Насыщенная семья

В математике, особенно в функциональном анализе , семейство ${\mathcal {G}}$ подмножеств топологического векторного пространства (ТВП) $X$ называется насыщенным, если ${\mathcal {G}}$ содержит непустое подмножество $X$ и если для каждого $G\in {\mathcal {G}},$ выполняются следующие условия:

1. ${\mathcal {G}}$ содержит каждое подмножество $G$;
2. объединение любого конечного набора элементов ${\mathcal {G}}$ является элементом ${\mathcal {G}}$;
3. для каждого скаляра $a,$ ${\mathcal {G}}$ содержит $aG$;
4. замкнутая выпуклая сбалансированная оболочка $G$ принадлежит ${\mathcal {G}}.$

Определения

Если ${\mathcal {S}}$ это любая совокупность подмножеств $X$ тогда наименьшее насыщенное семейство, содержащее ${\mathcal {S}}$ называется насыщенной оболочкой ${\mathcal {S}}.$

Семья ${\mathcal {G}}$ говорят, покрывает $X$ если профсоюз $\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G$ равно $X$; оно тотально , если линейная оболочка этого множества является плотным подмножеством $X.$

Примеры

Пересечение произвольного семейства насыщенных семейств является насыщенным семейством. Поскольку мощности набор $X$ насыщено, любое данное непустое семейство ${\mathcal {G}}$ подмножеств $X$ содержащее хотя бы одно непустое множество, насыщенная оболочка ${\mathcal {G}}$ четко определен. Обратите внимание, что насыщенное семейство подмножеств $X$ который охватывает $X$ это борнология на $X.$

Множество всех ограниченных подмножеств топологического векторного пространства является насыщенным семейством.

См. также

• Топология равномерной сходимости
• Топологическая векторная решетка
• Векторная решетка — частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .