Почти открытая карта

В функциональном анализе и смежных областях математики почти открытая карта между топологическими пространствами — это карта , которая удовлетворяет условию, аналогичному, но более слабому, чем условие открытости . Как описано ниже, для некоторых широких категорий топологических векторных пространств все сюръективные линейные операторы обязательно почти открыты.

Определения

Учитывая сюръективную карту $f:X\to Y,$ точка $x\in X$ называется точка открытости для $f$ и $f$ говорят, что он открыт в $x$ (или открытая карта на сайте $x$), если для каждой открытой окрестности $U$ из $x,$ $f(U)$ это район ​ $f(x)$ в $Y$ (обратите внимание, что окрестности $f(U)$ не обязательно должна быть открытой окрестностью).

Сюръективное отображение называется открытым, если оно открыто в каждой точке своей области, тогда как оно называется почти открытым, каждый из его слоев имеет некоторую точку открытости. Явно, сюръективное отображение $f:X\to Y$ называется почти открытым, если для каждого $y\in Y,$ существует какой-то $x\in f^{-1}(y)$ такой, что $f$ открыт в $x.$ Всякая почти открытая сюръекция обязательно является псевдооткрытая карта (введенная Александром Архангельским в 1963 году), которая по определению означает, что для каждого $y\in Y$ и каждый район $U$ из $f^{-1}(y)$ (то есть, $f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U$), $f(U)$ обязательно является окрестностью $y.$

Почти открытая линейная карта

Линейная карта $T:X\to Y$ между двумя топологическими векторными пространствами (TVS) называется почти открытое линейное отображение или почти открытое линейное отображение , если для любой окрестности $U$ из $0$ в $X,$ закрытие $T(U)$ в $Y$ является окрестностью начала координат. Важно отметить, что некоторые авторы используют другое определение «почти открытой карты», в котором вместо этого они требуют, чтобы линейное отображение $T$ удовлетворить: для любого района $U$ из $0$ в $X,$ закрытие $T(U)$ в $T(X)$ (а не в $Y$) – окрестность начала координат; в этой статье не будет использоваться это определение.

Если линейное отображение $T:X\to Y$ тогда почти открыто, потому что $T(X)$ является векторным подпространством $Y$ который содержит окрестность начала координат в $Y,$ карта $T:X\to Y$ обязательно сюръективен . По этой причине многие авторы требуют сюръективности как части определения «почти открытого».

Если $T:X\to Y$ является биективным линейным оператором, то $T$ почти открыт тогда и только тогда, когда $T^{-1}$ является почти непрерывным .

Связь с открытыми картами

Любая сюръективная открытая карта является почти открытой картой, но в общем случае обратное не обязательно верно. Если сюръекция $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ — почти открытое отображение, то оно будет открытым, если оно удовлетворяет следующему условию (условию, не зависящему от никак $Y$топология $\sigma$):

в любое время $m,n\in X$ принадлежат одному и тому волокну же $f$ (то есть, $f(m)=f(n)$) тогда для каждой окрестности $U\in \tau$ из $m,$ существует какое-то соседство $V\in \tau$ из $n$ такой, что $F(V)\subseteq F(U).$

Если карта непрерывна, то указанное выше условие также необходимо для того, чтобы карта была открытой. То есть, если $f:X\to Y$ является непрерывной сюръекцией, то оно является открытым отображением тогда и только тогда, когда оно почти открыто и удовлетворяет указанному выше условию.

Теоремы об открытом отображении

Теорема : Если $T:X\to Y$ — сюръективный линейный оператор из локально выпуклого пространства $X$ на бочковое пространство $Y$ затем $T$ почти открыт .

Теорема : Если $T:X\to Y$ — сюръективный линейный оператор из TVS $X$ на пространство Бэра $Y$ затем $T$ почти открыт .

Две приведенные выше теоремы не требуют, чтобы сюръективное линейное отображение удовлетворяло каким-либо топологическим условиям.

Теорема : Если $X$ является полной псевдометризуемой TVS , $Y$ является хаусдорфовой TVS, и $T:X\to Y$ является замкнутой и почти открытой линейной сюръекцией, то $T$ это открытая карта.

Теорема : Предполагать $T:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор из полной псевдометризуемой TVS $X$ в ТВС Хаусдорфа $Y.$ Если изображение $T$ не скуден в $Y$ затем $T:X\to Y$ является сюръективным открытым отображением и $Y$ является полным метризуемым пространством.

См. также

• Почти открытый набор — отличие открытого набора от скудного набора. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Ограниченная обратная теорема – условие открытия линейного оператора. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Закрытый график — график карты, закрытой в пространстве продукта. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Теорема о замкнутом графе - Теорема о непрерывности графов
• Открытое множество - базовое подмножество топологического пространства.
• Открытые и закрытые карты — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора (также известное как теорема Банаха – Шаудера).
• Квазиоткрытая карта - функция, которая отображает непустые открытые множества в множества, которые имеют непустую внутреннюю часть в своей кодомене.
• Сюръекция пространств Фреше - Характеристика сюръективности
• Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .