Разрушительная дилемма

Разрушительная дилемма

Тип	Правило вывода
Поле	Пропозициональное исчисление
Заявление	Если $P$ подразумевает $Q$ и $R$ подразумевает $S$ и либо $Q$ является ложным или $S$ ложно, то либо $P$ или $R$ должно быть ложным.
Символическое заявление	${\frac {P\to Q,R\to S,\neg Q\lor \neg S}{\therefore \neg P\lor \neg R}}$

Разрушительная дилемма — это название действующего правила вывода высказываний логики . Это вывод , что если P подразумевает Q, а R подразумевает S , и либо Q ложно, либо S ложно, то либо P, либо R должны быть ложными. В общем, если два кондиционала истинны, но одно из их последствий ложно, то один из их антецедентов должен быть ложным. Деструктивная дилемма — это дизъюнктивная версия modus tollens . Дизъюнктивная версия modus ponens — это конструктивная дилемма . Правило деструктивной дилеммы можно сформулировать следующим образом:

${\frac {P\to Q,R\to S,\neg Q\lor \neg S}{\therefore \neg P\lor \neg R}}$

где правило таково: везде, где встречаются экземпляры " $P\to Q$", " $R\to S$", и " $\neg Q\lor \neg S$"появляются в строках доказательства", $\neg P\lor \neg R$"можно разместить на следующей строке.

Формальные обозначения

Правило деструктивной дилеммы можно записать в последовательных обозначениях:

$(P\to Q),(R\to S),(\neg Q\lor \neg S)\vdash (\neg P\lor \neg R)$

где $\vdash$ металогический символ , означающий, что $\neg P\lor \neg R$ является синтаксическим следствием $P\to Q$, $R\to S$, и $\neg Q\lor \neg S$ в некоторой логической системе ;

и выражается в виде функциональной истинности тавтологии или теоремы логики высказываний:

$(((P\to Q)\land (R\to S))\land (\neg Q\lor \neg S))\to (\neg P\lor \neg R)$

где $P$, $Q$, $R$ и $S$ Это предложения, выраженные в некоторой формальной системе .

Пример естественного языка

Если пойдет дождь, мы останемся внутри.

Если будет солнечно, мы пойдем гулять.

Либо мы не останемся внутри, либо не пойдем гулять, либо и то, и другое.

Поэтому либо дождя не будет, либо не будет солнечно, либо и то, и другое.

Доказательство

Шаг	Предложение	Вывод
1	$P\to Q$	Данный
2	$R\to S$	Данный
3	$\neg Q\lor \neg S$	Данный
4	$\neg Q\to \neg P$	Транспозиция (1)
5	$\neg S\to \neg R$	Транспозиция (2)
6	$(\neg Q\to \neg P)\land (\neg S\to \neg R)$	Введение союза (4,5)
7	$\neg P\lor \neg R$	Конструктивная дилемма (6,3)

Пример доказательства

Обоснованность этой структуры аргументов можно продемонстрировать, используя как условное доказательство (CP), так и доведение до абсурда (RAA) следующим образом:

1.	$((P\to Q)\land (R\to S))\land (\neg Q\lor \neg S)$	(предположение CP)
2.	$(P\to Q)\land (R\to S)$	(1: упрощение)
3.	$P\to Q$	(2: упрощение)
4.	$R\to S$	(2: упрощение)
5.	$\neg Q\lor \neg S$	(1: упрощение)
6.	$\neg (\neg P\lor \neg R)$	(предположение РАА)
7.	$\neg \neg P\land \neg \neg R$	(6: Закон Де Моргана )
8.	$\neg \neg P$	(7: упрощение)
9.	$\neg \neg R$	(7: упрощение)
10.	$P$	(8: двойное отрицание )
11.	$R$	(9: двойное отрицание)
12.	$Q$	(3.10: создание настроения)
13.	$S$	(4.11: создание настроения)
14.	$\neg \neg Q$	(12: двойное отрицание)
15.	$\neg S$	(5, 14: дизъюнктивный силлогизм )
16.	$S\land \neg S$	(13,15: соединение )
17.	$\neg P\lor \neg R$	(6-16: РАА)
18.	$(((P\to Q)\land (R\to S))\land (\neg Q\lor \neg S)))\to \neg P\lor \neg R$	(1-17: КП)

Библиография

• Ховард-Снайдер, Фрэнсис; Ховард-Снайдер, Дэниел; Вассерман, Райан. Сила логики (4-е изд.). МакГроу-Хилл, 2009 г., ISBN   978-0-07-340737-1 , с. 414.

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/DestructiveDilemma.html