R}$ в топологическое пространство $X$ называется кривой или $C^{0}$ кривая в $X.$ Путь ​ в $X$ представляет собой кривую в $X$ область определения которой компактна, а дуга или C ⁰ -дуга внутри $X$ это путь в $X$ это тоже топологическое вложение . Для любого $k\in \{1,2,\ldots ,\infty \},$ кривая $f:I\to X$ оценивается в топологическом векторном пространстве $X$ называется $C^{k}$-вложение, если оно является топологическим вложением и $C^{k}$ кривая такая, что $f^{\prime }(t)\neq 0$ для каждого $t\in I,$ где это называется $C^{k}$-arc, если это также путь (или, что то же самое, также путь $C^{0}$-arc) помимо того, что он $C^{k}$-вложение.

Дифференцируемость в евклидовом пространстве

Определение кривых, данное выше, теперь расширено за счет функций, значения которых определены на подмножествах $\mathbb {R}$ к функциям, определенным на открытых подмножествах конечномерных евклидовых пространств .

Всюду пусть $\Omega$ быть открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n},$ где $n\geq 1$ является целым числом. Предполагать $t=\left(t_{1},\ldots ,t_{n}\right)\in \Omega$ и $f:\operatorname {domain} f\to Y$ это такая функция, что $t\in \operatorname {domain} f$ с $t$ точка накопления $\operatorname {domain} f.$ Затем $f$ дифференцируема в $t$ если существуют $n$ векторы $e_{1},\ldots ,e_{n}$ в $Y,$ называемые частными производными $f$ в $t$, такой, что $$\lim _{\stackrel {p\to t}{t\neq p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f(t)-\sum _{i=1}^{n}\left(p_{i}-t_{i}\right)e_{i}}{\|p-t\|_{2}}}=0{\text{ in }}Y$$ где $p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right).$ Если $f$ дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Если $f$ дифференцируема в каждой точке некоторого подмножества $S$ своего домена, то $f$ Говорят, что ( один раз или $1$-время ) дифференцируемо по $S$, где, если подмножество $S$ не упоминается, то это означает, что оно дифференцируемо в каждой точке своей области определения. Если $f$ дифференцируема, и если каждая из ее частных производных является непрерывной функцией, то $f$ Говорят, что ( один раз или $1$-время ) непрерывно дифференцируемое или $C^{1}.$ Для $k\in \mathbb {N} ,$ определив, что это означает для функции $f$ быть $C^{k}$ (или $k$ раз непрерывно дифференцируемы), говорят, что $f$ является $k+1$ раз непрерывно дифференцируемы или что $f$ является $C^{k+1}$ если $f$ непрерывно дифференцируема, и каждая из ее частных производных равна $C^{k}.$ Скажи это $f$ является $C^{\infty },$ гладкий , $C^{\infty },$ или бесконечно дифференцируемо, если $f$ является $C^{k}$ для всех $k=0,1,\ldots .$ Поддержка ​ функции $f$ является замыканием (взятым в своей области $\operatorname {domain} f$) из множества $\{x\in \operatorname {domain} f:f(x)\neq 0\}.$

Пространства C ^к векторные функции

Смотрите также: Распределение (математика)

В этом разделе пространство гладких основных функций и его каноническая LF-топология обобщаются на функции, имеющие значения в общих полных хаусдорфовых локально выпуклых топологических векторных пространствах (TVS). После решения этой задачи выясняется, что топологическое векторное пространство $C^{k}(\Omega ;Y)$ которое было построено, могло бы (с точностью до TVS-изоморфизма) вместо этого быть определено просто как завершенное инъективное тензорное произведение $C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ обычного пространства гладких пробных функций $C^{k}(\Omega )$ с $Y.$

Всюду пусть $Y$ Хаусдорфа — топологическое векторное пространство (ТВП), пусть $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},$ и пусть $\Omega$ быть либо:

1. открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n},$ где $n\geq 1$ является целым числом, иначе
2. топологическое пространство локально компактное , и в этом случае $k$ может быть только $0.$

