Аксиома зависимого выбора

В математике аксиома зависимого выбора , обозначаемая ${\mathsf {DC}}$, является слабой формой аксиомы выбора ( ${\mathsf {AC}}$), чего все еще достаточно для разработки большей части настоящего анализа . Он был представлен Полом Бернейсом в статье 1942 года, в которой исследуется, какие теоретико-множественные аксиомы необходимы для развития анализа.

Официальное заявление

Однородное отношение $R$ на $X$ называется тотальным отношением, если для каждого $a\in X,$ существует какой-то $b\in X$ такой, что $a\,R~b$ это правда.

Аксиому зависимого выбора можно сформулировать следующим образом: Для каждого непустого множества $X$ и каждое общее отношение $R$ на $X,$ существует последовательность $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ в $X$ такой, что

$x_{n}\,R~x_{n+1}$ для всех $n\in \mathbb {N} .$

Фактически, x ₀ может быть любым желаемым элементом X . (Чтобы убедиться в этом, примените сформулированную выше аксиому к множеству конечных последовательностей, начинающихся с x ₀ и в которых последующие члены находятся в отношении $R$, вместе с полным отношением на этом множестве второй последовательности, полученным из первой путем добавления одного термина.)

Если набор $X$ выше ограничено набором всех действительных чисел , тогда результирующая аксиома обозначается ${\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.$

Используйте

Даже без такой аксиомы для любого $n$, можно использовать обычную математическую индукцию, чтобы сформировать первое $n$ члены такой последовательности.Аксиома зависимого выбора гласит, что мы можем сформировать целую ( счетно бесконечную таким образом ) последовательность.

Аксиома ${\mathsf {DC}}$ это фрагмент ${\mathsf {AC}}$ чтобы показать существование последовательности, построенной трансфинитной рекурсией счетной это требуется , длины, если необходимо делать выбор на каждом шаге и если некоторые из этих выборов не могут быть сделаны независимо от предыдущих выборов.

Эквивалентные утверждения

Над ${\mathsf {ZF}}$ ( теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), ${\mathsf {DC}}$ эквивалентна теореме Бэра о категориях для полных метрических пространств.

Это также эквивалентно ${\mathsf {ZF}}$ к нисходящей теореме Левенгейма–Скулема .

${\mathsf {DC}}$ также эквивалентно ${\mathsf {ZF}}$ к утверждению, что каждое подрезанное дерево с $\omega$ У уровней есть ветвь ( доказательство ниже ).

Более того, ${\mathsf {DC}}$ эквивалентно ослабленной форме леммы Цорна ; конкретно ${\mathsf {DC}}$ эквивалентно утверждению, что любой частичный порядок , при котором каждая вполне упорядоченная цепь конечна и ограничена, должен иметь максимальный элемент.

showДоказательство того, что $\,{\mathsf {DC}}\iff$ Каждое обрезанное дерево с уровнями ω имеет ветвь

$(\,\Longleftarrow \,)$ Let $R$ be an entire binary relation on $X$. The strategy is to define a tree $T$ on $X$ of finite sequences whose neighboring elements satisfy $R.$ Then a branch through $T$ is an infinite sequence whose neighboring elements satisfy $R.$ Start by defining $\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$ if $x_{k}R\,x_{k+1}$ for $0\leq k<n.$ Since $R$ is entire, $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels. Thus, $T$ has a branch $\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$ So, for all $n\geq 0\!:$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$ which implies $x_{n}R\,x_{n+1}.$ Therefore, ${\mathsf {DC}}$ is true. $(\,\Longrightarrow \,)$ Let $T$ be a pruned tree on $X$ with $\omega$ levels. The strategy is to define a binary relation $R$ on $T$ so that ${\mathsf {DC}}$ produces a sequence $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$ where $t_{n}R\,t_{n+1}$ and $f(n)$ is a strictly increasing function. Then the infinite sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch. (This proof only needs to prove this for $f(n)=m+n.$) Start by defining $u\,R\,v$ if $u$ is an initial subsequence of $v,\operatorname {length} (u)>0,\,$ and $\operatorname {length} (v)=$ $\operatorname {length} (u)+1.$ Since $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels, $R$ is entire. Therefore, ${\mathsf {DC}}$ implies that there is an infinite sequence $t_{n}$ such that $t_{n}\,R\,t_{n+1}.$ Now $t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$ for some $m\geq 0.$ Let $x_{m+n}$ be the last element of $t_{n}.$ Then $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$ For all $k\geq 0,$ the sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$ belongs to $T$ because it is an initial subsequence of $t_{0}\,(k\leq m)$ or it is a $t_{n}\,(k\geq m).$ Therefore, $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch.

Связь с другими аксиомами

В отличие от полной ${\mathsf {AC}}$, ${\mathsf {DC}}$ недостаточно для доказательства (учитывая ${\mathsf {ZF}}$), что существует неизмеримое множество действительных чисел, или что существует множество действительных чисел без свойства Бэра или без свойства совершенного множества . Это следует из того, что модель Соловея удовлетворяет ${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$, и каждый набор действительных чисел в этой модели измерим по Лебегу , обладает свойством Бэра и обладает свойством совершенного множества.

Аксиома зависимого выбора подразумевает аксиому счетного выбора и является строго более сильной.

Аксиому можно обобщить для получения трансфинитных последовательностей. Если им разрешено быть сколь угодно длинными, то это становится эквивалентом полной аксиомы выбора.

Ссылки

• Я, Томас (2003). Теория множеств (изд. Третьего тысячелетия). Спрингер Верлаг . ISBN  3-540-44085-2 . OCLC   174929965 . Збл   1007.03002 .