Неизмеримый набор

В математике — неизмеримое множество это множество , которому нельзя присвоить значимый «объем». Математическое существование таких множеств предназначено для предоставления информации о понятиях длины , площади и объема в формальной теории множеств. В теории множеств Цермело–Френкеля предполагает , аксиома выбора что неизмеримые подмножества $\mathbb {R}$ существовать.

Понятие неизмеримого множества стало источником больших споров с момента его появления. Исторически это привело Бореля и Колмогорова к формулировке теории вероятностей для множеств, которые должны быть измеримы. Измеримые множества на прямой представляют собой итерированные счетные объединения и пересечения интервалов (называемых борелевскими множествами ) плюс-минус нулевые множества . Эти множества достаточно богаты, чтобы включать в себя все мыслимые определения множеств, возникающие в стандартной математике, но они требуют большого формализма, чтобы доказать, что множества измеримы.

В 1970 году Роберт М. Соловей построил модель Соловея , которая показывает, что она согласуется со стандартной теорией множеств без несчетного выбора и что все подмножества действительных чисел измеримы. Однако результат Соловея зависит от существования недоступного кардинала , существование и непротиворечивость которого не могут быть доказаны в рамках стандартной теории множеств.

Исторические постройки

Первым признаком того, что может возникнуть проблема с определением длины произвольного множества, стала теорема Витали . ^[1] Более поздняя комбинаторная конструкция, похожая на конструкцию Робина Томаса неизмеримого по Лебегу множества с некоторыми дополнительными свойствами, появилась в American Mathematical Monthly. ^[2]

Можно было бы ожидать, что мера объединения двух непересекающихся множеств будет суммой меры двух множеств. Мера, обладающая этим естественным свойством, называется конечно-аддитивной . Хотя конечно-аддитивная мера достаточна для большинства интуиций площади и аналогична интегрированию Римана , она считается недостаточной для вероятности , поскольку традиционные современные методы лечения последовательностей событий или случайных величин требуют счетной аддитивности .

В этом отношении плоскость подобна линии; существует конечно-аддитивная мера, расширяющая меру Лебега, инвариантная относительно всех изометрий . Для более высоких измерений картина ухудшается. Парадокс Хаусдорфа и парадокс Банаха-Тарского показывают, что трехмерный шар радиуса 1 можно разделить на 5 частей, которые можно снова собрать, чтобы сформировать два шара радиуса 1.

Пример

Учитывать $S,$ множество всех точек единичного круга и действие на $S$ группой $G$ состоящий из всех рациональных вращений (поворотов на углы, которые являются рациональными кратными $\pi$ ). Здесь $G$ счетно (точнее, $G$ изоморфен $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ) пока $S$ является неисчислимым. Следовательно $S$ распадается на бесчисленное множество орбит под $G$ (орбита $s\in S$ это счетное множество $\{se^{iq\pi }:q\in \mathbb {Q} \}$ ). Используя аксиому выбора , мы могли бы выбрать одну точку на каждой орбите, получив несчетное подмножество $X\subset S$ со свойством, которое переводит все рациональное (переведенные копии формы $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ для какого-то рационального $q$ ) ^[3] из $X$ к $G$ ( попарно не пересекаются то есть не пересекаются с $X$ и друг от друга). Набор этих трансляций разбивает круг на счетный набор непересекающихся множеств, которые все попарно конгруэнтны (путем рациональных вращений). Набор $X$ будет неизмеримым для любой счетно-аддитивной вероятностной меры, инвариантной к вращению на $S$ : если $X$ имеет нулевую меру, счетная аддитивность будет означать, что весь круг имеет нулевую меру. Если $X$ имеет положительную меру, счетная аддитивность показала бы, что окружность имеет бесконечную меру.

Последовательные определения меры и вероятности

Парадокс Банаха -Тарского показывает, что невозможно определить объем в трех измерениях, если не будет сделано одно из следующих пяти уступок: ^{[ нужна ссылка ]}

Громкость набора может измениться при его вращении.
Объем объединения двух непересекающихся множеств может отличаться от суммы их объемов.
Некоторые наборы могут быть помечены как «неизмеримые», и нужно будет проверить, является ли набор «измеримым», прежде чем говорить о его объеме.
Аксиомы ZFC ( теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора), возможно, придется изменить.
Объем $[0,1]^{3}$ является $0$ или $\infty$ .

Теория стандартной меры выбирает третий вариант. Определяется очень богатое семейство измеримых множеств, и почти любое множество, явно определенное в большинстве разделов математики, будет относиться к этому семейству. ^{[ нужна ссылка ]} Обычно очень легко доказать, что данное конкретное подмножество геометрической плоскости измеримо. ^{[ нужна ссылка ]} Фундаментальное предположение состоит в том, что счетная бесконечная последовательность непересекающихся множеств удовлетворяет формуле суммы, свойству, называемому σ-аддитивностью .

В 1970 году Соловей продемонстрировал, что существование неизмеримого множества для меры Лебега недоказуемо в рамках теории множеств Цермело – Френкеля в отсутствие дополнительной аксиомы (такой как аксиома выбора), показав, что ( предполагая непротиворечивость недоступного кардинала ) существует модель ZF, называемая моделью Соловея , в которой имеет место счетный выбор , каждое множество измеримо по Лебегу и в которой полная аксиома выбора не выполняется. ^{[ нужна ссылка ]}

Аксиома выбора эквивалентна фундаментальному результату топологии точечного множества , теореме Тихонова , а также соединению двух фундаментальных результатов функционального анализа, теоремы Банаха-Алаоглу и теоремы Крейна-Мильмана . ^{[ нужна ссылка ]} Это также в значительной степени влияет на изучение бесконечных групп, а также на теорию колец и порядка (см. Булеву теорему о простых идеалах ). ^{[ нужна ссылка ]} Однако аксиомы детерминированности и зависимого выбора вместе достаточны для большинства геометрических теорий меры , теории потенциала , рядов Фурье и преобразований Фурье , делая при этом все подмножества действительной прямой измеримыми по Лебегу. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Парадокс Банаха – Тарского – Геометрическая теорема
Критерий Каратеодори – необходимое и достаточное условие для измеримого множества.
Парадокс Хаусдорфа
Мера (математика) - Обобщение массы, длины, площади и объема.
Неборелевский набор - класс математических наборов.
Внешняя мера – Математическая функция
Множество Витали - множество действительных чисел, не измеримых по Лебегу.

Ссылки

Примечания

^ Мур, Грегори Х., Аксиома выбора Цермело, Springer-Verlag, 1982, стр. 100–101.
^ Садухан, А. (декабрь 2022 г.). «Комбинаторное доказательство существования плотных подмножеств в $\mathbb {R}$ без свойства типа «Штайнхаус». Am. Math. Mon. 130 (2): 175. arXiv : 2201.03735 . doi : 10.1080/00029890.2022.2144665 .
^ Абрего, Бернардо М.; Фернандес-Терчант, Сильвия; Ллано, Бернардо (январь 2010 г.). «О максимальном количестве трансляций в наборе точек» . Дискретная и вычислительная геометрия . 43 (1): 1–20. дои : 10.1007/s00454-008-9111-9 . ISSN 0179-5376 .

Библиография

Дьюдни, АК (1989). «Изготовитель материи предоставляет материю для мысли». Scientific American (апрель): 116–119. doi : 10.1038/scientificamerican0489-116 .

[1] Мур, Грегори Х., Аксиома выбора Цермело, Springer-Verlag, 1982, стр. 100–101.

[2] Садухан, А. (декабрь 2022 г.). «Комбинаторное доказательство существования плотных подмножеств в $\mathbb {R}$ без свойства типа «Штайнхаус». Am. Math. Mon. 130 (2): 175. arXiv : 2201.03735 . doi : 10.1080/00029890.2022.2144665 .

[3] Абрего, Бернардо М.; Фернандес-Терчант, Сильвия; Ллано, Бернардо (январь 2010 г.). «О максимальном количестве трансляций в наборе точек» . Дискретная и вычислительная геометрия . 43 (1): 1–20. дои : 10.1007/s00454-008-9111-9 . ISSN 0179-5376 .

[1]

[2]

[3]