Пространство C ^к функции

Для любого $k=0,1,\ldots ,\infty ,$ позволять $C^{k}(\Omega ;Y)$ обозначаем векторное пространство всех $C^{k}$ $Y$-значные карты, определенные на $\Omega$ и пусть $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ обозначим векторное подпространство $C^{k}(\Omega ;Y)$ состоящий из всех карт в $C^{k}(\Omega ;Y)$ которые имеют компактную поддержку. Позволять $C^{k}(\Omega )$ обозначать $C^{k}(\Omega ;\mathbb {F} )$ и $C_{c}^{k}(\Omega )$ обозначать $C_{c}^{k}(\Omega ;\mathbb {F} ).$ Давать $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ топология равномерной сходимости функций вместе с их производными порядка $<k+1$ на компактных подмножествах $\Omega .$ Предполагать $\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \cdots$ представляет собой последовательность относительно компактных открытых подмножеств $\Omega$ чей союз $\Omega$ и это удовлетворяет ${\overline {\Omega _{i}}}\subseteq \Omega _{i+1}$ для всех $i.$ Предположим, что $\left(V_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ является базисом окрестностей начала в $Y.$ Тогда для любого целого числа $\ell <k+1,$ наборы: $${\mathcal {U}}_{i,\ell ,\alpha }:=\left\{f\in C^{k}(\Omega ;Y):\left(\partial /\partial p\right)^{q}f(p)\in U_{\alpha }{\text{ for all }}p\in \Omega _{i}{\text{ and all }}q\in \mathbb {N} ^{n},|q|\leq \ell \right\}$$ составляют основу окрестностей начала координат для $C^{k}(\Omega ;Y)$ как $i,$ $\ell ,$ и $\alpha \in A$ варьироваться всеми возможными способами. Если $\Omega$ является счетным объединением компактных подмножеств и $Y$ является пространством Фреше , то и $C^{(}\Omega ;Y).$ Обратите внимание, что ${\mathcal {U}}_{i,l,\alpha }$ является выпуклым всякий раз, когда $U_{\alpha }$ является выпуклым. Если $Y$ метризуема ) , (соответственно полная , локально выпуклая , хаусдорфова то также $C^{k}(\Omega ;Y).$ Если $(p_{\alpha })_{\alpha \in A}$ является базисом непрерывных полунорм для $Y$ то базис непрерывных полунорм на $C^{k}(\Omega ;Y)$ является: $$\mu _{i,l,\alpha }(f):=\sup _{y\in \Omega _{i}}\left(\sum _{|q|\leq l}p_{\alpha }\left(\left(\partial /\partial p\right)^{q}f(p)\right)\right)$$ как $i,$ $\ell ,$ и $\alpha \in A$ варьироваться всеми возможными способами.

Пространство C ^к функции с носителем в компактном подмножестве

Определение топологии пространства тестовых функций теперь дублируется и обобщается. Для любого компактного подмножества $K\subseteq \Omega ,$ обозначаем множество всех $f$ в $C^{k}(\Omega ;Y)$ чья поддержка заключается в $K$ (в частности, если $f\in C^{k}(K;Y)$ тогда область $f$ является $\Omega$ скорее, чем $K$) и придадим ему топологию подпространства, индуцированную $C^{k}(\Omega ;Y).$ Если $K$ представляет собой компактное пространство и $Y$ является банаховым пространством, то $C^{0}(K;Y)$ становится банаховым пространством, нормированным $\|f\|:=\sup _{\omega \in \Omega }\|f(\omega )\|.$ Позволять $C^{k}(K)$ обозначать $C^{k}(K;\mathbb {F} ).$ Для любых двух компактных подмножеств $K\subseteq L\subseteq \Omega ,$ включение $$\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K;Y)\to C^{k}(L;Y)$$ является встраиванием TVS и объединением всех $C^{k}(K;Y),$ как $K$ варьируется в пределах компактных подмножеств $\Omega ,$ является $C_{c}^{k}(\Omega ;Y).$

Пространство компактного носителя C ^к функции

Для любого компактного подмножества $K\subseteq \Omega ,$ позволять $$\operatorname {In} _{K}:C^{k}(K;Y)\to C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$$ обозначим карту включения и обозначим $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ с самой сильной топологией, делающей все $\operatorname {In} _{K}$ непрерывна, что известно как окончательная топология, индуцированная этим отображением. Пространства $C^{k}(K;Y)$ и карты $\operatorname {In} _{K_{1}}^{K_{2}}$ образуют прямую систему (направляемую компактными подмножествами $\Omega$), предел которых в категории ТВС составляет $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ вместе с инъекциями $\operatorname {In} _{K}.$ Пространства $C^{k}\left({\overline {\Omega _{i}}};Y\right)$ и карты $\operatorname {In} _{\overline {\Omega _{i}}}^{\overline {\Omega _{j}}}$ также образуют прямую систему (направленную общим порядком $\mathbb {N}$), предел которых в категории ТВС составляет $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ вместе с инъекциями $\operatorname {In} _{\overline {\Omega _{i}}}.$ Каждое вложение $\operatorname {In} _{K}$ является встраиванием TVS. Подмножество $S$ из $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ является окрестностью начала координат в $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ тогда и только тогда, когда $S\cap C^{k}(K;Y)$ является окрестностью начала координат в $C^{k}(K;Y)$ для каждого компакта $K\subseteq \Omega .$ Эта прямая предельная топология (т.е. окончательная топология) на $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ известна как каноническая топология LF .

