Прерывистая линейная карта

В математике линейные карты образуют важный класс «простых» функций , сохраняющих алгебраическую структуру линейных пространств и часто используемых в качестве приближений к более общим функциям (см. линейная аппроксимация ). Если рассматриваемые пространства также являются топологическими пространствами (то есть топологическими векторными пространствами ), то имеет смысл задаться вопросом, все ли линейные отображения непрерывны . Оказывается, что для отображений, определенных на бесконечномерных топологических векторных пространствах (например, бесконечномерных нормированных пространствах ), ответ обычно отрицательный: существуют разрывные линейные отображения . Если область определения полная , это сложнее; Можно доказать, что такие карты существуют, но доказательство опирается на аксиому выбора и не дает явного примера.

Линейная карта конечномерного пространства всегда непрерывна

Пусть X и Y — два нормированных пространства и $f:X\to Y$ линейное отображение X до Y. от Если X конечномерно , выберите базис $\left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right)$ в X, которые можно считать единичными векторами. Затем,

$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),$$

и, следовательно, по неравенству треугольника ,

$$\|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.$$

Сдача в аренду

$$M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},$$

и используя тот факт, что

$$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|$$

для некоторого C > 0, что следует из того факта, что любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны , находим

$$\|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|.$$

Таким образом, $f$ является ограниченным линейным оператором и поэтому непрерывен. Фактически, чтобы убедиться в этом, просто заметьте, что f линейна,и поэтому $\|f(x)-f(x')\|=\|f(x-x')\|\leq K\|x-x'\|$ для некоторой универсальной константы K . Таким образом, для любого $\epsilon >0,$мы можем выбрать $\delta \leq \epsilon /K$ так что $f(B(x,\delta ))\subseteq B(f(x),\epsilon )$ ( $B(x,\delta )$ и $B(f(x),\epsilon )$ нормированные шары вокруг $x$ и $f(x)$), что обеспечивает непрерывность.

Если X бесконечномерно, это доказательство не удастся, поскольку нет гарантии супремума M. существования Если Y — нулевое пространство {0}, единственное отображение между X и Y — это нулевое отображение, которое тривиально непрерывно. Во всех остальных случаях, когда X бесконечномерно и Y не является нулевым пространством, можно найти разрывное отображение из X в Y .

Конкретный пример

Примеры разрывных линейных отображений легко построить в неполных пространствах; на любой последовательности Коши $e_{i}$ линейно независимых векторов, не имеющая предела, существует линейный оператор $T$ такие, что величины $\|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|$ расти без ограничений. В некотором смысле линейные операторы не являются непрерывными, поскольку в пространстве есть «дыры».

Например, рассмотрим пространство $X$ вещественных гладких функций на интервале [0, 1] с равномерной нормой , т. е.

$$\|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.$$

Производная карта в точке , заданная формулой

$$T(f)=f'(0)\,$$

определено на $X$ и с реальными значениями является линейным, но не непрерывным. Действительно, рассмотрим последовательность

$$f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}$$

для $n\geq 1$. Эта последовательность сходится равномерно к постоянно нулевой функции, но

$$T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to \infty$$

как $n\to \infty$ вместо $T(f_{n})\to T(0)=0$, как и для непрерывного отображения. Обратите внимание, что $T$ имеет действительное значение и поэтому на самом деле является линейным функционалом от $X$ (элемент алгебраического дуального пространства $X^{*}$). Линейная карта $X\to X$ которое присваивает каждой функции ее производную, также является разрывным. Обратите внимание, что хотя оператор производной и не является непрерывным, он замкнут .

Важным является тот факт, что область определения здесь не является полной: разрывные операторы в полных пространствах требуют немного больше работы.

Неконструктивный пример

Алгебраический базис действительных чисел как векторного пространства над рациональными числами известен как базис Гамеля (обратите внимание, что некоторые авторы используют этот термин в более широком смысле для обозначения алгебраического базиса любого векторного пространства). Обратите внимание, что любые два несоизмеримых числа, скажем, 1 и $\pi$, линейно независимы. Можно найти базис Гамеля, содержащий их, и определить отображение $f:\mathbb {R} \to R$ так что $f(\pi )=0,$ f действует как тождество на остальной части базиса Гамеля и распространяется на все $\mathbb {R}$ по линейности. Пусть { r _n } _n — любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\pi$. Тогда lim _n f ( r _n ) = π, но $f(\pi )=0.$ По построению f линейна над $\mathbb {Q}$ (не закончилось $\mathbb {R}$), но не непрерывно. Обратите внимание, что f также не измерима ; аддитивная действительная функция является линейной тогда и только тогда , когда она измерима, поэтому для каждой такой функции существует множество Витали . Конструкция f опирается на аксиому выбора.

Этот пример можно расширить до общей теоремы о существовании разрывных линейных отображений в любом бесконечномерном нормированном пространстве (пока кодобласть не тривиальна).

существования

Можно доказать, что разрывные линейные карты существуют в более общем смысле, даже если пространство полно. Пусть X и Y — нормированные пространства над полем K , где $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C} .$ Предположим, что X бесконечномерно и Y не является нулевым пространством. Мы найдем разрывное линейное отображение f из X в K , что будет означать существование разрывного линейного отображения g из X в Y, заданного формулой $g(x)=f(x)y_{0}$ где $y_{0}$ — произвольный ненулевой вектор в Y .

Если X бесконечномерно, доказать существование линейного функционала, который не является непрерывным, равносильно построению f , которое не является ограниченным. этого рассмотрим последовательность ( en ₎ n ₍ Для $n\geq 1$) линейно независимых векторов из X , которые мы нормализуем. Затем мы определяем

$$T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,$$

для каждого $n=1,2,\ldots$ Дополните эту последовательность линейно независимых векторов базисом векторного пространства X , определив T для других векторов в базисе равным нулю. Определенное таким образом T будет однозначно расширяться до линейного отображения на X , и, поскольку оно явно не ограничено, оно не является непрерывным.

Обратите внимание: используя тот факт, что любой набор линейно независимых векторов можно дополнить до базиса, мы неявно использовали аксиому выбора, которая не была необходима для конкретного примера в предыдущем разделе.

аксиомы

Как отмечалось выше, аксиома выбора (АС) используется в общей теореме существования разрывных линейных отображений. На самом деле не существует конструктивных примеров разрывных линейных отображений с полной областью определения (например, банаховых пространств ). В анализе, который обычно практикуют работающие математики, всегда используется аксиома выбора (это аксиома ZFC теории множеств ); таким образом, для аналитика все бесконечномерные топологические векторные пространства допускают разрывные линейные отображения.

С другой стороны, в 1970 году Роберт М. Соловей представил модель теории множеств , в которой каждое множество действительных чисел измеримо. Это означает, что разрывных линейных вещественных функций не существует. Очевидно, переменный ток не учитывается в модели.

Результат Соловея показывает, что нет необходимости предполагать, что все бесконечномерные векторные пространства допускают разрывные линейные отображения, и существуют школы анализа, которые придерживаются более конструктивистской точки зрения. Например, Х.Г. Гарнир в поисках так называемых «пространств мечты» (топологических векторных пространств, в которых каждое линейное отображение в нормированное пространство является непрерывным) был вынужден принять ZF + DC + BP (зависимый выбор — это ослабленная форма и Свойство Бэра является отрицанием сильного AC) в качестве его аксиомы для доказательства теоремы Гарнира-Райта о замкнутом графике , которая, среди прочего, утверждает, что любое линейное отображение F-пространства в TVS непрерывно. Доходя до крайности конструктивизма , существует теорема Чейтина , которая утверждает, что всякая функция непрерывна (это следует понимать в терминологии конструктивизма, согласно которой функциями считаются только представимые функции). Таких позиций придерживается лишь незначительное меньшинство работающих математиков.

В результате существование разрывных линейных отображений зависит от AC; с теорией множеств без AC согласуется тот факт, что на полных пространствах не существует разрывных линейных отображений. В частности, никакая конкретная конструкция, такая как производная, не может успешно определить разрывное линейное отображение всюду на полном пространстве.

Закрытые операторы

Многие естественные линейные разрывные операторы являются замкнутыми — это класс операторов, которые разделяют некоторые особенности непрерывных операторов. Имеет смысл спросить, какие линейные операторы в данном пространстве замкнуты. Теорема о замкнутом графике утверждает, что везде определенный замкнутый оператор в полной области является непрерывным, поэтому для получения разрывного замкнутого оператора необходимо разрешить операторы, которые не определены везде.

Чтобы быть более конкретным, пусть $T$ быть картой из $X$ к $Y$ с доменом $\operatorname {Dom} (T),$ написано $T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.$ Мы не много потеряем, если заменим X замыканием $\operatorname {Dom} (T).$ ограничить внимание плотно определенными операторами То есть при изучении операторов, не всюду определенных, можно без потери общности .

Если график $\Gamma (T)$ из $T$ закрыт в $X\times Y,$ мы называем T закрытым . В противном случае рассмотрим его закрытие ${\overline {\Gamma (T)}}$ в $X\times Y.$ Если ${\overline {\Gamma (T)}}$ сам по себе является графиком некоторого оператора ${\overline {T}},$ $T$ называется закрывающимся , а ${\overline {T}}$ называется закрытием ​ $T.$

Поэтому естественный вопрос, который следует задать о линейных операторах, которые не всюду определены, заключается в том, являются ли они замыкаемыми. Ответ: «не обязательно»; действительно, каждое бесконечномерное нормированное пространство допускает незамыкаемые линейные операторы. Как и в случае с разрывными операторами, рассмотренными выше, доказательство требует аксиомы выбора и поэтому в целом неконструктивно, хотя опять же, если X не полно, существуют конструктивные примеры.

Фактически, есть даже пример линейного оператора, график которого имеет всех замыкание $X\times Y.$ Такой оператор не является закрывающимся. Пусть X — пространство полиномиальных функций от [0,1] до $\mathbb {R}$ и Y пространство полиномиальных функций от [2,3] до $\mathbb {R}$. Они являются подпространствами C ([0,1]) и C ([2,3]) соответственно и, следовательно, нормированными пространствами. Определите оператор T , который переводит полиномиальную функцию x ↦ p ( x ) на [0,1] в ту же функцию на [2,3]. Как следствие теоремы Стоуна–Вейерштрасса график этого оператора плотен в $X\times Y,$ так что это обеспечивает своего рода максимально разрывную линейную карту ( нигде не непрерывную функцию ). Обратите внимание, что X здесь не является полным, как и должно быть в случае, когда существует такое конструктивное отображение.

Влияние на двойные пробелы

Двойственное пространство топологического векторного пространства представляет собой совокупность непрерывных линейных отображений пространства в основное поле. Таким образом, неспособность некоторых линейных отображений быть непрерывными для бесконечномерных нормированных пространств означает, что для этих пространств необходимо отличать алгебраическое двойственное пространство от непрерывного двойственного пространства, которое тогда является собственным подмножеством. Это иллюстрирует тот факт, что при анализе бесконечномерных пространств необходима дополнительная осторожность по сравнению с конечномерными.

За пределами нормированных пространств

Аргумент в пользу существования разрывных линейных отображений в нормированных пространствах можно обобщить на все метризуемые топологические векторные пространства, особенно на все пространства Фреше, но существуют бесконечномерные локально выпуклые топологические векторные пространства, такие, что каждый функционал непрерывен. С другой стороны, теорема Хана-Банаха , применимая ко всем локально выпуклым пространствам, гарантирует существование многих непрерывных линейных функционалов и, следовательно, большого двойственного пространства. Фактически, каждому выпуклому множеству калибровка Минковского сопоставляет непрерывный линейный функционал . В результате пространства с меньшим количеством выпуклых множеств имеют меньше функционалов, а в худшем случае пространство может вообще не иметь никаких функционалов, кроме нулевого функционала. Это относится к $L^{p}(\mathbb {R} ,dx)$ пространства с $0<p<1,$ откуда следует, что эти пространства невыпуклые. Обратите внимание, что здесь указана мера Лебега на действительной прямой. Есть и другие $L^{p}$ пространства с $0<p<1$ которые имеют нетривиальные двойственные пространства.

Другим таким примером является пространство вещественнозначных измеримых функций на единичном интервале с квазинормой , заданной формулой

$$\|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.$$

Это нелокально выпуклое пространство имеет тривиальное двойственное пространство.

Можно рассмотреть и более общие пространства. Например, существование гомоморфизма между полными сепарабельными метрическими группами можно показать и неконструктивно.

См. также

• Наилучшая локально выпуклая топология - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Сублинейная функция - Тип функции в линейной алгебре.

Ссылки

• Константин Костара, Думитру Попа, Упражнения по функциональному анализу , Springer, 2003. ISBN   1-4020-1560-7 .
• Шехтер, Эрик, Справочник по анализу и его основам , Academic Press, 1997. ISBN   0-12-622760-8 .