Экзистенциальная количественная оценка

Экзистенциальная количественная оценка
Тип	Квантор
Поле	Математическая логика
Заявление	верно, когда верно хотя бы для одного значения .
Символическое заявление

В логике предикатов экзистенциальная квантификация — это тип квантора , логическая константа , которая интерпретируется как «существует», «есть хотя бы один» или «для некоторых». Обычно он обозначается логического оператора символом ∃, который при использовании вместе с переменной-предикатом называется квантором существования (« $\exists x$ » или « $\exists(x)$ » или « $(\exists x)». [1]$ ). Экзистенциальная количественная оценка отличается от универсальной количественной оценки («для всех»), которая утверждает, что свойство или отношение справедливо для всех членов области. ^[2]^[3] Некоторые источники используют термин экзистенциализация для обозначения экзистенциальной количественной оценки. ^[4]

Количественная оценка в целом рассматривается в статье о количественной оценке (логике) . Квантор существования кодируется как U+2203 ∃ СУЩЕСТВУЕТ в Юникоде , и как \exists в LaTeX и связанных с ним редакторах формул.

Основы

Рассмотрим формальное предложение

Для некоторого натурального числа

n

,

n\times n=25

.

Это единственное утверждение, использующее экзистенциальную количественную оценку. Это примерно аналогично неформальному предложению «Либо $0\times 0=25$ , или $1\times 1=25$ , или $2\times 2=25$ , или... и так далее», но более точно, потому что нам не нужно делать вывод о значении фразы «и так далее . » натуральные числа, а не, например, действительные числа .)

Этот конкретный пример верен, потому что 5 — натуральное число, и когда мы подставляем 5 вместо n , мы получаем истинное утверждение. $5\times 5=25$ . Неважно, что» $n\times n=25$ «верно только для этого единственного натурального числа 5; существования единственного решения достаточно, чтобы доказать, что эта экзистенциальная квантификация верна.

Напротив, «Для некоторого четного числа $n$ , $n\times n=25$ " ложно, потому что нет четных решений. Область дискурса , которая определяет значения, которые может принимать переменная n , поэтому имеет решающее значение для истинности или ложности утверждения. Логические союзы используются для ограничения области дискурса для выполнения данное сказуемое, например, предложение.

Для некоторого положительного нечетного числа

n

,

n\times n=25

эквивалентно логически предложению

Для некоторого натурального числа

n

,

n

это странно и

n\times n=25

.

Математическое доказательство экзистенциального утверждения о «некотором» объекте может быть достигнуто либо с помощью конструктивного доказательства , которое демонстрирует объект, удовлетворяющий утверждению «некоторое», либо с помощью неконструктивного доказательства , которое показывает, что такой объект должен существовать, не демонстрируя конкретно один.

Обозначения

В символической логике «∃» (перевернутая буква « E » в шрифте без засечек , Unicode U + 2203) используется для обозначения экзистенциальной количественной оценки. Например, обозначение $\exists {n}{\in }\mathbb {N} :n\times n=25$ представляет (истинное) утверждение

Существует некоторый

n

в наборе натуральных чисел таких, что

n\times n=25

.

Считается, что впервые этот символ был использован Джузеппе Пеано в «Математической формуле» (1896). Впоследствии Бертран Рассел популяризировал его использование в качестве квантификатора существования. Благодаря своим исследованиям в области теории множеств Пеано также ввел символы $\cap$ и $\cup$ для каждого обозначают пересечение и объединение множеств. ^[5]

Характеристики

Отрицание

Кванторизованная пропозициональная функция — это утверждение; таким образом, как и операторы, количественные функции могут быть инвертированы. $\lnot \$ Символ используется для обозначения отрицания.

Например, если P ( x ) является предикатом « x больше 0 и меньше 1», то для области дискурса X всех натуральных чисел экзистенциальная квантификация «Существует натуральное число x, которое больше 0 и меньше 1 дюйма можно символически обозначить как:

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

Можно доказать, что это ложь. По правде говоря, нужно сказать: «Это не тот случай, когда существует натуральное число x , которое больше 0 и меньше 1», или, символически:

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

.

Если в области дискурса нет элемента, для которого утверждение истинно, то оно должно быть ложным для всех этих элементов. То есть отрицание

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

логически эквивалентно: «Для любого натурального числа x x : не больше 0 и не меньше 1», или

\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

В общем случае, отрицание экзистенциальной квантификации пропозициональной функции является универсальной квантификацией отрицания этой пропозициональной функции; символически,

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

(Это обобщение законов Де Моргана на логические предикаты.)

Распространенной ошибкой является утверждение «не все люди состоят в браке» (т. е. «не существует человека, состоящего в браке»), тогда как подразумевается «не все люди состоят в браке» (т. е. «существует человек, который не состоит в браке»). :

\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)

Отрицание также выражается через утверждение «нет», в отличие от «для некоторых»:

\nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

В отличие от квантора всеобщности, квантор существования распределяется по логическим дизъюнкциям:

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))$

Правила вывода

Правило вывода – это правило, оправдывающее логический шаг от гипотезы к заключению. Существует несколько правил вывода, в которых используется квантор существования.

Экзистенциальное введение (∃I) приходит к выводу, что если известно, что пропозициональная функция истинна для определенного элемента области дискурса, то должно быть верно, что существует элемент, для которого функция пропозиции истинна. Символически,

P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)

Экзистенциальная конкретизация , проводимая в стиле дедукции Fitch, продолжается путем ввода нового суб-вывода при замене субъекта экзистенциально-квантифицированной переменной, которая не появляется ни в одном активном суб-выводе. Если внутри этого подвывода можно прийти к заключению, в котором не появляется замещаемый субъект, то можно выйти из этого подвывода с этим выводом. Аргументация экзистенциального исключения (∃E) следующая: если дано, что существует элемент, для которого функция предложения истинна, и если к выводу можно прийти, присвоив этому элементу произвольное имя, этот вывод обязательно истинен. , если оно не содержит имени. Символически для произвольного c и предложения Q, в котором c не встречается:

\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)

$P(c)\to \ Q$ должно быть истинным для всех значений c в одном и том же домене X ; в противном случае логика не следует: если c не является произвольным, а вместо этого является конкретным элементом области дискурса, то утверждение P ( c ) может неоправданно дать больше информации об этом объекте.

Пустой набор

Формула $\exists {x}{\in }\varnothing \,P(x)$ всегда ложно, независимо от P ( x ). Это потому, что $\varnothing$ обозначает пустое множество , и ни одного x любого описания – не говоря уже о x, удовлетворяющем заданному предикату P ( x в пустом множестве не существует ). См. также « Пустая истина» для получения дополнительной информации.

Как сопряженный

В теории категорий и теории элементарных топосов квантор существования можно понимать как левый сопряженный функтор ; между степенными множествами , функтор обратного образа функции между множествами аналогично квантор всеобщности является правым сопряженным . ^[6]

См. также

Примечания

^ Бергманн, Мерри (2014). Книга логики . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-803841-9 .
^ «Предикаты и квантификаторы» . www.csm.ornl.gov . Проверено 4 сентября 2020 г.
^ «1.2 Кванторы» . www.whitman.edu . Проверено 4 сентября 2020 г.
^ Аллен, Колин; Хэнд, Майкл (2001). Логические буквари . С Прессой. ISBN 0262303965 .
^ Стивен Уэбб (2018). Столкновение символов . Спрингер Чам. стр. 210–211. дои : 10.1007/978-3-319-71350-2 . ISBN 978-3-319-71349-6 .
^ Сондерс Мак Лейн , Ике Мурдейк, (1992): Пучки в геометрии и логике Springer-Verlag ISBN 0-387-97710-4 . См. стр. 58 .

Ссылки

Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0 .

[1] Бергманн, Мерри (2014). Книга логики . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-803841-9 .

[2] «Предикаты и квантификаторы» . www.csm.ornl.gov . Проверено 4 сентября 2020 г.

[3] «1.2 Кванторы» . www.whitman.edu . Проверено 4 сентября 2020 г.

[4] Аллен, Колин; Хэнд, Майкл (2001). Логические буквари . С Прессой. ISBN 0262303965 .

[Webb2018-5] Стивен Уэбб (2018). Столкновение символов . Спрингер Чам. стр. 210–211. дои : 10.1007/978-3-319-71350-2 . ISBN 978-3-319-71349-6 .

[6] Сондерс Мак Лейн , Ике Мурдейк, (1992): Пучки в геометрии и логике Springer-Verlag ISBN 0-387-97710-4 . См. стр. 58 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]