Если $Y$ — хаусдорфово локально выпуклое пространство, $T$ это ТВС, и $u:C_{c}^{k}(\Omega ;Y)\to T$ является линейным отображением, то $u$ непрерывна тогда и только тогда, когда для всех компактных $K\subseteq \Omega ,$ ограничение $u$ к $C^{k}(K;Y)$ является непрерывным. Утверждение остается верным, если «все компактные $K\subseteq \Omega$" заменяется на "все $K:={\overline {\Omega }}_{i}$".

Характеристики

Теорема - Позволять $m$ целое положительное число и пусть $\Delta$ быть открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{m}.$ Данный $\phi \in C^{k}(\Omega \times \Delta ),$ для любого $y\in \Delta$ позволять $\phi _{y}:\Omega \to \mathbb {F}$ определяться $\phi _{y}(x)=\phi (x,y)$ и пусть $I_{k}(\phi ):\Delta \to C^{k}(\Omega )$ определяться $I_{k}(\phi )(y):=\phi _{y}.$ Затем $$I_{\infty }:C^{\infty }(\Omega \times \Delta )\to C^{\infty }(\Delta ;C^{\infty }(\Omega ))$$ является сюръективным изоморфизмом TVS. Более того, его ограничение $$I_{\infty }{\big \vert }_{C_{c}^{\infty }\left(\Omega \times \Delta \right)}:C_{c}^{\infty }(\Omega \times \Delta )\to C_{c}^{\infty }\left(\Delta ;C_{c}^{\infty }(\Omega )\right)$$ является изоморфизмом TVS (где $C_{c}^{\infty }\left(\Omega \times \Delta \right)$ имеет свою каноническую топологию LF).

Теорема - Позволять $Y$ — хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство и для любой непрерывной линейной формы $y^{\prime }\in Y$ и каждый $f\in C^{\infty }(\Omega ;Y),$ позволять $J_{y^{\prime }}(f):\Omega \to \mathbb {F}$ определяться $J_{y^{\prime }}(f)(p)=y^{\prime }(f(p)).$ Затем $$J_{y^{\prime }}:C^{\infty }(\Omega ;Y)\to C^{\infty }(\Omega )$$ — непрерывное линейное отображение; и более того, его ограничение $$J_{y^{\prime }}{\big \vert }_{C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)}:C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)\to C^{\infty }(\Omega )$$ также непрерывен (где $C_{c}^{\infty }(\Omega ;Y)$ имеет каноническую топологию LF).

Идентификация как тензорное произведение

Предположим впредь, что $Y$ является Хаусдорф. Дана функция $f\in C^{k}(\Omega )$ и вектор $y\in Y,$ позволять $f\otimes y$ обозначим карту $f\otimes y:\Omega \to Y$ определяется $(f\otimes y)(p)=f(p)y.$ Это определяет билинейное отображение $\otimes :C^{k}(\Omega )\times Y\to C^{k}(\Omega ;Y)$ в пространство функций, образ которых содержится в конечномерном векторном подпространстве $Y;$ это билинейное отображение превращает это подпространство в тензорное произведение $C^{k}(\Omega )$ и $Y,$ который мы будем обозначать $C^{k}(\Omega )\otimes Y.$ Кроме того, если $C_{c}^{k}(\Omega )\otimes Y$ обозначает векторное подпространство $C^{k}(\Omega )\otimes Y$ состоящий из всех функций с компактным носителем, то $C_{c}^{k}(\Omega )\otimes Y$ является тензорным произведением $C_{c}^{k}(\Omega )$ и $Y.$

Если $X$ локально компактен, то $C_{c}^{0}(\Omega )\otimes Y$ плотный в $C^{0}(\Omega ;X)$ а если $X$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ затем $C_{c}^{\infty }(\Omega )\otimes Y$ плотный в $C^{k}(\Omega ;X).$

Теорема — Если $Y$ — полное хаусдорфово локально выпуклое пространство, то $C^{k}(\Omega ;Y)$ канонически изоморфно инъективному тензорному произведению $C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y.$

См. также

• Удобное векторное пространство - локально выпуклые векторные пространства, удовлетворяющие очень мягкому условию полноты. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Морщинистая дуга
• Дифференцирование в пространствах Фреше
• Производная Фреше - производная, определенная в нормированных пространствах.
• Производная Гато - обобщение концепции производной по направлению.
• Бесконечномерная векторная функция - функция, значения которой лежат в бесконечномерном векторном пространстве. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Инъективное тензорное произведение

Ссылки

• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика . Том. 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  9781470424831 . OCLC   185095773 .
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Конспект лекций по математике . Том. 720. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09504-0 . OCLC   5126156 .
• Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1216-7 . МР   0075539 . OCLC   1315788 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9 . OCLC   316564345 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-05644-9 . OCLC   539541 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Райан, Раймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Монографии Спрингера по математике . Лондон Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  978-1-85233-437-6 . ОСЛК   48092184 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .